虚功原理及结构的位移计算.pptVIP

第5章虚功原理及结构的位移计算 知识点 结构位移的概念及类型虚功原理及应用结构位移计算的一般公式静定结构在荷载作用下的位移计算图乘法静定结构由于支座移动 温度改变引起的位移计算线弹性结构的互等定理 教学基本要求 掌握结构位移计算的一般公式 并能正确应用于各类静定结构受荷载作用 支座位移 温度变化等引起的位移计算 熟练掌握图乘法的推导 应用条件 图乘技巧 梁和刚架位移计算的图乘法 掌握线弹性结构的互等定理 掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件 掌握刚体虚功原理的应用 掌握广义位移与广义荷载的概念 了解曲杆和拱的位移计算 虚功原理及应用 重点 图乘法及应用 难点 虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧 1 结构的位移 线位移 角位移 相对线位移 相对角位移 5 1结构位移计算概述 荷载作用下 还有什么原因会使结构产生位移 位移 包括线位移 角位移 相对线位移 角位移等称广义位移 引起结构位移的原因 荷载 温度改变 T 支座移动 c 制造误差 等 为什么要计算位移 2 计算位移的目的 1 刚度要求 如 在工程上 吊车梁允许的挠度 1 600跨度 高层建筑最大位移 1 1000高度 最大层间位移 1 800层高 铁路工程技术规范规定 桥梁在竖向活载下 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1 700和1 900跨度 3 理想联结 3 本章位移计算的假定 2 超静定要求 3 施工要求 叠加原理适用 1 线弹性 2 小变形 线性变形体系 1 一些基本概念 实功 广义力在自身所产生的位移上所作的功 功 力 力方向位移之总和 广义力 功的表达式中 与广义位移对应的力 广义功 广义力 广义位移之总和 虚功 广义力在对应广义位移但无关时所作的功 W FP1 11orW FP2 22 W FP1 12orW FP2 21 5 2虚功原理 理论难点 1 刚体体系的虚功原理 一个力系作的总虚功W P P 广义力 广义位移 例 1 作虚功的力系为一个集中力 2 作虚功的力系为一个集中力偶 3 作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶 4 作虚功的力系为两个等值反向的集中力 虚功 虚功 虚功 P 广义力 广义位移 两种状态 力状态 位移状态 总结虚功的两种状态 注意 两种状态 3 位移状态与力状态相互独立 完全无关 但相互对应 2 均为可能状态 即位移应满足变形协调条件 变形与位移协调 位移连续 杆件变形后不断开 不重叠 力状态应满足平衡条件 1 属同一体系 2 刚体体系的虚功原理 外力虚功 外力虚功 内力虚功 内力虚功 Wi 0 Wi 0 按由特殊到一般的推理方法 我们可以总结出刚体体系的虚功原理 在具有理想约束的刚体体系上 如果力状态下的力系能满足平衡条件 位移状态的刚体位移能与约束几何相容 位移与约束相对应 位移是连续的杆件变形后不断开 不重叠 则外力虚功为零 特别说明 对于刚体 力状态下有内力 但因位移状态下没有对应位移 故内力虚功为零 因此对于刚体的虚功原理也可以这样理解 外力虚功等于内力虚功都等于零 或 设体系上作用任意的平衡力系 又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移 平衡力系在位移上所作的虚功为零 3 刚体虚功原理的两种应用 既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关 因此不仅可以把位移看作是虚设的 而且也可以把力看作是虚设的 根据虚设对象的不同 刚体虚功原理主要有两种应用形式 1 虚功原理用于实际已知的平衡力状态与虚设的协调位移状态之间 虚设位移状态求已知力状态的未知力 虚位移原理 建立力状态 力状态 建立虚设的位移状态 位移状态 利用虚功原理求解 单位位移状态 第一种应用 1 把上式变形即为平衡方程式 实质上是实际受力状态的平衡方程 即 几点说明 3 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系 2 所求力与虚设位移的大小无关 故可设单位位移 特点 用几何法来解静力平衡问题 刚体虚位移原理 已知刚体的力状态 虚设位移状态求未知力 例求图示多跨梁B的支座反力 E截面的弯矩 如右图 已知支座A向上移动一个已知位移 现求c点竖向位移 FP 位移状态 力状态 单位力状态 利用已知的位移状态 建立虚设的力状态 建立虚功方程求解 第二种应用 2 虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态之间 虚设力状态求已知位移状态下的位移 虚力原理 几点说明 1 所建立的虚功方程 实质上是几何方程 是把几何问题转化为平衡问题 特点 是用静力平衡法来解几何问题 2 因求出的位移与所设力的大小无关 为了计算的方便 故可设单位广义力P 1 称为 单位荷载法 3 