控制系统的数学描述与建模.ppt

第二章控制系统的数学描述 控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位 要对系统进行仿真处理 首先应当知道系统的数学模型 然后才可以对系统进行模拟 同样 如果知道了系统的模型 才可以在此基础上设计一个合适的控制器 使得系统响应达到预期的效果 从而符合工程实际的需要 控制系统的数学描述通常分为两类 一种是时间域描述 主要用微分方程和状态方程来描述 另一种是频率域描述 利用拉氏变换来描述控制系统 它们的共同基础是微分方程 在线性系统理论中 一般常用的数学模型形式有 传递函数模型 系统的外部模型 状态方程模型 系统的内部模型 零极点增益模型和部分分式模型等 这些模型之间都有着内在的联系 可以相互进行转换 按系统性能分 线性系统和非线性系统 连续系统和离散系统 定常系统和时变系统 确定系统和不确定系统 1 线性连续系统 用线性微分方程式来描述 如果微分方程的系数为常数 则为定常系统 如果系数随时间而变化 则为时变系统 今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主 2 线性定常离散系统 离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式 这类系统用差分方程来描述 3 非线性系统 系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统 系统的分类 微分方程是控制系统模型的基础 一般来讲 利用机械学 电学 力学等物理规律 便可以得到控制系统的动态方程 这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程 如果已知输入量及变量的初始条件 对微分方程进行求解 就可以得到系统输出量的表达式 并由此对系统进行性能分析 通过拉氏变换和反变换 可以得到线性定常系统的解析解 这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程 解析解是精确的 然而通常寻找解析解是困难的 MATLAB提供了ode23 ode45等微分方程的数值解法函数 不仅适用于线性定常系统 也适用于非线性及时变系统 第一节线性定常连续系统的微分方程模型 例exp3 1 m 电路图如下 R 1 4欧 L 2亨 C 0 32法 初始状态 电感电流为零 电容电压为0 5V t 0时刻接入1V的电压 求0 t 15s时 i t vo t 的值 并且画出电流与电容电压的关系曲线 对线性定常系统 式中s的系数均为常数 且a1不等于零 这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来 这两个向量分别用num和den表示 numerator denominator num b1 b2 bm bm 1 den a1 a2 an an 1 注意 它们都是按s的降幂进行排列的 G s tf num den 给出系统的传递函数 第二节传递函数描述 一 连续系统的传递函数模型连续系统的传递函数如下 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式 其原理是分别对原系统传递函数的分子 分母进行分解因式处理 以获得系统的零点和极点的表示形式 在MATLAB中零极点增益模型用 z p K 矢量组表示 即 z z1 z2 zm p p1 p2 pn K k 函数zpk z p k 可以求出系统的零极点模型函数tf2zp 可以用来求传递函数的零极点和增益 二 零极点增益模型 K为系统增益 zi为零点 pj为极点 控制系统常用到并联系统 这时就要对系统函数进行分解 使其表现为一些基本控制单元的和的形式 部分分式展开就是将高阶的有理分式化为若干个一阶有理分式之和的形式 如果传递函数G s 不包含多重极点 则G s 展开后为 三 部分分式展开 式中K为常数项 对于真分式来说K 0 R是各阶分式的系数 p系统的极点 对上式求拉氏逆变换 可得到系统的冲击响应 如果求解系统在输入函数u s 下的时间响应 只须对G s u s 进行部分分式展开并求拉氏逆变换即可 函数 r p k residue b a 对两个多项式的比进行部分展开 以及把传函分解为微分单元的形式 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数 部分分式展开后 系数返回到向量r 极点返回到列向量p 常数项返回到k b a residue r p k 可以将部分分式转化为多项式比p s q s 举例 传递函数描述1 num 12 24 0 20 den 24622 tf num den Transferfunction 12s 3 24s 2 20 2s 4 4s 3 6s 2 2s 22 借助多项式乘法函数conv来处理 num 4 conv 1 2 conv 1 6 6 1 6 6 den conv 1 0 conv 1 1 conv 1 1 conv 1 1 1 3 2 5 零极点增益模型 num 1 11 30 0 den 1 9 45 87 50 z p k tf2zp num den z 0 6 5 p 3 0000 4 0000i 3 0000 4 0000i 2 0000 1 0000 k 1 结果表达式 部分分式展开 num 2 0 9 1 den 1 1 4 4 r p k residue num den p 0 0000 2 0000i0 0000 2 0000i 1 0000 k 2 r 0 0000 0 2500i0 0000 0 2500i 2 0000 结果表达式 1 数学描述状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式 又称为动态方程 经典控制理论用传递函数将输入 输出关系表达出来 而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入 输出关系 揭示了系统内部状态对系统性能的影响 第三节状态空间描述 在MATLAB中 系统状态空间用 A B C D 矩阵组表示 