《机械振动和波》PPT课件.ppt

1 机械振动 高有辉 2 本章导读 基本要求 一 掌握简谐振动的特征和规律 二 理解描述简谐振动的特征量 振幅 周期 频率 角频率 相位及初相的物理意义 掌握确定这些特征量的方法 从而能熟练地写出简谐振动的表达式 3 三 理解简谐振动与旋转矢量的关系 会用旋转矢量方法和振动图线的讨论来解决简谐振动的有关问题 四 掌握同方向 同频率的两个简谐振动合成的方法和结论 了解 拍 现象和李萨如图形产生的条件及简单应用 五 了解阻尼振动 受迫振动和共振产生的条件 主要特征及实际应用 4 基本内容 一 简谐振动的描述二 简谐振动的动力学特征 重点 振动学基础 掌握简谐振动的特征和规律 根据振子运动学 动力学规律写简谐振动的表达式 会用旋转矢量方法和振动图线的讨论来解觉简谐振动的有关问题 简谐振动的合成 5 振动是一种普遍存在的运动形式 1 物体的来回往复运动 弹簧振子 单摆等 2 电流 电压的周期性变化 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单而又基本振动的合成 这种简单而又基本的振动形式称为简谐振动 第七章机械振动 6 1 简谐振动的引入 以弹簧振子为例 将物体视为质点 建立坐标系 o点选在弹簧平衡位置处 水平向右为x轴正方向 物体受到的合外力 加速度为 即 表达了简谐振动的动力学特征 令 有 表达了简谐振动的运动学特征 凡是物理量满足上式的振动系统 统称为线性谐振子 7 A 为待定系数 解微分方程 得 称为圆频率 只与弹簧振子性质有关 简谐振动运动方程 定义 凡是决定其位置的坐标按余弦或正弦函数规律随时间变化的振动都是简谐振动 1 在平衡位置附近来回振动 2 受回复力作用 线性振子系统中物体离开平衡位置的位移是时间的余弦函数 条件 8 例 证明竖直悬挂弹簧的运动是谐振动 证明 平衡位置弹簧伸长x0 在任意位置x处 合力为 物体仍受回复力作用 作谐振动 2 简谐振动的判据 1 判断合外力 或合外力矩 与物体离开平衡位置的位移 或角位移 是否成F kx的形式 2 判断位移与时间是否满足微分方程 3 根据物体的运动是否满足方程 9 质量集中于小球上 不计悬线质量 取逆时针为 张角正向 以悬点为轴 只有重力产生力矩 表示力矩与 张角方向相反 3 其它几种简谐振动 1 单摆 有 即 10 令 谐振动微分方程 周期 频率 与质量无关 圆频率 在角位移很小的时候 单摆的振动是简谐振动 结论 11 质量为m的任意物体 绕o点作小角度摆动 质心c到轴的距离为lc 重力矩 表示力矩与 张角方向相反 复摆 当 时 有 12 令 谐振动微分方程 圆频率 频率 周期 13 简谐振动的位移 简谐振动的速度 简谐振动的加速度 振动曲线 14 简谐振动的运动方程 1 描述简谐振动的物理量 A振幅 物体离开平衡位置的最大距离 初位相 t t 位相 角频率 由系统本身的性质决定 x位移 振动物体离开平衡位置的位移 t 0时物体的位相 物体在任一时刻的位相 初位相确定简谐振动初始时刻的运动状态 它确定简谐振动在该时刻的运动状态 单摆 弹簧振子 15 3 频率的单位是赫兹 Hz 圆频率的单位是弧度 秒 rad s 周期的单位是秒 s 2 一个系统自由振动的周期和频率完全由这个系统本身的性质决定 该频率称为固有频率 1 周期 频率和圆频率三者的关系 说明 2 振幅与初相的确定 初始条件 由 T周期 物体完成一次全振动所用的时间 频率 单位时间内物体完成全振动的次数 16 有 时 2 2 在0 2 之间有两个解 但只有一个解符合要求 为此要根据已知的x0 v0的正负来判断和取舍 17 研究端点M在x轴上投影点的运动 t 0 矢量与坐标轴的夹角等于初相 1 M点在x轴上投影点的运动 为简谐振动 2 M点的运动速度 在x轴上投影速度 矢量以角速度 逆时针作匀速圆周运动 在平面上作一坐标轴OX 由原点O作一长度等于振幅的矢量 18 3 M点的加速度 在x轴上投影加速度 M点运动在x轴投影 为谐振动的运动方程 M点速度在x轴投影 为谐振动的速度 M点加速度在x轴投影 为谐振动的加速度 结论 利用旋转矢量法还可以很容易确定简谐振动的初位相 这种以一个匀速旋转的矢量 在ox轴上的投影来表示简谐振动的方法 