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系 刚体的虚力原理 已知刚体的位移状态 虚设力状态求未知位移 例题 1 C点的竖向位移 2 杆CD的转角 所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致 求解步骤 1 沿所求位移方向加单位力 求出虚反力 3 解方程得 定出方向 2 建立虚功方程 2 变形体的虚功原理 根据刚体的虚功原理 按照从特殊到一般的推理原则 总结得出变形体的虚功原理 在具有理想约束的变形体系上 若力状态的力系满足平衡条件 整体平衡 局部平衡 位移状态下的位移满足变形协调条件 包括变形与应变的协调 轴向应变对应轴向线位移 剪应变对应横向位移 弯曲应变也就是曲率对应角位移 位移与约束的几何相容 位移连续 杆件变形后不断开 不重叠 约束和位移是相对应的 则外力在位移上所作的虚功恒等于各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功 即 1 单根变形直杆虚功方程的建立 力状态 位移状态 整体平衡 局部平衡 变形协调 根据微段dx的三类变形 可求得微段两端截面的三种相对位移 微段dx局部变形包括三部分 平均剪应变 轴线曲率 相对轴向位移 相对剪切位移 相对转角位移 相对位移是描述微段变形的三个基本参数 轴线伸长应变 建立虚功方程 外力虚功 内力虚功 微段上的内力虚功 整个变形体的内力虚功为 单根变形直杆的虚功方程 注意 P为广义力 包括杆端力 杆件受的均布荷载 集中荷载 约束反力等 也是广义位移 包括角位移 线位移等 2 杆系结构虚功方程的建立 变形体虚功原理的注意点 虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和 反过来虚功方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程 以上结论与材料物理性质及具体结构无关 因此 虚功原理虚功方程既适用于一切线性 非线性 静定 超静定结构 虚功原理里存在两个状态 力状态必须满足平衡条件 位移状态必须满足协调条件 因此原理仅是必要性命题 刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式 3 变形体虚功方程的应用 将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过 单位荷载法 下面从虚功方程入手 讨论杆系结构位移计算的一般公式 杆系结构虚功方程为 5 3计算结构位移的一般公式 单位荷载法 设待求的实际广义位移为 与 对应的广义力为P 实际位移状态 虚设的力状态 则杆系结构虚功方程为 则杆系结构虚功方程改写为 位移计算的一般公式 一般公式的普遍性表现在 2 结构类型 梁 刚架 桁架 拱 组合结构 静定和超静定结构 1 位移原因 荷载 温度改变 支座移动等 3 材料性质 线性 非线性 4 变形类型 弯曲变形 拉 压 变形 剪切变形 5 位移种类 线位移 角位移 相对线位移和相对角位移 试确定指定广义位移对应的单位广义力 仅在荷载作用时的位移计算一般公式 对于由线弹性直杆组成的结构 有 5 4静定结构在荷载作用下的位移计算 式中 轴向 剪切 弯曲 公式的适用范围 只适用于线弹性结构 这些公式的适用条件是什么 内力的正负号规定如下 例 求刚架A点的竖向位移 解 构造虚设力状态 实际位移状态 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程 或画出内力图 如 虚拟力状态 荷载内力图 单位内力图 将内力方程代入公式 讨论 轴向 剪切 弯曲 引入符号 问题 的取值范围是什么 设杆件截面为b h的矩形截面杆 有 因此 对受弯细长杆件 通常略去FN FQ的影响 取 有 即 几点讨论 只有荷载作用 一般来说 剪切变形影响很小 通常忽略不计 1 对梁和刚架 2 对桁架 3 对组合结构 已知 各杆EA相同 求 求 DV 5FP 8FP 1 3FP 已知 EI为常数 求 解 虚设力状态 例 求曲梁B点的竖向位移和水平位移 EI EA GA已知 解 构造虚设的力状态如图示 同理有 将内力方程代入位移计算公式 可得 三铰拱的分析同此类似 但一般要考虑轴力对位移的贡献 也即 已有基础 1 静定结构的内力计算 2 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式 即 5 5图乘法及其应用 这一节主要内容 2 几种常见图形的面积和形心位置 3 图乘法注意事项 4 应用举例 1 图乘法 在杆件数量多的情况下 不方便 下面介绍梁和刚架在荷载作用下计算位移的图乘法 刚架与梁的位移计算公式为 对于等截面杆 对于直杆 图乘法求位移公式为 图乘法是Vereshagin于1925年提出的 他当时为莫斯科铁路运输学院的学生 1 图乘法的推证 hl 2 二次抛物线 2hl 3 二次抛物线 hl 3 二次抛物线 2hl 3 三次抛物线 hl 4 n次抛物线 hl n 1 顶点 顶点 