指数式与指数函数复习课件.ppt

专题八指数式与指数函数 一 指数式 1 整数指数幂的运算性质 1 am an am n m n Z 2 am an am n a 0 m n Z 3 am n amn m n Z 4 ab n anbn n Z 2 根式的概念 如果一个数的n次方等于a n 1且n N 那么这个数叫做a的n次方根 即 若xn a 则x叫做a的n次方根 其中n 1且n N 3 根式的性质 5 负数没有偶次方根 6 零的任何次方根都是零 一 指数式 4 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正整数指数幂 n N 零指数幂 a0 a 0 负整数指数幂 a p a 0 p N 1 正分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q 0 没有意义 ar s ars arbr 二 指数函数 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 1 指数函数的定义 说明 指数函数有以下特点 1 自变量在指数上 且系数为1 2 底数是常数 且大于0不等于1 3 幂式前面的系数为1 2 指数函数的图象和性质 R 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 例1 计算下列各式 题型一指数幂的化简与求值 解 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 探究提高 知能迁移1 解 例2 12分 设函数f x 为奇函数 求 1 实数a的值 2 用定义法判断f x 在其定义域上的单调性 题型二指数函数的性质 解 1 方法一依题意 函数f x 的定义域为R f x 是奇函数 f x f x 2 a 1 2x 1 0 a 1 方法二 f x 是R上的奇函数 f 0 0 即 a 1 2 由 1 知 设x1 x2且x1 x2 R f x2 f x1 f x 在R上是增函数 1 若f x 在x 0处有定义 且f x 是奇函数 则有f 0 0 即可求得a 1 2 由x1 x2推得实质上应用了函数f x 2x在R上是单调递增这一性质 探究提高 知能迁移2设是定义在R上的函数 1 f x 可能是奇函数吗 2 若f x 是偶函数 试研究其单调性 解 1 方法一假设f x 是奇函数 由于定义域为R f x f x 即整理得即即a2 1 0 显然无解 f x 不可能是奇函数 方法二若f x 是R上的奇函数 则f 0 0 即 f x 不可能是奇函数 2 因为f x 是偶函数 所以f x f x 即整理得又 对任意x R都成立 有得a 1 当a 1时 f x e x ex 以下讨论其单调性 任取x1 x2 R且x1 x2 当f x1 0 即增区间为 0 反之 0 为减区间 当a 1时 同理可得f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 例3 已知函数 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 题型三指数函数的图象及应用 解 1 由已知可得其图象由两部分组成 一部分是 另一部分是 y 3x x 0 y 3x 1 x 1 向左平移1个单位 向左平移1个单位 图象如图 2 由图象知函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 由图象知当x 1时 函数有最大值1 无最小值 在作函数图象时 首先要研究函数与某一基本函数的关系 然后通过平移或伸缩来完成 探究提高 知能迁移3若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析数形结合 当a 1时 如图 只有一个公共点 不符合题意 当0 a 1时 如图 由图象知0 2a 1 1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01 x 时 y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 思想方法感悟提高 方法与技巧 3 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质与a的取值有关