连续控制系统的机理建模.ppt

第2章连续控制系统的机理建模 吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶 连续与离散控制系统 主要内容 概述微分方程及线性近似框图模型及传递函数状态变量模型各种模型间的转换系列设计举例 2 1概述 为了理解和控制复杂系统 必须获得这些系统量化的数学模型 而此过程就称为建模 系统建模主要有三种方法 机理建模 即 白箱 建模 利用系统的具体结构和其所遵循的内在规律 物理的 化学的规律等 经严格的推导而获得最终数学模型的方法 辨识建模 即 黑箱 建模 利用实验的方法或者通过系统正常运行而获得其输入 输出的数据 从而采用能近似替代的模型 灰箱 建模 上两种的结合 机理建模的表达形式 一 微分方程表述方式 由于所涉及的系统从本质上来说是动态的 因此可以用微分方程来描述它们 传递函数表述方式 如果微分方程可以线性化 就可以利用拉普拉斯变换来处理 得到在初始松弛条件下定义的传递函数 它充分体现了系统的固有属性而与具体输入信号无关 经典控制理论中是以它为核心对系统进行研究的 机理建模的表达形式 二 框图表达方式 不能独立地对系统进行分析或综合 但由于其具有极强的直观性 因而也作为一种模型方式 状态方程表达方式 它是状态变量的一阶导数方程组 由于所选的状态变量不同 同一系统的状态方程可能是不同的 但其最终结果是一致的 解决动态系统问题的方法 1 定义系统及其组成部分 2 建立数学模型并列出相关假设 3 写成描述模型的微分方程 4 解方程 并获得所需的输出变量 5 研究所求的解和假设 6 如果有必要 重新分析或重新设计系统 2 2 1微分方程 系统微分方程的建立步骤 1 列写原始方程组2 解原始方程组3 化成标准形式设系统的输入变量为r t 输出变量为c t 则系统微分方程具有一般形式为 建立系统微分方程举例 例2 1系统如图所示 其中k为弹簧的刚度系数 f为阻尼器的粘性摩擦系数 m为物体的质量 F t 为外施力 c t 为物体的位移 忽略物体滑动摩擦力 求输出c t 与输入F t 的微分方程 解题过程 1 弹簧的弹性力其方向总和位移方向相反 2 阻尼器的阻尼力其方向总和位移方向相反 3 根据牛顿第二定律有 解题过程 续 4 消去中间变量F1 t F2 t 并整理得 此方程即为该系统的微分方程 进一步 求此机械系统的电模拟系统 2 2 2物理系统的线性近似 大部分的物理系统在变量的一定范围内是线性系统 然而 当变量无限增多时 所有的系统最终都变成非线性系统 对于弹簧 质量 阻尼器系统 小偏移y t 作用在质量上时 系统是线性的 如果y t 不断增大 弹簧最终将失去弹性而折断 因此 必须考虑到每个系统的线性化的问题及应用范围 工作点附近的泰勒展开 假设函数在研究的范围内是连续的 可以在工作点附近使用泰勒级数 于是有 在相对工作点的偏移量 x x0 附近的小范围内是对曲线本身的一个很好的近似 于是 作为合理的近似 上式变为 工作点附近的泰勒展开 续 如果变量y依赖于若干激励变量 x1 x2 xn 那么函数关系可以写做 同理利用多元函数的泰勒展开 忽略高阶项后 线性近似写做 线性近似举例 例2 2摆模型 考虑图 a 所示的摆 质量上的力矩为 线性近似举例 续1 质量的平衡位置是 0 0o T和 之间的非线性关系如图 b 所示 平衡点处的一阶导数值提供了线性近似 即 其中T0 0于是 有 该近似对 4内比较精确 例如 摆在通过 30o时线性模型的响应在实际非线性摆的响应的2 范围内 多变量线性近似举例 例2 3在下列范围 5 x 7 10 y 12 对非线性方程进行线性化 z xy 当x 5 y 10时 如果利用线性化方程计算z值 求其误差 解 根据给定的范围 选择工作点为 x0 6 y0 11 则z 66 在工作点附近进行泰勒展开 并忽略高阶项 多变量线性近似举例 续1 当x 5 y 10 用线性化方程求出z值为49 z正确值为50 因此误差为1 相对误差为2 2 3框图模型及传递函数 定义 线性定常系统在初始条件为零时 输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比称为该系统的输出和输入间的传递函数 初始条件为零有两层含义 其一是输入信号是在研究的时刻 0 才加入的 其二是输出在研究时刻之前 0 是静止的或称为平衡状态 框图的基本要素和基本连接 一 1 传输线 表示了信息的流动方向 2 增益 增益是系统某部分输出和输入之间的传递函数 3 比较环节 表示两个或多个信号算术运算关系的一种符号 4 分支 当一个信号送往多处作为输入时 用分支形式表示 框图的基本要素和基本连接 二 5 增益的串接 多个增益相串接 其总的增益为各增益之积 6 增益的并接 