顶点 顶点 顶点 2 几种常见图形的面积和形心的位置 图乘法的适用条件是什么 1 图乘法的应用条件 1 等截面直杆 EI为常数 2 两个M图中应有一个是直线 3 应取自直线图中 2 若与在杆件的同侧 取正值 反之 取负值 4 图乘时注意应用图乘技巧 3 公式应用注意事项 3 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加 复杂图形 可分解为简单图形图乘 a 直线形乘直线形 各种直线形乘直线形 都可以用该公式处理 如竖标在基线同侧乘积取正 否则取负 111 15 33 b 非标准抛物线乘直线形 c 阶梯形截面杆 ql2 2 例 求梁B点竖向线位移 例 求图示梁中点的挠度 3a 4 例 求图示梁C点的挠度 取面积的范围内 另外一个图形必须是直线 例 设EI为常数 求 解 作荷载内力图和单位荷载内力图 应分段 例试求图所示结构C点的竖向位移 解 1 作实际状态的 2 建立虚拟状态 并作图 3 进行图形相乘 求C点竖向位移 1 l 2 y1 y2 y3 求 B 求B点的竖向位移 ql2 8 l 2 例 图示变截面杆AB段的弯曲刚度为4EI BC段的弯曲刚度为EI 试求C点的竖向位移 解绘出实际状态及虚拟状态的 图 y1 y2 y3 y4 y5 72 20 MP图 求B点竖向位移 例 已知EI为常数 求 解 作荷载内力图和单位荷载内力图 解法一 解法二 例 求C截面竖向位移 MP 例 已知EI为常数 求刚架A点的竖向位移 并绘出刚架的变形曲线 FP 解 作荷载内力图和单位荷载内力图 在图求面积 在图取竖标 有 绘制变形图时 应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向 注意反弯点的利用 如 FP 已知EI为常数 求A B两点相对水平位移 MP 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 已知EI为常数 求铰C两侧截面相对转角 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 解 已知 各杆EI 常数 求A B两点之间的相对转角 图示结构EI为常数 求AB两点 1 相对竖向位移 2 相对水平位移 3 相对转角 MP 对称弯矩图 反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘 结果为零 作变形草图 绘制变形图时 应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向 注意反弯点的利用 如 例 已知 E I A为常数 求 解 作荷载内力图和单位荷载内力图 请对计算结果进行适当讨论 讨论 如果B支座处为刚度k的弹簧 该如何计算 显然 按弹簧刚度定义 荷载下弹簧变形为 因此 弹簧对位移的贡献为 由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求C D两点相对水平位移 解 作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求A点竖向位移 EI 常数 两个悬臂刚架 在悬臂端插入一个长度为e的垫块 问需要多大的两个力 解 已知位移求荷载 其它 5 6静定结构由于温度变化 支座位移引起的位移计算 1 由于温度改变引起的位移计算 荷载位移公式 温度位移公式 为了推导公式的方便 特作一下假设 1 温度沿杆长不变2 温度沿杆截面高度h为直线变化3 温度变化的前 后杆截面仍保持平面4 以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形 图示结构 设外侧温度升高 内侧温度升高 求K点的竖向位移 杆轴温度 线膨胀系数 对称截面 上 下边缘的温差为 线膨胀系数 另外 温度变化时 杆件不引起剪应变 微段轴向伸长和截面转角为 图面积 图面积 将温度引起的变形代入公式 可得 沿杆长温度不变 上式中的正 负号 原则 变形一致为正 反之为负 由温度引起的弯曲变形与由单位力引起的弯曲变形一致 取 正 号 即和使杆件的同一边产生拉伸变形 其乘积为正 由温度引起的轴向变形与由单位力引起的轴变变形一致 取 正 号 即温度以升高为正 则轴力以拉为正 3其余符号均取绝对值 对梁和刚架 对桁架 几种情况 温度引起的轴向变形影响不能少 实际状态 解 构造虚拟状态 虚拟状态 例 刚架施工时温度为20 试求冬季外侧温度为 10 内侧温度为0时A点的竖向位移 已知l 4m 各杆均为矩形截面杆 高度h 0 4m 单位荷载内力图为 例 图示结构温度变化如图 各杆截面相同为h 且对称于形心 求 E点的水平位移 解 附属部分 基本部分 附属部分 基本部分 解 构造虚拟状态 例 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角 上弦杆杆轴温度升高 2 静定结构支座移动时的位移计算 静定结构由于支座移动并不产生内力 故杆件不产生变形 只发生刚体位移 该位移也可由几何关系求得 有 ci表示实际状态的