称为旋转矢量法 19 旋转矢量法确定初位相 在第 象限 在第 象限 在第 象限 在第 象限 20 几种特特殊位置初位相 21 在简谐振动运动方程x Acos t 中 t 叫做振子在t时刻的位相 在旋转矢量中 它还有一个直观的意义 在t时刻振幅矢量和x轴的夹角 对一个确定的简谐振动来说 一定的位相就对应于振动质点一定时刻的运动状态 即一定时刻的位置和速度 在简谐振动中 常用位相来表示质点的某一运动状态 如 当用余弦函数表示简谐振动时 t 0即位相为零的状态表示质点在正位移最大处而速度为零 t 表示质点在负位移最大处而速度为零 22 A 谐振动 旋转矢量 t T 振幅 初相 位相 圆频率 谐振动周期 半径 初始角坐标 角坐标 角速度 园周运动周期 物理模型与数学模型比较 23 例 一质点沿x轴作简谐振动 振幅A 0 12m 周期T 2s 当t 0时 质点对平衡位置的位移x0 0 06m 此时刻质点向x轴正向运动 求 1 此简谐振动的表达式 2 从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻 解 取平衡位置为坐标原点 由旋转矢量法可得 2 由旋转矢量法可知 质点第一次通过平衡位置时 振幅矢量转过的角度为 设 24 例 一质点在x轴上作简谐振动 选取该质点向右运动通过A点作为计时起点 t 0 经过2s后第一次经过B点 再经过2s后第二次经过B点 若已知该质点在A B两点具有相同的速率 且AB 10cm 求 1 质点的振动方程 2 质点在A点处的速率 解 1 由旋转矢量图和vA vB可知 由此两式解得 因为A点处质点速度大于零 振动方程 25 A点作为计时起点 2 质点在A点处的速率 t 0 例 一质点作简谐振动 周期为T 求 当它由平衡位置向x轴正向运动时 从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间 解 由旋转矢量图可知 当质点由平衡位置向x轴正向运动时 从二分之一最大位移处到最大位移处时 转过的角度为 所需的时间为 26 1 弹簧的串联 k为系统的劲度系数 1 弹簧的并联 27 以水平的弹簧振子为例 简谐振动的势能 简谐振动的动能 Ek最大时 Ep最小 Ek Ep交替变化 28 简谐振动的总能量 弹性力是保守力总机械能守恒 即总能量不随时间变化 谐振能量与振幅的平方成正比 动能的时间平均值 势能的时间平均值 弹簧振子的动能和势能的平均值相等 且等于总机械能的一半 结论 29 1 振子在振动过程中 动能和势能分别随时间变化 但任一时刻总机械能保持不变 2 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍 3 频率一定时 谐振动的总能量与振幅的平方成正比 适合于任何谐振系统 结论 30 31 例 有一水平弹簧振子 k 24N m 重物的质量m 6kg 静止在平衡位置上 设以一水平恒力F 10N作用于物体 不计摩擦 使之从平衡位置向左运动了0 05m 此时撤去力F 当重物运动到左方最远位置时开始计时 求运动方程 解 依题意 有 选取坐标如图 设运动方程为 32 例题一质点沿x轴作简谐振动 振幅为12cm 周期为2s 当t 0时 位移为6cm 且向x轴正方向运动 求1 振动方程 2 t 0 5s时 质点的位置 速度和加速度 3如果在某时刻质点位于x 6cm 且向x轴负方向运动 求从该位置回到平衡位置所需要的时间 解 设简谐振动表达式为 已知 A 12cm T 2s x Acos t x 0 12cos t 初始条件 t 0时 x0 0 06m u0 0 33 0 06 0 12cos 振动方程 34 35 设在某一时刻t1 x 0 06m 代入振动方程 36 37 例题 两质点作同方向 同频率的简谐振动 振幅相等 当质点1在x1 A 2处 且向左运动时 另一个质点2在x2 A 2处 且向右运动 求这两个质点的位相差 解 38 39 例题质量为m的比重计 放在密度为 的液体中 已知比重计圆管的直径为d 试证明 比重计推动后 在竖直方向的振动为简谐振动 并计算周期 解 取平衡位置为坐标原点 平衡时 浮力 其中V为比重计的排水体积 40 41 例题证明图示系统的振动为简谐振动 