假设n阶线性系统的微分方程描述如下 X t 和u t 为系统的输出量和输入量 a不为零 状态方程的求取方法为 1 计算列向量 2 用下列方程组替代系统的原微分方程 3 由此得到状态方程的描述 其中 MATLAB中可以用ss A B C D 来表示系统的状态方程描述 举例 系统为一个两输入两输出系统 A 16910 31268 47911 5121314 B 46 24 22 10 C 0021 8022 D zeros 2 2 G ss A B C D 2 对角化标准型给定LTI系统可以求出其状态方程的解为 要求解此方程 简单的方法就是将矩阵A对角化 将其化为对角元为特征值的对角矩阵 对于线性系统 A B C D 有非奇异变换矩阵W 使得 系统新的表示形式 A B C D 称为系统的对角规范型 W是矩阵A的特征向量组成的矩阵 对应的状态变量变为X WX MATLAB中没有直接的语句求对角规范型 但是我们可以利用上面的方法编写该函数 W lamda eig A L inv W A Wb inv W Bc c W 3 Jordan标准型如果n n矩阵A的线性无关俩特征向量个数小于n时 就只能将系统化为约当规范型 设A矩阵有重特征值 其相异的特征值为p个 则必存在非奇异线性变换矩阵V 将其化为约当型 其中 变换矩阵V是由矩阵A对应特征值的广义特征向量组成的 即 变换后系统的约当规范型为 求取约当规范型的函数为 V J jordan A 其中V是变换矩阵 其列向量是矩阵A的广义特征向量 J矩阵是求得的约当规范型 4 可控规范型状态可控性的定义 状态完全可控的充分必要条件 系统的可控性矩阵的秩为n 如果系统是状态完全能控的 则可以从可控性矩阵中找出n个线性无关的列向量作为变换矩阵 导出可控规范1型 可控规范1型 其中 MATLAB没有直接提供求取可控规范型的函数 但运用矩阵运算的有关函数 可以实现系统与可控规范型之间的转化 5 可观规范型状态可观性的定义 状态完全可观的充分必要条件 系统的可控性矩阵的秩为n 如果系统是状态完全能观的 则可以从可观性矩阵中找出n个线性无关的列向量作为变换矩阵的逆 导出可观规范1型 可观规范1型 其中 MATLAB没有直接提供求取可控规范型的函数 但运用矩阵运算的有关函数 可以实现系统与可控规范型之间的转化 ctrb和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性和可观性矩阵 格式 co ctrb a b ob obsv a c 对于n n矩阵a n m矩阵b和p n矩阵cctrb a b 可以得到n nm的可控性矩阵co baba2b an 1b obsv a c 可以得到nm n的可观性矩阵ob ccaca2 can 1 当co的秩为n时 系统可控 当ob的秩为n时 系统可观 exp3 4 m 在一些场合下需要用到某种模型 而在另外一些场合下可能需要另外的模型 这就需要进行模型的转换 模型转换的函数包括 residue 传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf 状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp 状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss 传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp 传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss 零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf 零极点增益模型转换为传递函数模型 第四节模型的转换与连接 一 模型的转换 用法举例 1 已知系统状态空间模型为 A 01 1 2 B 0 1 C 1 3 D 1 num den ss2tf A B C D iu iu用来指定第n个输入 当只有一个输入时可忽略 num 152 den 121 z p k ss2zp A B C D iu z 4 5616p 1k 1 0 4384 1 2 已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为 num 00 2 0 1 5 120 den 16116 A B C D tf2ss num den A 6 11 6B 1C 00 2D 010000 1 5001001200 3 系统的零极点增益模型 z 3 p 1 2 5 k 6 num den zp2tf z p k num 00618den 181710 a b c d zp2ss z p k a 1 000000b 12 0000 7 0000 3 1623103 162300c 001 8974d 0注意 零极点的输入可以写出行向量 也可以写出列向量 4 已知部分分式 r 0 25i 0 25i 2 p 2i 2i 1 k 2 num den residue r p k num 2091 den 1144注意余式一定要与极点相对应 除了上述的函数外 模型的转换还可以用另外的一些函数由LTI对象转换为传递函数如果系统的LTI对象由G表示 系统的传递函数为G1 tf G G ss A B C D G1 tf G 由LTI对象转换为零极点模型如果系统的LTI对象由G表示 系统的零极点模型为G1 zpk G G ss A B C D G1 zpk G 由传递函数转换为状态方程如果系统的LTI对象由G表示 系统的状态方程对象为G1 ss G G tf num den G1 ss G 二 最小实现由系统的传递函数或脉冲响应函数来建立与其输入输出特性上等价的状态方程描述称为实现问题 系统的实现是不唯一的 其中矩阵A的阶次最低的实现称之为最小实现 最小实现的充分必要条件是 A B C D 是完全可控有可观 函数SYSr minreal SYS 可求解系统状态方程的最小实现 1 并联 parallel若并联系统由 A1 B1 C1 D1 和 A2 B2 C2 D2 构成 则系统模型为 二 模型的连接 格式 a b c d parallel