数值分析-考博必考课程-研一考试复习专用.ppt

1 第二章线性方程组的数值解法 序 本章主要讨论n阶线性代数方程组 的解法 其矩阵形式为 其中 非奇异阵 即 未知向量 右端向量 常数向量 由克莱默 Cramer 法则知 上方程组有唯一解 其解为 2 但是这种计算方法在实际应用中对于高阶方程组却不能用 如果用每秒计算一亿次的计算机计算也要算30多万年 因此 行之有效的方程组的数值解法在数值计算中有着十分重要的地位 例如当n 20时 计算量为 这是因为用此法解上方程组需计算n 1个n阶行列式 每个行列式的展开式有时候n 项 每一项又是n个元素的乘积 不难算出 计算一个n阶方程组的解需做乘除法 3 计算机上解线性方程组的数值方法大致可分为两种 直接法 精确解法 迭代法 在没有舍入误差的条件下 经过有限次四则运算而求得方程组的精确解的方法 例如 Gauss消元法 平方根法 追赶法等 通过某种极限过程去逐次逼近方程组的精确解的方法 4 1高斯消去法与列主元消去法 一 高斯消去法 1 三角形方程组 定义 系数矩阵是三角形矩阵的方程组 例如 当时 方程组有唯一解 求解过程可采用逆推方式 称之为回代过程 消元过程 5 2 高斯消去法 顺序消去法 特点 6 解 消元过程用增广矩阵的行初等变换来表示 第一次消元 第二次消元 然后回代 解得 7 推至一般 对线性代数方程组 记 消元过程 当时 记 8 其中 这样 就得到了一个与原方程组同解的方程组 9 其中 这样 就得到了一个与原方程组同解的方程组 重复以上过程 在完成第次消元后 当时 记 第k次消元为 10 其中 11 12 13 综上所述 有 定理 若约化主元素 计算公式如下 消元计算 对依次计算 14 回代求解 15 16 17 18 注 由上面公式可得 整个高斯消元法的消元过程中 乘法运算次数为 除法运算次数为 回代过程中 乘法运算次数为 除法运算次数为 19 20 21 22 23 二 列主元素消去法 序 高斯消去法是按照原方程组中给定的方程以及未知元的排列顺序依次进行消元的 故又称顺序消去法但在消元中将遇到两个问题 若第k步中主元素 则消元过程就无法进行 即使 把它作除数 就可能造成误差的严重扩散 使解的精确度受到严重影响 从而造成结果严重失真 但若其绝对值相对较小 此时称为小主元 24 用顺序消元法解 用具有舍入的4位浮点数进行计算 第一次消元 消元过程 回代求解 得 显然答案是错误的 25 如果选用2 000作为约化主元素 即先交换两个方程的位置 然后再进行消元 则有 交换两行 第一次消元 再回代求解 则得 由此 这种消元法称为主元素消去法 按选取主元素的方法不同 主元素消去法可分为以下几种 26 完全主元素消去法 在方程组的系数矩阵的某一行中 选择绝对值最大的元素作为主元素的消去法 在方程组的系数矩阵的某一列中 选择绝对值最大的元素作为主元素的消去法 行主元素消去法 列主元素消去法 在方程组的系数矩阵的所有元素中 选择绝对值最大的元素作为主元素的消去法 27 列主元素消去法最为常用 其应用的步骤一般为 第一步 第一次消元后得增广矩阵 第二步 依次进行下去 经过n 1步选主元与消元 就得到一个与原方程等价的三角形方程组 再进行回代求解