其频率为 证 设物体位移x 弹簧分别伸长x1和x2 42 43 例题当简谐振动的位移为振幅的一半时 其动能和势能各占总能量的多少 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半 解 44 45 简谐振动的合成 46 2t 2 1t 1 相位差 同相和反相 当 2k k 0 1 2 两振动步调相同 称同相 当 2k 1 k 0 1 2 两振动步调相反 称反相 47 超前和落后 若 2 1 0 则x2比x1较早达到正最大 称x2比x1超前 或x1比x2落后 领先 落后以 的相位角来判断 48 振动合成 在同一直线上同频率的两个简谐振动分别为 代数方法 令 代入上式 合振幅 49 两个同方向 同频率的简谐振动合成后仍然是一个简谐振动 且频率不变 由 得 50 利用旋转矢量法求合振动也可得到相同的结果 取质点振动的平衡位置O为坐标原点 振动方向沿OX轴 从O点作两个长度分别为A1 A2的矢量 它们在t 0时与X轴的夹角分别为 1 2 从图中三角形的边角关系 很容易得到 矢量的合矢量的端点在X轴上的投影M的运动也是简谐振动 其频率与原来两个振动相同 51 合振动振幅最大 若 讨论 合振动振幅最小 若 3 一般情况 52 解 合成后 不变 合振动方程 53 利用三角函数关系式 合成振动表达式 为了简单起见 讨论两个振幅相同 初相位也相同 在同方向上以不同频率振动的合成 其振动表达式分别为 54 当都很大 且相差甚微时 可将视为振幅变化部分 合成振动是以为角频率的近似谐振动 这种振动的振幅也是周期性变化的 即振动忽强忽弱 由于振幅是周期性变化的 所以合振动不再是简谐振动 随t变化缓慢 随t变化较快 这种合振动忽强忽弱的现象称为拍 55 播放动画 振幅 1 振幅是周期变化的 振幅A t 随时间t缓慢地变化 拍 现象 最大值为2A 2 合振幅变化频率 拍频 讨论 很小 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频 56 所以 拍频是振动的频率的两倍 即拍频为 由于余弦函数绝对值的周期为 57 三 互相垂直相同频率简谐振动的合成 二分振动方程如下 合成的振动表示 质点既沿ox轴运动 又沿oy轴运动 实际上在oxy平面上运动 消去上两式中的时间t 得质点运动的轨迹 此为一椭圆的轨迹方程 椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅A1和A2以及初位相差所决定 58 分振动相位相同或相反时 相位相同 即 讨论 59 合振动的轨迹为过原点且在一 三象限的直线 合振动任意一点的位移r为 上式表明合振动也是简谐振动 与分振动频率相同 但振幅为 60 相位相反 即 k为奇数 则 式即为 合振动的轨迹为过原点 且在二 四象限的直线 合振动任一点的位移为 上式表明 合振动也是简谐振动 与分振动频率相同 61 相位差为 2时 表明 合振动的轨迹为以x和y轴为轴的椭圆 若 即x方向的振动比y方向的振动超前 即 如某一瞬间 则 x 0 y A2 经过很短的时间后 略大于0 y将略小于A2为正 而x为负 故质点运动到第二象限 即质点沿椭圆逆时针方向运动 振幅相等 频率相同合振动的轨迹为一圆周运动 总之 两振动方向垂直 频率相同的简谐振动 合振动的轨迹为直线 圆或椭圆 轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定 62 一般来说 互相垂直的分振动频率不同的条件下 合振动的轨迹不能形成稳定的图案 但如果分振动的频率成整数比 则合振动的轨迹为稳定的曲线 曲线的花样和分振动的频率比 初位相有关 得出的图形叫利萨如图 利萨如图形的应用 利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比 再由已知频率测量未知频率 四 互相垂直 不同频率简谐振动的合成利萨如图形 63 波的基本概念 64 65 本章导读 基本要求 一 了解机械波的产生条件及其传播机制 二 理解频率 波长和波速等概念 三 掌握建立平面简谐波波函数的方法 理解波函数的物理意义 四 理解波的能量特征 五 