数学物理方法初值问题.ppt

1 如果别人思考数学的真理像我一样深入持久 他也会找到我的发现 高斯 第三章初值问题 本章基本要求 掌握达朗贝尔公式 泊松公式及其物理意义 掌握半无限长问题的延拓法求解 2 掌握非齐次方程问题的求解方法 3 1弦振动方程 一 齐次弦振动方程 达朗贝尔公式 3 定解问题的提出 齐次方程可以写为 我们解方程一般是希望解出通解 再根据条件得到特解 但偏微分方程的通解形式一般很难界定 也较难求 研究表明 对无界情况的定解问题 波动方程和热传导 可以求出通解 然后通过初始条件得到特解 4 研究发现 当作变量代换 此时通过方程两边积分 即可求出方程的通解 5 可满足前述要求 此时 1 通解 对积分 两边再对 积分 得到 6 积分常数依赖于 上式中f1为任意二次连续可微函数 7 同理交换积分顺序 同样可以得到 此时f2为任意二次连续可微函数 其中f1和f2均为任意二次连续可微函数 上式即为通解形式 确定待定函数的形式 无限长 即无边界条件 初始条件为 和 2 达朗贝尔公式 8 即 上面第二式两端对x积分 得到 将上式和前面第一式联立 可求出 9 即 上式即为达朗贝尔公式 10 3 物理意义 先考虑u2 f2 x at 当t t2 t2 t1 时 u2 f2 x at2 故波形u2 f2 x at 随着时间推移 以常速度a向x轴的正方向移动 我们称之为右行波 当t t1时 u2 f2 x at1 同理u1 f1 x at 为一个以常速度a向x轴的负方向传播的行波 称为左行波 故达朗贝尔公式表明 弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去 其传播速度正好是弦振动方程中的常数a 故此方法又称为行波法 从达朗贝尔公式可以看出 波动方程的解 是初始条件的演化 方程本身并不可能产生出超出初始条件的 额外的形式来 而这种演化又受到边界条件的限制 这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性 11 12 4 依赖区间 决定区域 影响区域 从达朗贝尔公式还可以看出 解在点 x t 的数值仅依赖于区间 x at x at 上的初始条件 而与其他点上的初始条件无关 称 x at x at 为点 x t 的依赖区间 它是由过点 x t 的两条斜率分别为 1 a的直线在x轴所截得的区间 如下图所示 13 当t 0时 取x轴上的区间 x1 x2 过点x1做斜率为1 a的直线x x1 at 过点x2做斜率为 1 a的直线x x2 at 两直线与区间 x1 x2 围成一个三角区域 如下图所示 该区域内的任一点 x t 的依赖区间都落在 x1 x2 内 即解在这个区域内的数值完全由区间 x1 x2 上的初始条件决定 而与此区间外的初始条件无关 这个区域称为区间 x1 x2 的决定区域 14 若在区间 x1 x2 的两端作直线x x1 at和x x2 at 则经过时间t后 受 x1 x2 上初始扰动影响的区域为 在此区域外的波动不受 x1 x2 上初始扰动的影响 这个区域称为 x1 x2 的影响区域 15 从上面的讨论可以看出 直线族 在对波动方程的讨论中起着很重要的作用 我们称这两族直线为波动方程的特征线 在特征线x at c1上 左行波u1 f1 x at 的振幅取常数值f1 c1 同样在特征线x at c2上 右行波u2 f2 x at 的振幅取常数值f2 c2 且这两个数值随特征线的移动 即常数c1和c2的改变 而改变 所以波动实际上是沿着特征线传播的 5 特征线及二阶线性偏微分方程的分类 16 我们把前面所用的变量代换称为特征变换 而行波法又称为特征线法 很容易发现 特征线 是常微分方程 的积分曲线族 故上面的方程又称为偏微分方程的特征方程 17 对于一般的二阶线性偏微分方程 来说 它的特征方程为 这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特征曲线 可以看到 特征线仅与二阶导数项的系数有关 而与低阶项系数无关 但是 并不是任意二阶线性偏微分方程都有两族实的特征线 18 每一点不存在实的特征线 每一点仅有一条实的特征线 每一点有两条实的特征线 椭圆型方程 抛物型方程 双曲型方程 拉普拉斯方程 热传导方程 波动方程 反映一些属于稳定 平衡状态的物理量的分布状况 反映一些快速消耗 扩散的物理量的分布状况 反映一些按一定速度扩散的 可逆的物理量的分布状况 二 半无限长弦的自由振动 19 一端固定的弦 延拓法求解 第一类边界条件 作奇延拓 令 20 前述函数满足 21 则 22 当x 0时 23 三 非齐次方程的解 强迫振动 24 解 令u x t u1 x t u2 x t 25 u1 x t 和u2 x t 分别满足 和 零输入 零状态 u1 x t 可直接由达朗贝尔公式求得 u2 x t 由冲量原理 齐次化原理 求解 冲量定理法的基本思想 将持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加 作用时间0 t 由叠加原理 可将持续力f x t 引起 26 的振动视为一系列前后相继的瞬时力f x 0 t 所引起的振动w x t 的叠加 将持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的叠加 从物理的角度考虑 力对系统的作用对于时间的积累是给系统一定的冲量 短时间间隔 内f x 对系统的作用为f x 表示为 内的冲量 此冲量使系统的动量 速度 有一改变量 f x 是单位质量弦所受外力 动量在数值上等于速度 将 内速度的改变量看成在t 时刻一瞬间集中得到 在 的其余时间认为没有冲量的作用 无外力作用 27 28 则 内瞬时力f x 引起的振动的定解问题为 29 为了方便求解 可设w x t v x t 则v满足 30 此时 31 设t t 则v满足 由达朗贝尔公式有 数学检验 初始条件 积分号下的求导公式 32 则 非齐次方程 33 以上这种用瞬态冲量的叠代替持续作用力来解决问题的方法 称为冲量原理 数学上称为齐次化原理 所以有 齐次化原理求解过程小结 34 设有定解问题为 齐次化原理不仅可用于非其次波动方程的初始值问题 还可用于混合问题及其他方程 如热传导方程 的定解问题 例 35 解 令u x t u1 x t u2 x t u1 x t 直接由达朗贝尔公式求出 36 u2 x t 由冲量原理 齐次化原理 求解 3 2一维热传导方程 一 齐次方程 柏松公式 37 定解问题的提出 柏松公式 38 物理意义 设细杆在x轴上 在杆上取一点x0 现假设初始温度分布为 而根据柏松公式 细杆温度分布为 39 根据当前条件 可以写为 由积分中值定理 有 40 41 故无穷长杆可以看成由无穷多个点组成 每个点有一个发出热量为Q 的初始点热源 二 半无限长细杆问题的求解 42 一端绝热的细杆 延拓法求解 第二类边界条件 作偶延拓 令 43 其满足 44 此问题可直接由泊松公式求解 45 而当x 0时 三 非齐次方程的解 内部有热源 46 解 令u x t u1 x t u2 x t 47 u1 x t 满足 u1 x t 可直接由泊松公式求解 48 u2 x t 满足 u2 x t 由齐次化原理求解 49 而u2 x t 满足 根据前面的解法 有 综合前面各式 求出u x t 本章小结 50 初值问题 泛定方程 初始条件 一维波动方程 达朗贝尔公式 一维热传导方程 泊松公式 无限长齐次方程 半无限长齐次方程 无限长非齐次方程 无限长齐次方程 半