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文档简介
吉林化工学院20082009学年第二学期期末考试高等数学试卷()一. 判断题(每小题2分,共8分)。 1. 函数在点的偏导数及存在是在该点可微分的充要条件。( ) 2.函数在单连通域内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 在内与路径无关的充分必要条件是在内恒成立。( ) 3. 设直线和的方向向量依次为和,两直线和互相垂直相当于。( ) 4. 如果级数收敛,则它的一般项当时以零为极限,即。( )二.填空题(每小题4分,共16分)。 1. 设,则= (7,5,-3) 。解:=2. 设,是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解,那么该方程的通解是。解:根据定理即得。3. 交换积分次序:= 。4. 设L为下半圆周,则曲线积分的值为。解:令则=。三.选择题(每小题4分,共16分)。 1. 一平面过点(1,0,-1)且平行于平面,则这个平面的方程是 B 。.; .; .; .。解:所求平面法向量为:, 将点(1,0,-1)代入平面点法式方程即得B答案正确。2. 设区域,则二重积分的值为 C 。.0; .2; .; .。解:=2- 0 =。3. 下列级数中收敛的是 C 。.; .; .; .。解:=,两个收敛级数之和仍收敛。4. 微分方程的通解是 A 。.; .; .; .。解:将分离变量得: 上式两端积分得:四.计算题(本题8分)。 设函数,且具有一阶连续偏导数,求和。解: 五.计算题(本题8分)。计算曲线积分,其中顺时针方向。解:令,则,由格林公式,= = 。 六.计算题(本题8分)。求微分方程满足初始条件的特解。解:所给方程为一阶线性非齐次方程,先写成标准形式: 对应齐次线性微分方程的通解为: 常数变易法:令求导得: 代入原方程整理得:,即,原方程通解为: 代入初始条件:,特解为:。 七.应用题(本题10分)。设曲线的参数方程为:,求该曲线的与平面平行的切线方程。解:由: 得:曲线任意点的切向量为: , 与平面平行,就是与法向量垂直,即,得 切点为和, 从而 与平行的切线有两条: 和。 八计算题(本题10分)。按要求完成下列一个题:1.(数学I)设是周期为的周期函数,它在上的表达式为 将展开成傅里叶级数。2.(数学II)求幂级数在上的和函数。3.(数学III)求幂级数的收敛区间。答案:1.解:所给函数满足收敛定理的条件,它在点处不连续,在其它点处连续,从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛, 时级数收敛于0; 时,级数收敛于。 计算傅里叶级数如下:=0 );= = 2. 解: = =。 3. 解:=5, 故收敛半径=, 故收敛区间为:(-1/5,1/5)。 九应用题(本题10分)。按要求完成下列一个题:1.(数学I)求均匀曲面的质心坐标。2.(数学II)求由平面及和所围成的空间立体的质量(体密度为常数)。3.(数学III)平面薄片所占平面区域为所围,各点的面密度,求平面薄片的质量。答案:1.解:由对称性得: 而, = 。 半球面的面积为,重心坐标为 。 2.解: 。 3.解: 。 十证明题(本题6分)。设二元函数在点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数,且.给出在条件下取得极值的必要条件,并证明你的结论。答案:必要条件为: 。 证明:假设所求函数在取得所求极值,首先有。 (1)由条件在点的某一邻域内均具有一阶连续偏导数,且及隐函数存在定理知,方程确定一个连续且有连续导数的函数,则此题相当于求一元函数在取得极值的必要条件。由一元
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