理解波的叠加原理 掌握相干波的条件及波程差与相位差的关系 六 了解驻波的特征和 半波损失 了解多普勒效应及其应用 66 基本内容 一 机械波的产生与传播二 平面简谐波的波函数三 波动方程四 波的能量五 波的干涉六 驻波七 多普勒效应 67 重点 机械波的产生条件及其传播机制 建立平面简谐波波函数的方法 波函数的物理意义 波的能量特征及计算 波的干涉的计算 驻波的特征和计算 68 1 振动在空间的传播过程叫做波动 2 常见的波有两大类 在微观领域中还有物质波 3 各种波的本质不同 但其基本传播规律有许多相同之处 前言 机械波是机械振动在弹性介质中的传播 69 机械波 一群质点 以弹性力相联系 其中一个质点在外力作用下振动 引起其他质点也相继振动 水波 媒质 波源 一 机械波的产生和传播 一 机械波的产生 波函数y表示平衡位置在x处的质点t时刻相对自己平衡位置的位移 固体 固体 液体 气体 与媒质的性质有关 70 1 振源 2 弹性介质 弹性介质是指由弹性力组合的连续介质 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力 将振动传播开去 从而形成机械波 波动是振动状态的传播 是能量的传播 而不是质点的传播 71 1 横波 各质点振动方向与波的传播方向垂直的波 如绳波 电磁波为横波 根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系 可以将机械波分为两类 横波和纵波 72 各质点振动方向与波的传播方向平行的波 纵波是靠介质疏密部变化传播的 如声波 弹簧波为纵波 任一波例如 水波 地表波 都能分解为横波与纵波来进行研究 2 纵波 73 1 波的传播不是介质质元的传播 在波动过程中 各质元本身并不迁移 只在各自的平衡位置附近振动 传播出去的仅是质点的振动状态 亦称位相 而振动状态的传播表现为波形的向前推进 2 上游 的质元依次带动 下游 的质元振动 某时刻质元的振动状态将在较晚时刻于 下游 某处出现 波动中各质元的振动是受迫振动 它们的振动频率与波源的振动频率相同 与介质无关 3 同相位点 质元的振动状态相同 注意 振动是描写一个质点振动 波动是描写一系列质点作振动 4 振动与波动的区别 74 横轴x表示波的传播方向 1 波形图 坐标x表示质点的平衡位置 纵轴y表示质点的振动方向 坐标y表示质点偏离平衡位置的位移 表示某一选定时刻波中各质点位置的图 xy平面上一条曲线就表示某一时刻的波形图 说明 在横波中波形图与实际的波形是相同的 但在纵波中 由于波形图表示的是各质点位移的分布情况 而区别于质点的实际位置分布 75 波线 平面波 波线 波阵面 球面波 波阵面 等相面 波线 均匀 各向同性媒质中波线与波阵面垂直 二 波线 波面和波前 某时刻处在最前面的波面称为波前 76 球面波 平面波在各向同性均匀介质中 波线与波阵面垂直 如果波源是简谐振动 那么介质中各个质点也作简谐振动 其频率和波源相同 振幅也和波源有关 这种波称为简谐波 所有复杂的波都可以看成是由不同频率的简谐波的合成 77 1 周期T 传播一个完整的波形所用的时间 或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间 与质点振动周期相同 2 频率 单位时间内传播完整波形的个数 与质点振动频率相同 3 波长 两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离 或振动在一个周期中传播的距离 78 4 波速u 波在介质中的传播速度 单位时间某种一定的振动状态 或振动相位 所传播的距离称为波速u 也称之相速 注意 周期 频率与介质无关 与波源的相同 波在不同介质中频率不变 机械波的波速决定于介质的惯性和弹性 因此 不同频率的同一类波在同一介质中波速相同 在各向同性均匀固体中 79 Y 杨氏弹性模量 体密度 固体中 G 切变模量 G Y 横波 纵波 地震时破坏性更大 流体中的纵波 弦上的横波 T 绳的初始张力 绳的线密度 k 容变弹性模量 80 5 T u的关系 表示波在空间的周期性 表示波在时间上的周期性 通过波速联系起来 注意 在讨论弹性波的传播时 要假设介质是连续的 