高等数学数量积向量积.ppt

二 两向量的向量积 7 4数量积向量积 一 两向量的数量积 数量积 数量积与投影 数量积的性质 数量积的运算律 数量积的坐标表示 两向量夹角的余弦的坐标表示 向量积 向量积的性质 数量积的运算律 数量积的坐标表示 数量积的行列式符号 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以s 一 两向量的数量积 数量积的物理背景 表示位移 由物理学知道 力F所作的功为 W F s cos 其中 为F与s的夹角 数量积 对于两个向量a和b 它们的模 a b 及它们的夹角 记作a b 即 a b a b cos 0 的余弦的乘积称为向量a和b的数量积 数量积与投影 由于 b cos b cos a b 当a 0时 b cos a b 是向量b在向量a的方向上的投影 于是a b a Prjab 同理 当b 0时 a b b Prjba 即两个向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在此向量方向上的投影的乘积 数量积的性质 1 a a a 2 2 对于两个非零向量a b 如果a b 0 则a b 反之 如果a b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0 充分必要条件 数量积的运算律 1 交换律a b b a 2 分配律 a b c a c b c 3 a b a b a b a b a b 为数 数量积的坐标表示 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 按数量积的运算规律可得a b axi ayj azk bxi byj bzk axbxi i axbyi j axbzi k aybxj i aybyj j aybzj k azbxk i azbyk j azbzk k axbx ayby azbz 两向量夹角的余弦的坐标表示 当a 0 b 0时 由于a b a b cos 所以 cos 两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积之和 例1已知三点M 1 1 1 A 2 2 1 和B 2 1 2 求 AMB 因为 所以 解 AMB就是向量MA与MB的夹角 MA MB 1 1 1 0 0 1 1 二 两向量的向量积 向量积的物理背景 量M 设O为一根杠杆L的支点 有一个力F作用于这杠杆上P点处 力F对支点O的力矩是一向 它的模 M的指向是的按右手规则从 由力学规定 平面 F与OP的夹角为 OP以不超过 的角转向F来确定的 而M的方向垂直于OP与F所决定的 M OP F sin 向量积 设向量c是由两个向量a与b按下列方式确定 c的模 c a b sin 其中 为a与b间的夹角 规则从a转向b来确定 那么 向量c叫做向量a与b的向量积 记作a b 即c a b c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向是的按右手 M OP F 因此 上面的力矩阵M等于OP与F的向量积 即 向量a与b的向量积的模的几何意义为 以向量a与b为邻边的平行四边形面积 即S a b 向量积的性质 1 a a 0 a a a a 2 对于两个非零向量a a 如果a b 0 则a b 反之 如果a b 则a b 0 充分必要条件 如果认为零向量与任何向量都平行 则a b a b 0 a b a b sin 0 向量积的运算律 1 交换律a b b a 2 分配律 a b c a c b c 3 a b a b a b 为数 讨论 i i j j k k i j j k k i 数量积的坐标表示 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 按向量积的运算规律可得a b axi ayj azk bxi byj bzk axbxi i axbyi j axbzi k aybxj i aybyj j aybzj k azbxk i azbyk j azbzk k aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 为了邦助记忆 利用三阶行列式符号 上式可写成 a b aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 例2已知三角形ABC的顶点分别是A 1 2 3 B 3 4 5 C 2 4 7 求三角形ABC的面积 解根据向量积的定义 可知三角形ABC的面积 因此 4i 6j 2k AB AC S ABC AB AC sin A 由于AB 2 2 2 AC 1 2 4 AB AC 于是S ABC 4i 6j 2k 解 设点M到旋转轴l的距离为a 再在l轴上任取一点O作向量 并以 表示w与r的夹角 a r sin v w a w r sin 设线速度为v 那么v