a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 并联连接两个状态空间系统 a b c d parallel a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 inp1 inp2 out1 out2 inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号 从u1 u2 un依次编号为1 2 n out1和out2分别指定要作相加的输出端编号 编号方式与输入类似 inp1和inp2既可以是标量也可以是向量 out1和out2用法与之相同 如inp1 1 inp2 3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接 若inp1 13 inp2 21 则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接 以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接 num den parallel num1 den1 num2 den2 将并联连接的传递函数进行相加 如果一个系统为G1 可以由tf ss和zpk中任意的形式给出 另一系统为G2 则串联系统为G G2 G1 2 串联 series若串联系统由 A1 B1 C1 D1 和 A2 B2 C2 D2 构成 则系统模型为 格式 a b c d series a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 串联连接两个状态空间系统 a b c d series a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 out1 in2 out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统2的部分输入进行连接 num den series num1 den1 num2 den2 将串联连接的传递函数进行相乘 如果一个系统为G1 可以由tf ss和zpk中任意的形式给出 另一系统为G2 则串联系统为G G2 G1 3 反馈 feedback格式 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 将两个系统按反馈方式连接 一般而言 系统1为对象 系统2为反馈控制器 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 sign 系统1的所有输出连接到系统2的输入 系统2的所有输出连接到系统1的输入 sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号 sign缺省时 默认为负 即sign 1 总系统的输入 输出数等同于系统1 a b c d feedback a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 inp1 out1 部分反馈连接 将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入 系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1 以此构成闭环系统 num den feedback num1 den1 num2 den2 sign 可以得到类似的连接 只是子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示 sign的含义与前述相同 4 闭环 cloop 单位反馈 格式 ac bc cc dc cloop a b c d sign 通过将所有的输出反馈到输入 从而产生闭环系统的状态空间模型 当sign 1时采用正反馈 当sign 1时采用负反馈 sign缺省时 默认为负反馈 ac bc cc dc cloop a b c d outputs inputs 表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs 以此构成闭环系统的状态空间模型 一般为正反馈 形成负反馈时应在inputs中采用负值 numc denc cloop num den sign 表示由传递函数表示的开环系统构成闭环系统 sign意义与上述相同 举例应用 1 exp3 2 m系统1为 系统2为 求按串联 并联 正反馈 负反馈连接时的系统状态方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程 2 exp3 3 m系统1 系统2方程如下所示 求部分并联后的状态空间 要求u11与u22连接 u13与u23连接 y11与y21连接 第五节控制系统的稳定性分析 对于连续时间系统 如果闭环极点全部在S平面左半平面 则系统是稳定的 对于离散时间系统 如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内 则系统是稳定的 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面 或若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内 则系统是最小相位系统 一 系统稳定及最小相位系统判据 2 直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数 因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断 二 系统稳定及最小相位系统的判别方法 1 间接判别 工程方法 劳斯判据 劳斯表中第一列各值严格为正 则系统稳定 如果劳斯表第一列中出现小于零的数值 系统不稳定 胡尔维茨判据 当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时 系统稳定 在MATLAB环境下 可以通过直接求解特征方程的根 根据根的分布来判断系统的稳定性 利用函数t