高数上期末总复习.ppt

高数 上 期末总复习 函数的定义 反函数 隐函数 反函数与直接函数之间关系 基本初等函数 复合函数 初等函数 函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性 双曲函数与反双曲函数 函数 主要内容 函数极限及连续 典型例题 例1 解法讨论 解 例2 解 例3 解 求导法则 基本公式 导数 高阶导数 高阶微分 主要内容 导数与微分 典型例题 例1 解 或 设f x xg x g x x 1 x 2 x 100 则f x g x xg x f 0 g 0 0 100 例2 解 例3 解 例4 解 两边取对数 例5 解 例6 解 例7 解 Rolle定理 Lagrange中值定理 常用的泰勒公式 Cauchy中值定理 Taylor中值定理 主要内容 导数的应用 一 例1 解 典型例题 0 0 2 导数的应用 二 典型例题 例1 最大值 例2 解 例3 例4 证 例5 证明 例6 解 若两曲线满足题设条件 必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数 于是有 解此方程组得 故所求作抛物线的方程为 曲率圆的方程为 两曲线在点处的曲率圆的圆心为 例7 解 奇函数 列表 极大值 拐点 极小值 作图 练习 积分法 原函数 选择u有效方法 基本积分表 第一换元法第二换元法 直接积分法 分部积分法 不定积分 几种特殊类型函数的积分 主要内容 不定积分 基本积分表 是常数 四种类型分式的不定积分 此两积分都可积 后者有递推公式 典型例题 例1 解 例2 解 例3 解 倒代换 例4 解 解得 例5 解 例6 解 例7 解 例8 解 例9 解 练习 注 或 当a 0 b 0时 当a 0 b 0时 计算 其中a b是不全为0的非负常数 解当a 0 b 0时 计算 求 解原式 求 解原式 求 解令 则 从而 求 解法1原式 解法2原式 计算不定积分 解法1原式 解法2令 原式 计算 解原式 计算 分部积分或三角代换 答案 测验题 测验题答案 典型例题 例1 计算 解 设x asint 则dx acostdt 且当x 0时 t 0 当x a时 t 2 定积分 例2 计算 解 设 且当x 0时 t 0 当x 1时 t 1 由前面的换元公式得 再用分部积分公式计算上式的右端的积分 设u t dv etdt 则du dt v et 于是 例3求 解 这是一个 型未定式 可看成以u cosx为中间变量的复合函数 例4计算下列积分 解 1 原式 2 此题用第二换元法 换元换限不换回 令 则1 lnx t2 故原式 1 2 例5若f x 在 0 1 上连续 证明 证明 设 则dx dt 且 当x 0时 时 t 0 于是 注意 此处用到 定积分与积分变量无关 的结论 定积分应用的常用公式 1 平面图形的面积 直角坐标情形 定积分的应用 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 2 体积 平行截面面积为已知的立体的体积 3 平面曲线的弧长 弧长 A 曲线弧为 弧长 B 曲线弧为 C 曲线弧为 弧长 4 旋转体的侧面积 5 细棒的质量 6 转动惯量 7 变力所作的功 8 水压力 9 引力 10 函数的平均值 11 均方根 二 典型例题 例1 解 由对称性 有 由对称性 有 由对称性 有 例2 解 如图所示建立坐标系 于是对半圆上任一点 有 故所求速度为 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 解设要求的点为 x1 y1 y1 x12 1 过 x1 y1 的切线方程为 令x 0 y 0得切线的截距 于是 所求面积为 唯一驻点 解 在点 处的切线l方程为 即 所围面积 令 得t 1 又 故t 1时 S取最小值 此时l的方程为 求曲线 的一条切线l 使该曲线与切线l 及直线x 0 x 2所围成的图形面积最小 故此切线方程为 又因该切线过点P 1 0 所以 即 从而 切线方程为 因此 所求旋转体的体积 解设所作切线与抛物线相切于点 因 过点P 1 0 作抛物线 的切线 该切线与上述抛物 线及x轴围成一平面图形 求此图形绕x轴旋转一周所成的体积 1 求曲线所围的面积 1 求交点 2 算面积 2 设平面区域D由x 0 x 1 y a o a 1 及y x2围成 试问a为何值时D的面积最小 3 设平面图形A由 求图形A绕直线x 2旋转一周所得旋转体的体积 A的两条边界曲线方程分别为及x y 相应于 0 1 上任一小区间 y y dy 的薄片的体积元素为 于是所求体积为 解A的图形如下图所示 取y为积分变量 它的变化区间为 0 1 所确定 4 曲线 和x轴围成一平面图形 求此平面图形 绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 解在 1 2 上取积分元素 得 求由曲线y x2 2x y 0 x 1 x 3所围平面图形分别绕x和y轴旋转一周 所得的旋转体体积 5 计算曲线 上相应于 的一段弧的长度 解 6 求摆线 一拱 0 t 2 的弧长S 解 7 求心形线 的全长 其中a 0是常数 解 由对称性得 8 半径为R的球沉入水中 求得上