控制系统的数学模型讲义.ppt

欢迎各位来到 自动控制原理 课堂 第二章控制系统的数学模型 2 1绪言2 2线性元件的微分方程及求解2 3控制系统复域数学模型2 4典型环节及其传递函数2 5控制系统的方块图2 6信号流图与梅逊公式 2 1绪言 本章主要内容本章主要讨论如何建立线性定常系统的微分方程 传递函数以及方框图等数学模型 数学模型 系统输入 输出变量以及系统内部各物理量之间关系的数学表达 3 建立控制系统数学模型的方法有 b 机理分析法 对系统各部分的运动机理进行分析 物理规律 化学规律 a 实验辩识法 人为施加某种输入测试信号 记录基本输出响应 实验法 基于系统辨识的建模方法 实验设计 选择实验条件模型阶次 适合于应用的适当的阶次已知知识和辨识目的列写出参数待定的数学模型方程参数估计 最小二乘法模型验证 将实际输出与模型的计算输出进行比较 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 1 确定系统的输入量和输出量 2 将系统划分为若干环节 从输入端开始 按信号传递的顺序 依据各变量所遵循的物理学定律 列出各节的线性化原始方程 3 消去中间变量 写出仅包含输入 输出变量的微分方程式 列写线性系统微分方程的主要步骤 分析法建立微分方程数学模型 例2 1R L C串联电路的微分方程 返回 例2 3图2 4所示为电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压Ua t v 为输入量 电动机转速 m t rad s 为输出量 列写微分方程 图中Ra La H 分别是电枢电路的电阻和电感 Mc N M 是折合到电动机轴上的总负载转距 激磁磁通为常值 解 电枢控制直流电动机的工作实质是 将输入的电能转换为机械能 也就是由输入的电枢电压Ua t 在电枢回路中产生电枢电流ia t 再由电流ia t 与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm t 从而拖动负载运动 因此 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 电枢回路电压平衡方程 电磁转距方程 电动机轴上的转距平衡方程 电枢回路电压平衡方程 Ea是电枢反电势 它是当电枢旋转时产生的反电势 其大小与激磁磁通及转速成正比 方向与电枢电压Ua t 相反 即 Ea Ce m t Ce 反电势系数 v rad s 电磁转距方程 电动机转距系数 N m A 是电动机转距系数 是由电枢电流产生的电磁转距 N m 电动机轴上的转距平衡方程 Jm 转动惯量 电动机和负载折合到电动机轴上的 kg m fm 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系 N m rad s 求出ia t 代入 同时 亦代入 得 在工程应用中 由于电枢电路电感La较小 通常忽略不计 因而 可简化为 电动机机电时间常数 s 如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为 电动机的转速与电枢电压成正比 于是电动机可作为测速发电机使用 2 2线性微分方程的求解 1 求解所用数学工具 拉普拉斯变换与反变换 拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法 由于该方法的运用 微积分的运算能够由复平面内的代数运算来代替 线性微分方程能够转换成复变数的代数方程 因此微分方程的解也可以用代数方法来求出 复变数和复变函数复习 一个复变数s有一个实部和虚部 即s x jy 可以用平面上的一点来表示 复变函数G s 是以复变数s为自变量的函数 例如3s2 2s 2 复变函数的值有模和相角的概念 模 相角 tan 1 u x y v x y 它也有实部和虚部 即G S u x y jv x y 拉氏变换 设时间函数f t 满足 t 0时f t 0 t 0时 f t 分段连续 则f t 的拉氏变换被定义为 复变函数F s f t 的拉氏变换 L 运算符号 放在某量之前 表示用拉氏积分 对该量进行变换 S 复变数 例 求下面函数的拉氏变换 解 根据拉氏变换定义 F s L f t 注 通常对于一些复杂一点的时间函数f t 需要利用后面介绍的定理来帮助求解其拉氏变换F s 拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 初值定理 微分定理 常用时间函数的拉氏变换 P604表A 3 拉氏反变换 由复数函数表达式F s 推导出其相应时间表达式f t 的数学运算叫做拉氏反变换 记做L 1 在数学上 F s 通过下面的式子求出f t 实际上 我们采用部分分式展开和查表法来求拉氏反变换 注 其中F1 s F2 s Fn s 为变换表中有的简单函数 部分分式展开法 a F s 中具有不同的极点时 可展开为 例 求 解 F s 的部分分式展开式是 2 1 c F s 含有多重极点时 可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同 b F s 含有共扼复数极点时 可展开为 用拉氏变换法解线性微分方程 1 对微分方程中每一项进行拉氏变换 变微分方程为复变数s的代数方程 然后整理该代数方程 得到代求解变量的拉氏变换的表达式 2 变量的时间解通过拉氏反变换求得 例试求下列微分方程的解 解 设x t 的拉氏变换为X s 则对微分方程每项进行拉氏变换 可得 2 3控制系统的复域数学模型 一 传递函数TransferFunction 定义 线性定常系统的传递函数 定义为零初使条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 系统微分方程的一般形式为 设R s L r t C s L c t 当初始条件均为0时 有 sn a1sn 1 an 1s an C s b0sm b1sm 1 bm 1s bm R s 即传递函数 G s 机械系统传递函数 例2 5求例2 2机械系统的传递函数 解 G s 性质1传递函数是复变量s的有理真分式函数 m n 且所具有复变量函数的所有性质 三 传递函数的几点性质 性质2G s 取决于系统或元件的结构和参数 与输入量的形式 幅度与大小 无关 性质3G s 虽然描述了输出与输入之间的关系 但它不提供任何该系统的物理结构 