其总增益为各增益之和 框图的基本要素和基本连接 三 7 反馈 其基本形式如下 2 3 1系统框图的建立 根据所给系统的联接方式和各部分的物理规律列写原始方程组 将原始方程组进行拉氏变换 对每个方程指定其输出变量并画出其对应的子方框图 将各子方框图联接成总方框图 框图建立的例子 例2 4制作例2 1的系统框图 解 将原始方程组进行拉氏变换 得 框图建立的例子 续1 令C s 做输出 则将方程改写为 其对应的子方框图如下 框图建立的例子 续2 根据F1 F2和C的关系 画出对应的子框图 按对应的变量名称连接 则最终系统框图为 简单伺服系统举例 例2 5简单伺服系统 工作原理如下 1 系统的参考输入量 输入电位计电刷臂的角位置r 转化为电压 简单伺服系统举例 续1 2 输出电位计电刷臂的角位置c由输出轴的位置确定 转化为电压 3 用一对电位计作为系统的误差测量装置 它们可以将输入和输出位置转变为与位置成比例的电信号 4 电位计输出端上的误差电压被增益常数K1的放大器放大 放大器的输出电压作用到直流马达的电枢电路上 马达的励磁绕组上加有固定电压 简单伺服系统举例 续2 5 如果出现误差信号 马达就会产生力矩 以带动输出负载旋转 并使误差减小到零 6 对于固定的励磁电流 马达产生的力矩与电枢电流成正比 7 当电枢旋转时 在电枢中将感应出一定的电压 与角速度成正比 简单伺服系统举例 续3 试求马达转角位移 与误差电压ev之间的传递函数 此外 当La可以忽略时 试求这个系统的方框图和简化方框图 解 电枢控制式直流伺服马达的速度由电枢电压控制 电枢电流的微分方程为 简单伺服系统举例 续4 马达力矩的平衡方程为 J0为马达 负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的转动惯量 b0为马达 负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的黏性摩擦系数 简单伺服系统举例 续5 做拉氏变换 并消去Ia s 得传递函数 假设齿轮传动装置的传动比设计为 使得输出轴的转数是马达轴转数的n倍 因此 另外 简单伺服系统举例 续6 La很小可以忽略不计 传递函数 2 3 2梅森公式 框图对表示输入和输出变量之间关系已经足够了 但相互关系比较复杂的系统 框图的化简工作任务繁重 甚至难以完成 梅森公式是梅森在创建信号流图中提出的求取传递函数的方法 由于信号流图和框图并无本质的差别 故本课程以框图的形式进行介绍 2 3 2 1基本概念 回路和回路增益 在框图中由任何一点出发 沿信息流动方向 箭头所指方向 经过不重复的路径 每点仅经过一次 回到该点 则该路径称为一个回路 该回路所经过的各增益 比较环节符号之积称为该回路的增益 互不接触回路及其增益 如果两个回路没有任何公共点称为两个回路之间互不接触 简称两个互不接触回路 两个互不接触回路各回路增益之积称为两个互不接触回路增益 同理三个回路之间均无公共点称为三个互不接触回路 其各回路增益之积称为三个互不接触回路增益 以此类推 基本概念 二 设系统共有 个回路 则 若存在若干个两个互不接触回路 所有的两个互不接触回路增益之和记为N2 s 若存在若干三个互不接触回路 所有的三个互不接触回路增益之和记为N3 s 如此类推 约定 一个回路称自身为一个互不接触回路 其增益称为一个互不接触回路增益 那么具有 个回路的系统各种互不接触回路增益的总和 基本概念 三 设系统有 个回路 其系统的特征式表示为 前向通道及其增益 由输入沿信息流动方向不重复地到达输出的一个途径称为一个前向通道 该途径所经诸增益及比较环节符号的乘积称为该前向通道增益 记为 基本概念 四 前向通道的余子式 对于某个前向通道 在特征式中令与其相接触的所有回路增益为零 则剩余的式子称为该前向通道的余子式 记第i条前向通道的余子式为如果一条前向通道和所有回路都接触 其余子式一定为1 如果一个前向通道和所有回路都不接触 其余子式一定等于特征式 2 3 2 2梅森公式 设方框图的输入为R s 输出为C s 则传递函数为 用梅森公式求取传递函数的步骤 确定框图的回路及其增益 确定互不接触回路及其增益 求取特征式 确定前向通道增益及其余子式 代入梅森公式并整理 梅森公式使用举例 一 例2 6系统方框图如图 求 梅森公式使用举例 二 例2 7差动放大器双端输出电路如图 求 重要结论 对于同一个框图 若所指定的输出变量为框图内部的不同变量 但指定的输入变量均为外输入变量 则其特征式不变 均为该方框图所求得的特征式 因此求uo1 s us2 s 不需要重新求特征式 请大家求出前向通道 得到其传递函数 2 3 3框图的等效变换 有时为了简化框图或者为了使框图中只存在串 并 反馈基本联接形式 需要对原有框图进行等效变换 