因为当波长远大于媒质分子间距离时 媒质中一个波长的距离内有无数分子在陆续振动 宏观上看来媒质就象连续的一样 高度真空中分子间距离极大 不能传播声波 就是由于这原因 如果波长小到等于或小于分子间距离时 相距约为一波长的两个分子之间 不再存在其它分子 我们就不能认为媒质是连续的了 这时媒质就再也不能传播弹性波了 因此有一个频率上限存在 81 平面简谐波 82 振动状态或振动能量沿恒定方向传播的波称为行波 描述波线上每一质点在每一时刻的位移的函数称为波的波函数或波动方程 简谐振动在弹性介质中的传播形成简谐波 这种波在无吸收的均匀介质中传播时振幅保持恒定 不随时间也不因距离波源的远近而改变 下面我们从运动学的角度出发来得到等振幅平面简谐波的波动方程 波动是集体表现 各质点在同一时刻的振动位移是不同的 可以用一个质点的振动方程代替任意质点的振动方程 83 右行波的波动方程 已知O点振动表达式 y表示各质点在Y方向上的位移 A是振幅 是角频率或叫圆频率 为O点在零时刻的相位 P点的振动比振源落后一段时间 t 相位落后 平面简谐波沿x轴正向传播 波速为u P点处质点在时刻t的位移等于O点在时的位移 84 P点的振动位移为 因此下述几式等价 这就是右行波的波动方程 85 此时波动向O点左右两边传播 则波动方程为 也即p点的相位超前于O点相位 p点运动传到O点需用时间 所以p点的运动方程 也就是左行波的波方程 左行波的波动方程 O点为波源时的波动方程 已知O点振动表达式 波源的振动方程为 86 则波动方程为 若告知的是某平面简谐波在t t0时刻的波形图 原点O在该时刻的位相可由图求出为 0 设振动圆频率为 振幅为A 则原点O的振动方程为 波动方程为 87 1 振动方程与波函数的区别 波函数是波程x和时间t的函数 描写某一时刻任意位置处质点振动位移 振动方程是时间t的函数 为距离原点为d处一点的振动方程 为某一时刻各质点的振动位移 波形的 拍照 88 波形曲线和振动曲线有什么不同 振动曲线y t 质元确定 波形曲线y x 时刻确定 例如y cos t kx 1 固定x 如令x x0 则波的表达式变为 y Acos t kx0 振动方程 2 固定t 如令t t0 则波的表达式变为 y cos t0 kx 波形方程 纵波也能用波形曲线描述吗 89 t t t 4 如果x和t都变化 波函数表示波线上各个质点在不同时刻的位移分布情况 90 5 注意相速度 即波速 与质点振动速度的区别 机械波的相速度由介质本身的性质决定 与波的频率 振幅无关 而质点振动速度和振动的频率 振幅时间及所研究的质点的位置均有关 6 可以证明 波动方程的标准形式应为 91 波函数应能描述波在空间任一点 任一时刻的位移 或 沿波的传播方向 各质元的相位依次落后 抓住概念 某时刻某质元的相位 振动状态 将在较晚时刻于 下游 某处出现 如何写出平面 一维 简谐波的波函数 还须知三个条件 1 某参考点的振动方程 知A 2 波的传播方向3 波长 或u 92 例1 已知波函数 求 A u 解 由 93 解 原点 波函数 波长 频率 94 x 5m处位相 位相差 P点落后反映在相位上为20 即原点完成10个全振动后 P点开始振动 质点振动与原点的相位差 原点的位相 原点 5m处 95 例3 如图所示 平面简谐波向右移动速度u 0 08m s 求 原点处的振动方程 波函数 P点的振动方程 a b两点振动方向 解 原点 t 0时 o点处的质点向y轴负向运动 原点的振动方程为 96 P点的振动方程 a b振动方向 作出 t后的波形图 波函数 97 例4 如图 是一平面简谐波在t 0秒时的波形图 由图中所给的数据求 1 该波的周期 2 传播介质O点处的振动方程 3 该波的波动方程 解 其振动方程为 波动方程 X 5 m 处 由旋转矢量法可知 即 1 利用旋转矢量法求出O点的初位相为 98 2 O点的振动方程为 3 波动方程 例5 在x 1m处有一波源发出平面简谐波 波源的振动方程为 波速为U 3 0m s 求在x 1m区域的波动方程 解 99 波的能量 100 一 波的动能 势能和能量 介质的动能与势能之和称为波的能量 在波动过程中 振源的能量通过弹性介质传播出去 介质中各质点在平衡位置附近振动 介质中各部分具有动能 