连续时间系统的频域分析.ppt

第四章连续时间系统的频域分析 本章要点 F F F F 连续时间系统的频域分析 系统无失真传输的条件 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 调制与解调 LTI系统的全响应 零输入响应 零状态响应本节只研究零状态响应 即将分解为无限个之叠加 即零状态响应分解为所有被激励加权的之叠加 时域方法缺点 计算复杂 4 1连续时间系统的频域分析 一 时域分析法 二 频域分析法 是变换域分析法的一种 由时域卷积定理知 称为系统函数 或传递函数 此方法称为频域分析法 另外还有复频域分析法 Z域分析法等都是属于变换域分析法 将任意激励信号分解为无穷多项信号的叠加 或无穷多项正弦分量的叠加 将无穷多项信号分量作用于系统所得的响应取和 叠加 2 总结 在线性时不变系统的分析中 无论时域 频域的方法都可按信号分解 求响应再叠加的原则来处理 也是建立在线性系统具有叠加性 齐次性基础上 与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同 频域分析法 频域分析法需进行正反两次变换 且付氏变换的运用要受绝对可积条件的限制 所以求连续系统的响应时更多地采用复频域分析法 拉氏变换法 但频域分析法仍十分重要 因为复频域分析法是频域分析法的推广 信号的频谱具有明确的物理意义 当系统内部结构无法确知时 在复频域中无法得到反映系统功能的系统函数 但在频域中可通过实验测得 频域法步骤 1 将激励信号分解为正弦分量 即求 2 找出联系响应与激励的系统函数 网络函数 3 求各频率分量的响应的频谱函数 因为响应的复数振幅为 对频率为 的分量而言 频率为 的分量的复数振幅为 所以 4 求响应 有始信号通过线性电路的瞬态分析 例1 已知 求零状态响应 解 例题说明 2 O t t E O t t O w O w O w 1 急速变化处意味着有很高的频率分量 从以上分析可以看出 利用从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异 物理概念比较清楚 但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐 因此 在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时 用更方便 很少利用 这节引出的重要意义在于研究信号传输的基本特性 建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义 结论 例2已知一线性系统及系统函数如图 设激励为 求系统的输出 解 1 求 2 求 3 求 4 求 三 系统的频率特性 h t 的傅里叶变换 系统微分方程两边求傅里叶变换 H j H p p j H j 在特定点 上的取值实际上表示了系统对该频率点上的信号的幅度和相位的影响 1 H jw 求法 2 H j 可以引出系统的频域特性 1 系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响 包括对复正弦信号幅度和相位的影响 2 频率特性曲线H j H j ej 幅频特性和相频特性 3 系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出 1 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘 可以得到响应信号的幅频特性曲线 R j H j E j 2 激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加 可以得到响应信号的相频特性曲线 3 由输出信号的频谱不难求得输出信号 信号分析 傅里叶变换应用于通信系统历史悠久 范围宽广 现代通信系统的发展处处伴随着傅里叶变换方法的精心运用 从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面 滤波 调制 失真 4 2理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 H u v 被称为滤波器 类似日常生活中的筛子 被滤波的图像可以由逆傅里叶变换得到 改变图像变换 滤波器是如何作用于图像的 1 陷波滤波器 设置F 0 0 0 保留其它频率成分不变 结果图像的灰度平均值为零 IC的SEM图像 F 0 0 置零 其他频率成份不变 滤波后图像均值为零 注意 平均灰度为零 图像中必然会出现负值 而显示无法处理负值 标准显示方式将所有负值当作0 黑色 显示 其它值在此基础上按比例增加 1 整体平均灰度级降低2 产生边缘突出伴随结果3 可以识别由特定的 局部化频域成分引起的空间图像效果时非常有用 2 低通滤波器 3 高通滤波器 因高频分量被衰减 图像少了一些尖锐的细节部分 所以图像被模糊了 因低频分量被衰减 图像在平滑区域中将减少一些灰度级的变化 并突出过渡 如边缘 灰度级的细节部分 所以图像被锐化了 为截止频率 Cutofffrequency 相移特性是过原点直线 4 2理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 阻带 通带 阻带 二 理想低通滤波器的冲激响应 由图知t 0时 而输入在t 0时加入 这是反因果规律的 所以理想低通滤波器是无法实现的 理想低通滤波器冲激响应的特点 1 波形失真 2 延时t0时刻 3 非因果性 三 理想低通滤波器的阶跃响应 设理想低通滤波器的阶跃响应为 上式第一项积分 第二项积分是正弦积分函数 它的函数值可从正弦积分函数表中查得 于是可得理想低通滤波器的阶跃响应为 