因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数 性质5如果G s 已知 那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应 性质4传递函数与微分方程之间有关系 例系统的输入信号为U1 输出信号为U2 其传递函数 请求出当输入信号U1 t 为阶跃 信号1 t 时 其输出响应U2 t 解 阶跃信号1 t 的拉氏变换为 又 可得 2 4典型环节及其传递函数 传递函数可表示成复变量s的有理分式 传递函数可表示成零 极点表示 系统传递函数有时还具有零值极点 设传递函数中有 个零值极点 并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况 则传递函数的后两种表示的一般形式为 可见 系统传递函数是由一些常见基本因子 如式上中的 js 1 1 Tis 1 等组成 即系统传递函数表示为上式时 系统传递函数是这些常见基本因子的乘积 这些常见基本因子代表的环节称为典型环节 任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成 从传递函数的表示式中可以看到 传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节 振荡环节和延迟环节等 l 比例环节 比例环节又称为放大环节 其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系 即它的输出量能够无失真 无延迟地按一定的比例关系复现输入量 时域中的代数方程为 c t Kr t t 0 比例环节的传递函数为 式中K为比例系数或传递系数 有时也称为放大系数 2 惯性环节 惯性环节又称为非周期环节 其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述 式中T 惯性环节的时间常数K 比例系数 传递函数 3 积分环节 输出量与输入量的积分成比例 系数为K 积分环节的传递函数为 积分环节的动态方程为 积分环节具有一个零值极点 即极点位于S平面上的坐标原点处 T称为积分时间常数 从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为 C t K t 上式说明 只要有一个恒定的输入量作用于积分环节 其输出量就与时间成比例地无限增加 4 振荡环节 振荡环节的微分方程是 相应的传递函数为 式中T 时间常数 阻尼系数 阻尼比 且0 1 振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点 在复平面S上的位置见右图所示 传递函数可改写为 n 1 T 无阻尼自然振荡频率 5 微分环节 微分是积分的逆运算 按传递函数的不同 微分环节可分为三种 理想微分环节 一阶微分环节 也称为比例加微分环节 和二阶微分环节 相应的微分方程为 相应的传递函数为 6 延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节 时滞环节 延迟环节的输出是一个延迟时间 后 完全复现输入信号 即 式中 纯延迟时间 单位阶跃输入时 延迟环节的输出响应如右图示 根据拉氏变换的延迟定理 可得延迟环节的传递函数为 返回 一 方框图的基本概念 控制系统的方块图是系统各元件特性 系统结构和信号流向的图解表示法 它用一个方框表示系统或环节 如上图所示 方框图的一端为输入信号r t 另一端是经过系统或环节后的输出信号c t 图中箭头指向表示信号传递的方向 方框中用文字表示系统或环节 也可以填入表示环节或系统输出和输入信号的拉氏变换之比 传递函数 这是更为常用的方框图 2 5控制系统的方块图 前述几种典型环节的方框图如下图所示 1 方块 BlockDiagram 表示输入到输出单向传输间的函数关系 二 方块图元素 2 比较点 合成点 综合点 SummingPoint两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 表示相加 表示相减 号可省略不写 3 分支点 引出点 测量点 BranchPoint表示信号测量或引出的位置 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的流向 在直线旁标记信号的时间函数或象函数 1 前向通路传递函数 假设N s 0 打开反馈后 输出C s 与R s 之比 等价于C s 与误差E s 之比 2 反馈回路传递函数假设N s 0主反馈信号B s 与输出信号C s 之比 三 几个基本概念及术语 3 开环传递函数Open loopTransferFunction假设N s 0主反馈信号B s 与误差信号E s 之比 4 闭环传递函数Closed loopTransferFunction假设N s 0输出信号C s 与输入信号R s 之比 即 请记住 5 误差传递函数假设N s 0误差信号E s 与输入信号R s 之比 利用公式 直接可得 6 输出对扰动的传递函数假设R s 0 7 误差对扰动的传递函数假设R s 0 利用公式 直接可得 线性系统满足叠加原理 当控制输入 与扰动 同时作用于系统时 系统的输出及误差可表示为 注意 由于N s 极性的随机性 因而在求E s 时 不能认为利用N s 产生的误差可抵消R s 产生的误差 1 考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数 并将它们用方框 块 表示 2 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将各方块连接起来 便可得到系统的方块图 系统方块图 也是系统数学模型的一种 四 方块图的绘制 解 由图2 20 利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得 对其进行拉氏变换得 例 画出下列RC电路的方块图 将图 b 和 c 组合起来即得到图 d 图 d 为该一阶RC网络的方块图 例 如果在这两极R C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器 如图2 23所示 画出网络的方块图 此电路的方块图如图 b 所示 方框图的等效变换相当于在方框图上进行数学方程的运算 