同时介质因形变而具有势能 波动的过程实际是能量传递的过程 以平面余弦弹性纵波 行波 通过一根细长的棒为例来讨论有关波动的能量问题 101 1 波动的动能 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播 质元的动能 波函数 102 2 波动的势能 弹性模量 弹性势能 103 4 结论 任一时刻介质元的动能等于势能 且相位相同 与振动系统的动能与势能总有 2相位差不同 振动系统的机械能守恒 而波动过程中 能量不守恒 波动过程中 沿波的传播方向 介质元不断地通过振动由后面的质元获得能量 又不断地把能量传播给前面的质元 波是能量传递的一种形式 在平衡位置时质元具有最大动能和势能 在最大振幅处动能和势能为零 在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量 离开时放出能量 3 波动的能量 表明 质元的总能量随时间作周期性变化 时而达到最大值 时而为零 意味着 在由波传播的细棒中有能量在传播 104 x y O A B 分析 105 未起振的体积元 106 1 能量密度 单位体积介质内的能量 能量密度在一个周期内的平均值 2 平均能量密度 二 能量密度 该式与坐标无关 说明平面波在一个周期内介质传递的能量是一样的 介质中无能量积累 107 取其时间平均值 便有平均能流 u t 能流密度 垂直通过截面单位面积上的平均能流 在单位时间内垂直通过某一截面的能量为通过该面的能流 S 三 能流和能流密度 波强 波的功率 108 例证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比 并求球面简谐波的波函数 证介质无吸收 通过两个球面的平均能流相等 即 式中为离开波源的距离 为处的振幅 109 四 波的吸收 波在媒质中传播时 媒质总要吸收一部分能量 吸收的能量转换为媒质的内能和热 因此 波的振幅要减小 波的强度将减弱 这种现象称之为吸收 五 波的散射 如果介质中存在许多悬浮粒子 当波动传到这些粒子后 这些粒子将成为新的波源向四周发射次级波 这一现象叫做波的散射 110 波的叠加和干涉 111 一 惠更斯原理 一 惠更斯原理 O S1 S2 u t u t S1 S2 在均匀的自由空间 波传播时 任一波阵面上的每一点都可以看作发射子波的点波源 以后任意时刻 这些子波的包迹就是该时刻的波阵面 波沿直线传播 112 二 波的衍射 波传播过程中 遇到障碍物时 能绕过障碍物的边缘而传播的现象 113 波的衍射现象可用惠更斯原理解释 衍射现象是否明显与波长 障碍物的相对大小有关 S1 114 1 内容 1 几列波相遇后仍保持它们原有的特性 频率 波长 振幅 传播方向 不变 互不干扰 好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样 2 在相遇区域内 介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和 波的独立性原理 波的叠加原理 当波的振幅 强度过大时 媒质形变与弹力的关系不再呈线性 叠加原理也就不再成立了 115 叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合 能分辨不同的声音正是这个原因 波的叠加原理并不是普遍成立的 有些是不遵守叠加原理的 如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程 这个运动就遵从叠加原理 如果不是线性微分方程 它就不遵从叠加原理 若 分别是它的解 则也是它的解 即上述波动方程遵从叠加原理 波动方程 它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程 116 1 波的干涉现象 频率相同 振动方向相同 有恒定位相差的两列波 或多列波 相遇时 在介质中某些位置的点振幅始终最大 另一些位置振幅始终最小 而其它位置 振动的强弱介乎二者之间 保持不变 称这种稳定的叠加图样为干涉现象 2 相干条件 1 两列波振动方向相同 2 两列波频率相同 3 两列波有稳定的相位差 