简单的线性规划及实际应用

1 / 13简单的线性规划及实际应用本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课件m 题目第七章直线和圆的方程简单的线性规划及实际应用高考要求1 了解二元一次不等式表示平面区域2 了解线性规划的意义并会简单的应用知识点归纳1 二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+c=0，坐标平面内的点 P（x0，y0）B0 时，Ax0+By0+c0，则点 P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+c0，则点 P（x0，y0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式 Ax+By+c0（或0） ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系数变形为正数当 B0 时，Ax+By+c0 表示直线 Ax+By+c=0 上方的区域；Ax+By+c0 表示直线 Ax+By+c=0 下方的区域2 线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题2 / 13满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域） ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量 x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数 z=f（x，y） ；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域） ；（5）利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t（t为参数） ；（6）观察图形，找到直线 f（x，y）=t 在可行域上使 t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案题型讲解例 1 求不等式x1+y12 表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：x1+y12 可化为或或或其平面区域如图3 / 13面积 S=44=8点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界例 2 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速vnmile/h（4v20）从 A 港出发到距 50nmile 的 B 港去，然后乘汽车以匀速 wkm/h（30w100）自 B 港向距 300km的 c 市驶去应该在同一天下午 4 至 9 点到达 c 市设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是 xh、yh（1）作图表示满足上述条件的 x、y 范围；（2）如果已知所需的经费 p=100+3（5x）+2（8y） （元） ，那么 v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?分析：由 p=100+3（5x）+2（8y）可知影响花费的是 3x+2y 的取值范围解：（1）依题意得 v=，w=，4v20，30w1003x10，y由于乘汽车、摩托艇所需的时间和 x+y 应在 9 至 14 个小时之间，即 9x+y14因此，满足的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）p=100+3（8y） ，4 / 133x+2y=131p设 131p=k，那么当 k 最大时，p 最小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为的直线 3x+2y=k 中，使 k 值最大的直线必通过点（10，4） ，即当 x=10，y=4 时，p 最小此时，v=125，w=30，p 的最小值为 93 元点评：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式然后分析要求量的几何意义例 3 某矿山车队有 4 辆载重量为 10t 的甲型卡车和 7 辆载重量为 6t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360t 矿石至冶炼厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次甲型卡车每辆每天的成本费为 252 元，乙型卡车每辆每天的成本费为 160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?分析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解：设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆，车队所花成本费为 z 元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图5 / 13作出直线 l0：252x+160y=0，把直线 l 向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在 y 轴上的截距最小观察图形，可见当直线 252x+160y=t 经过点（2，5）时，满足上述要求此时，z=252x+160y 取得最小值，即 x=2，y=5 时，zmin=2522+1605=1304答：每天派出甲型车 2 辆，乙型车 5 辆，车队所用成本费最低点评：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x，y）=t 的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点例 4 设，式中变量满足条件求的最大值和最小值解：由已知，变量满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此所表示的区域为如图中的四边形 ABcD当过点 c 时，取最小值，当过点 A 时，取最大值即当时， ，当时，例 5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付 3000 元的固定费用，它生产 1 千克糖果的成本是 10 元，而销售价是每千克 15 元，试问：每天应生产并销售多少糖6 / 13果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少？解：设生产千克的糖果的成本函数为，销售千克的糖果的收益函数为，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量，令，得，即每天必须生产并销售 600 千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当时， ，表示有盈利，反之则表示亏本例 6 某人有楼房一幢，室内面积共 180m，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 18，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元，小房间每间面积为 15，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元，装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他们只能筹 8000 元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？解：设应隔出大房间间和小房间间，则且，目标函数为，作出约束条件可行域：根据目标函数，作出一组平行线当此线经过直线7 / 13和直线的交点，此直线方程为，由于不是整数，所以经过整点（3，8）时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解即应隔大房间 3 间，小房间 8 间，或者隔大房间 0 间，小房间 12 间，所获利益最大如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间 3 间，小房间 8 间小结：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标8 / 13学生练习1 下列命题中正确的是A 点（0，0）在区域 x+y0 内 B 点（0，0）在区域x+y+10 内c 点（1，0）在区域 y2x 内 D 点（0，1）在区域xy+10 内解析：将（0，0）代入 x+y0，成立答案：A2 设动点坐标（x，y）满足（xy+1） （x+y4）0，x3，则 x2+y2 的最小值为ABcD10解析：数形结合可知当 x=3，y=1 时，x2+y2 的最小值为10答案：D3 不等式组 2xy+10，x2y10，x+y1 表示的平面区域为A 在第一象限内的一个无界区域 B 等腰三角形及其内部c 不包含第一象限内的点的一个有界区域 D 正三角形及其内部答案：B4 点（2，t）在直线 2x3y+6=0 的上方，则 t 的取值范围是_9 / 13解析：（2，t）在 2x3y+6=0 的上方，则 2（2）3t+60，解得 t答案：t5 不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有_个解析：（1，1） ， （1，2） ， （2，1） ，共 3 个答案：36（x1）2+（y1）2=1 是x1+y11 的_条件A 充分而不必要 B 必要而不充分 c 充分且必要 D 既不充分也不必要答案：B7（x+2y+1） （xy+4）0 表示的平面区域为ABcD答案：B8 画出以 A（3，1） 、B（1，1） 、c（1，3）为顶点的ABc 的区域（包括各边） ，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x2y 的最大值和最小值分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点 A、B、c，则直线 AB、Bc、cA 所围成10 / 13的区域为所求ABc 区域直线 AB 的方程为 x+2y1=0，Bc 及 cA 的直线方程分别为 xy+2=0，2x+y5=0在ABc 内取一点 P（1，1） ，分别代入 x+2y1，xy+2，2x+y5得 x+2y10因此所求区域的不等式组为x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直线 3x2y=0 的直线系 3x2y=t（t 为参数） ，即平移直线 y=x，观察图形可知：当直线 y=xt 过A（3，1）时，纵截距t 最小此时 t 最大，tmax=332（1）=11；当直线 y=xt 经过点 B（1，1）时，纵截距t 最大，此时 t 有最小值为 tmin=3（1）21=5因此，函数 z=3x2y 在约束条件x+2y10，xy+20，2x+y50 下的最大值为11，最小值为59 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 05 元，米食每 100g含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 04 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最11 / 13少?解：设每盒盒饭需要面食 x（百克） ，米食 y（百克） ，所需费用为 S=05x+04y，且 x、y 满足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由图可知，直线 y=x+S 过 A（， ）时，纵截距 S 最小，即 S 最小故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少10 配制 A、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3mg，乙料 5mg；配一剂 B 种药需甲料5mg，乙料 4mg 今有甲料 20mg，乙料 25mg，若 A、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设 A、B 两种药分别配 x、y 剂（x、yN） ，则x1，y1，3x+20，5x+4y25上述不等式组的解集是以直线 x=1，y=1，3x+=20 及5x+4y=25 为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1） 、 （1，2） 、 （1，3） 、 （2，1） 、 （2，2） 、 （3，1） 、（3，2） 、 （4，1）所以，在至少各配一剂的情况下，共有8 种不同的配制方法11 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两12 / 13种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）空调机洗衣机成本 3020300劳动力（工资）510110单位利润 68试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y，由题意有30x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y 均为整数由图知直线 y=x+P 过 m（4，9）时，纵截距最大这时 P也取最大值 Pmax=64+