目的在于化简系统结构 求出表示系统总输入输出关系的一个等效总传递函数 方框图变换必须遵循的原则是 变换前 后的数学关系保持不变 因此方框图变换是一种等效变换 环节的合并 环节之间互相连接有三种基本形式 串联 并联和反馈连接 五 方框图的等效变换 常用的方框图等效变换方法可归纳为两类 环节的合并 信号分支点或相加点的等效移动 1 环节的串联 特点 前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号 下图所示为三个环节串联的例子 图中 每个环节的方框图为 要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时 上式表明 三个环节的串联可以用一个等效环节来代替 这种情况可以推广到n个环节串联的情况 等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积 如有n个环节串联则等效传递函数可表示为 2 环节的并联 环节并联的特点是各环节的输入信号相同 输出信号相加 或相减 下图所示为三个环节的并联 图中含有信号相加点 从图中可见 等效传递函数为 以上结论可推广到一般情况 当有n个环节并联时 其输出信号相加则有等效传递函数 3 反馈连接 将系统或环节的输出信号反馈到输入端 并与原输入信号进行比较后再作为输入信号 即为反馈连接 如下图所示 负反馈 反馈信号与给定输入信号符号相减的反馈 正反馈 反馈信号与给定输入信号符号相加的反馈 上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础 对于较复的系统 例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时 仅靠这三种方法是不够的 二 信号相加点和信号分支点的等效变换 对于一般系统的方框图 系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象 此时可将信号相加点 汇合点 或信号分支点 引出点 作适当的等效移动 先消除各种形式的交叉 再进行等效变换即可 前移后移等效变换原则 1 变换前后 前向通道上各环节传递函数的乘积保持不变 2 变换前后 回路上各环节传递函数的乘积保持不变 下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法 信号相加点的移动分两种情况 前移和后移 为使信号相加点移动前后输回出量与输入量之的关系不变 必须在移动相加信号的传递通道上增加一个环节 它的传回递函数分别为1 G S 前移 和G S 后移 信号分支点 取出点 的移动也分前移和后移两种情况 但分支点前移时应在取出通路上增加一个传递函数为G S 的环节 后移时则增加一个传递函数为1 G S 的环节 此外 两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置 但必须注意 相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换 例 求系统总传递函数 图2 27 a 图2 27 b Eo 2 6信号流图与梅逊公式 信号流图和方框图类似 都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系 因而信号流图也是一种数学模型 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效 但是对于比较复杂的系统 方框图的变换和化简过程往往显得繁琐 费时 并易于出错 如采用信号流图 则可利用梅逊公式 不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系 基本概念 信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法 例如 一 信号流图及其等效变换 信号流图中 用小圆圈 O 表示变量 并称其为节点 节点之间用加权的有向线段连接 称为支路 通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系 因此支路的权又称为传输关系 二 常用术语 信号流图中除有节点和支路外 还常用到下述术语 1 源节点 只有出支路的节点 对应于自变量或外部输人 因此也称为输入节点 2 汇节点 只有入支路的节点 对应于因变量 有时也称为输出节点 3 混合节点 既有入支路 又有出支路的节点 4 闭通道 如果通道的终点就是通道的起始点 并且通道中每个节点只经过一次 则该通道称为闭通道或回路 回环等 5 前向通道 从源节点出发到汇节点终止 而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道 6 互不接触回环 如果一些回路没有任何公共节点和回路 就称它们为互不接触回环 7 通道增益 指沿通道各支路传输的乘积 例如下图中 X 为源节点 X6为汇节点 X1 X2 X3 X4和X5为混合节点 通道abcdej是一条前向通道 而abcde和fghi是普通的通道 bj是一个闭通道 bci不是一个闭通道 因为有两次经过节点x2 图中共有四个回环 即bi ch dg和ef 两个互不接触的回环有三种组合 即bief bidg和chef 本系统没有三个及三个以上互不接触的回环 三 信号流图的绘制 一般可由系统的方框图很容易的绘制出信号流图 结构图中 由于传递的信号标记在信号线上 方框则是对变量进行变换或运算的算子 因此 从系统结构图绘制信号流图时 1 只需在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号 便得到节点 2 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框 便得到支路 于是 结构图也就变成为相应的信号流图了 例题 试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化 求出系统的闭环传递函数 解 a 所示的方框图可化为图 b 所示的信号流图 注意 方框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上 图2 30表示了信号流图的简化过程 二 梅逊公式及其应用 式中G s 为从源节点到