满足相干条件的波源称为相干波源 117 3 干涉加强 减弱条件 设有两个频率相同的波源和 其振动表达式为 两列波传播到P点引起的振动分别为 在P点的振动为同方向同频率振动的合成 A1 A2是S1 S2在P点引起的振动的振幅 118 下面讨论干涉现象中的强度分布 在P点的合成振动为 由于波的强度正比于振幅的平方 所以合振动的强度为 对空间不同的位置 都有恒定的 因而合强度在空间形成稳定的分布 即有干涉现象 119 1 干涉加强条件 干涉相长 2 干涉减弱条件 干涉相消 即 即 120 当两相干波源为同相波源时 有 此时相干条件写为 干涉相长 干涉相消 称为波程差 初位相相同的两个相干波源 在两列波叠加的区域内 当波程差为零或波长的整数倍时 合振动的振幅最大 干涉相长 当波程差为半波长的奇数倍时合振幅最小 干涉相消 干涉加强减弱条件 加强 减弱 121 例 两相干波源A B位置如图所示 频率 100Hz 波速u 10m s A B 求 P点振动情况 解 P点干涉减弱 122 例2 两相干波源分别在PQ两点处 初相相同 它们相距3 2 由P Q发出频率为 波长为 的两列相干波 R为PQ连线上的一点 求 自P Q发出的两列波在R处的相位差 两波源在R处干涉时的合振幅 解 为 的奇数倍 合振幅最小 123 1 驻波的产生 有两列相干波 它们不仅频率相同 位相差恒定 振动方向相同 而且振幅也相等 当它们在同一直线上沿相反方向传播时 在它们迭加的区域内就会形成一种特殊的波 这种波称为驻波 当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产生驻波 驻波的特点 媒质中各质点都作稳定的振动 波形并没有传播 124 2 驻波的表达式 设有两列相干波 分别沿X轴正 负方向传播 选初相位均为零的表达式为 其合成波称为驻波其表达式 反射波 入射波 125 简谐振动 简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动 各点振动的频率相同 是原来波的频率 但各点振幅随位置的不同而不同 驻波方程 利用三角函数关系求出驻波的表达式 126 讨论 波腹的位置为 波节的位置为 127 相邻波腹间的距离为 相邻波节间的距离为 相邻波腹与波节间的距离为 因此可用测量波腹间的距离 来确定波长 3 驻波的波形 能量都不能传播 驻波不是波 是一种特殊的振动 相邻的两个波节和波腹之间的距离都是 结论 128 3 驻波的相位 时间部分提供的相位对于所有的x是相同的 而空间变化带来的相位是不同的 在波节两侧点的振动相位相反 同时达到反向最大或同时达到反向最小 速度方向相反 两个波节之间的点其振动相位相同 同时达到最大或同时达到最小 速度方向相同 结论 129 4 驻波的能量 各质点位移达到最大时 动能为零 势能不为零 在波节处相对形变最大 势能最大 在波腹处相对形变最小 势能最小 势能集中在波节 当各质点回到平衡位置时 全部势能为零 动能最大 动能集中在波腹 能量从波腹传到波节 又从波节传到波腹 往复循环 能量不被传播 这可从能流密度证明 因为能流密度等于平均能量密度乘波速 左行波与右行波能流密度之和为零 驻波不传播能量 它是媒质的一种特殊的运动状态 稳定态 130 例题 位于A B两点的两个波源 振幅相等 频率都是100赫兹 相差为 其A B相距30米 波速为400米 秒 求 AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置 解 如图所示 取A点为坐标原点 A B联线为X轴 取A点的振动方程 在X轴上A点发出的行波方程 B点的振动方程 在X轴上B点发出的行波方程 131 相干相消的点需满足 因为 可见在A B两点是波腹处 因为两波同频率 同振幅 同方向振动 所以相干为静止的点满足 132 4 半波损失 入射波在反射时反射波相位突变了 相当于波程损失了半个波长的现象称为半波损失 在绳与墙壁固定处 为波节位置 这一现象说明 在反射端 入射波与反射波在该点各自引起的两个振动位相相反 两位相相差为 相当于波程相差 2 反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与