即不改变系统特性而改变方框图的画法称为方框图等效变换 这种变换从本质上讲是梅森公式在方框图内部的使用 框图变换的规则 截取有效方框图 将所求传递函数作为输入信号的内部变量点断开 将形成该输入信号的相关方框图去除 若在去除过程中发现有分支对指定输出有作用则保留该断点 对有效方框图使用梅森公式求取包括断点在内的所有传递函数 断点作为有效方框图的多输入信号 直接使用梅森公式结果作为增益或将其进行数学变换成所希望的形式 框图变换举例 例2 8系统框图如下 对B到A做框图变换 框图变换举例 续1 对其使用梅森公式得 框图变换举例 续2 2 3 4典型系统的框图 闭环传递函数的形式 既约分式形式 时间常数形式 零极点形式 闭环传递函数的求取 1 输出对于扰动的闭环传递函数 2 偏差对输入的闭环传递函数 闭环传递函数的求取 续1 3 偏差对扰动的闭环传递函数 4 根据叠加原理 系统的传递函数 闭环传递函数的求取 续2 5 系统偏差的传递函数 开环传递函数 在开环情况下 反馈B s 对误差 s 间传递函数称为系统的开环传递函数 记为G s 闭环系统开环后框图 开环传递函数的形式 与闭环传递函数相同 开环传递函数亦可表示成既约分式形式 零极点形式和时间常数形式 开环传递函数既约分式中分母的因子称为开环极点 分子的因子称为开环零点 开闭环之间的关系 设典型系统中前向通道增益为 反馈通道增益为 开环传递函数为 闭环传递函数为 开闭环之间的关系 续1 前向通道的零点 M s 的因子 既是开环零点又是闭环零点 而反馈通道的零点 P s 的因子 只是开环零点而不是闭环零点 反馈通道的开环极点 Q s 的因子 是闭环零点 说明当研究系统闭环后零点的影响时 单位反馈和非单位反馈可能有差别 开闭环之间的关系 续2 系统的特征式 系统的特征多项式是开环传递函数G s 的分子 分母之和 系统的特征方程为 2 4状态变量模型 状态变量模型可以用于非线性 时变和多变量系统的研究 时变控制系统是指一个或多个系统参数随时间而变化的系统 例如 在导弹飞行期间 由于燃料的消耗 导弹的质量会随着时间的变化而不同 2 4 1基本概念 状态 系统在时间域中运动信息的集合称为状态 状态变量 一组变量 这组变量能够保证一旦给定了系统的初始状态和初始时刻的输入就可以完全确定系统未来的状态 状态向量 将状态变量视为一个向量的分量 则该向量称为状态向量 状态空间 由状态向量所构成的坐标系称为状态空间 状态空间方程 描述系统状态之间及与系统输入变量之间关系的一阶微分方程组称为系统的状态方程 2 4 2状态空间方程的建立 尽量使用导数的形式列写原始方程组 考查原始方程组 凡有一阶导数的变量设为状态变量 若有高阶导数则增设状态变量 将原始方程组中各方程利用状态变量改写成只含一阶导数的形式 消掉中间变量使每个方程的左侧为状态变量的一阶导数 方程右侧为状态变量和输入信号 则获得系统的状态方程 将方程左侧列写输出变量 右侧列写状态变量和输入变量 则获得输出方程 状态空间方程的建立举例 例2 9列写例2 1的状态空间方程 解 考查原始方程组中含有位移c t 的一阶导数 故令状态变量为 方程中还有c t 的二阶导数 故令状态变量 因此 状态空间方程的建立举例 续1 表示成矩阵形式 状态空间方程的建立举例 续2 例2 10口服药吸收的速率是r 药物在消化道和在血液中的质量分别记作m1和m2 消化道中药物质量的变化速率等于药物的吸收速率减去药物进入血液的速率 该速率正比于其当前的质量 血液中质量的变化率等于药物从消化道来到血液的速率减去由代谢引起的质量损失的速率 而代谢的速率速率正比于血液中的当前质量 写出该系统的状态空间表示 状态空间方程的建立举例 续3 解 根据题目列写微分方程 即 K1和K2是比例系数 则状态空间方程为 2 4 3状态空间方程的一般形式 系统的输入向量为 输出向量为 状态向量为 则系统的状变空间方程一般形式为 各矩阵的含义 A称为系统矩阵 为一个n n矩阵 它表述了系统内部状态变量之间的关系 B称为输入矩阵 为一个n m矩阵 它表明输入对内部状态变量的作用情况 C称为输出矩阵 为一个k n矩阵 它表述了输出与内部状态变量之间的关系 D称为前馈矩阵 为一个k m矩阵 它表述了输出与输入的直接传递关系 状态空间的框图 状态空间方程的框图 2 5各种模型间的转换 状态空间方程的框图表示状态空间方程和传递矩阵 2 5 1状态空间方程的框图表示 状态方程由于是一阶微分方程且每个方程仅有一个状态变量的微分 因而用一个积分器来表示该状态变量及其导数 状态空间方程的框图表示举例 例2 11画出下面系统的框图 状态空间的框图表示举例 续1 例2 12画出下面系统的框图 状态空间的框图表示举例 续2 2 5 2状态空间方程和传递矩阵 传递矩阵的概念 多输入多输出系统 在初始条件为零时 可求得其传