x 1 O p x Si x O 式中 称为正弦积分函数 1 t O B A A点处 B点处 查表得 故可求得 响应电压的建立时间与通频带成反比 理想低通滤波器阶跃响应的特点 1信号边沿变缓 阶跃信号在瞬间发生跳变 响应信号发生跳变的前沿是倾斜的 响应信号的建立需要时间 2信号波形发生了失真 3信号有延时 响应出现的时间比激励滞后 4系统响应超前于激励 非因果性 物理不可实现 四 理想低通滤波器的物理可实现条件给定一个网络数学模型 什么样的可以物理实现 什么样的不行 这是一个网络综合问题 网络分析 已知网络结构和参数 求系统在一定输入下的响应 网络综合 在给定网络特性的情况下 确定网络的结构和参数 1 物理可实现的时域条件 这一条件也称为 因果条件 2 物理可实现的频域条件 物理可实现的必要条件是 其中 满足 这一条件称为佩利 维纳准则 例如 理想低通滤波器 违反了佩利 维纳准则 则系统不可实现 理想低通 带通 高通及带阻滤波器均是非因果性系统 若一系统的频响为 判断此系统是否是物理可实现的 例 佩利 维纳准则还对LTI因果系统频响的衰减速率提出了限制 该积分是不收敛的 结论 按指数速率或比指数速率衰减更快的频响也是不允许的 佩利 维纳准则不满足 此系统物理不可实现 举例 一个简单的低通滤波器 分析 以图示电路为例 设 则网络系统函数 例题分析 可看出 与理想低通滤波器有些相似 不同在于 例题分析 与理想低通滤波器有些相似 不同在于 佩利 维纳准则 是系统物理可实现的必要条件 而不是充分条件 物理可实现的低通滤波器LPF 理想低通 带通 高通及带阻滤波器均是非因果性系统 通带 允许通过的信号频率范围 阻带 不允许通过的信号频率范围 根据Paley Wiener准则以及实际系统条件的限制 为了能够得到物理可实现的滤波器 必须对滤波器的设计要求有所放松 允许在通带和阻带之间有缓冲 过渡带 通带和阻带之间的允许缓冲部分 过渡带 通带和止带之间的允许缓冲部分 允许在止带内幅频特性不等于零 只要幅频足够小 就可以系统认为达到了阻止相应信号通过的目的 阻带衰减 阻带中各个频率分量上频率特性允许出现的最大的幅度 通带内的各个频率上的增益允许有一定的差异 通带内起伏 通带内各个频率点上的频率特性允许的误差最大值 低通滤波器的容限图 4 3调制与解调 一 为什么要调制 为了有效传输信号 天线尺寸可实现 天线尺寸 不同信号在同一信道里传输不产生重叠 用多路复用技术解决 在一个信道中传输多路信号 调制是实现多路复用的关键技术 手机的工作频段为900 1800MHz 0 3m 二 调制的类型 调制通常是由待传输的低频电信号 即调制信号 去控制另一个高频振荡的幅度 频率或初相位等参数之一达到的 载波 在调制时 未调的高频振荡仿佛起着运送低频信号的运载工具的作用 所以称为载波 载波的频率称为载频 carrierfrequency 此外 还有一种脉冲调制方法 脉冲调制 由调制信号去控制一个脉冲序列的幅度 脉宽或脉冲位置等参数中的一个 以形成已调制的脉冲序列 经调制后的高频电波称为已调波 三 调制原理theoryofmodulation 调制 将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围的过程 待传输的信号 称为调制信号 运载的高频振荡信号称为载波 为经调制后的高频信号称为已调波 应用傅里叶变换的性质说明频谱搬迁的原理 分析例中已调波 振幅随调制信号而变 这种调制称为调幅 调制信号的能量集中在零频率附近 其频宽B m 而已调信号能量则集中在载波频率附近形成两个边带 sideband 上边带 uppersideband USB 下边带 uppersideband USB 1 抑制载频调幅 AM SC 去除载波分量 调制信号及其频谱 载波信号及其频谱 抑制载频调幅信号及其频谱 2 幅度调制 AmplitudeModulation AM 幅度调制框图 调幅的框图如上所示 在调制信号中加入一直流分量A0 以形成载频信号 于是 相应的频谱则为 调制信号 调制信号的频谱 调幅信号波形及频谱 四 调幅波的频谱分析举例 e t 为周期信号 已调信号 表示调制信号中n次谐波分量对载频幅度控制程度的一个量 称为部分调制系数 1 正弦调制 频谱 调幅波的频宽为调制频率的两倍 这种调制中载波的振幅随信号e t 成比例的改变 称为调幅 简称AM a t 中含有载波分量 当时 解调不需本地载波 直接用简单的包络检波器 二极管 电阻 电容组成 即可提取包络恢复e t 接收机简单 成本降低 但代价是使用价格昂贵的发射机 2 复杂周期信号调制 下边带 上边带 调幅波的频谱 频宽Bs 因为调幅波的能量集中于载频附近 它的有效频宽Bs是调制信号频宽Bsm的两倍 即 Bs 2Bsm 3 AM波的功率 载波功率 平均功率 在一个调制波周期内的平均功率 一对正 负频率分量代表一个余弦信号 根据帕塞瓦尔定理 可得已调信号的评均功率为 例 已知调幅波u 100 30cos t 20cos3 t coswctV试求 1 这一调幅波包含哪几个正弦分量 绘出调幅信号的频谱图 2 这一调幅波电压加于负载电阻1k 问负载中吸收的载波功率和边带功率 解 1 振幅为10V的第二对上下边频分量 其频率分别为 C 3 所以该调幅波中包含有五个正弦分量 振幅为100V的载频分量 振幅为15V的第一对上下边频分量 其频率分别为 C 调幅波信号的频谱函数 两对边频分量的功率共为 2 载波功率为 或 4 频分复用与时分复用 1 信道的复用 信道带宽往往要比信号带宽大很多 比如 一路光纤可以同时传输1250亿路电话 若用来传电视信号 可同时传输一亿路电视 这就需要把信道的频率资源充分地利用起来 即为频分复用 在一个信道中传输多个信号 通过调制与解调 可以达到信道复用的目的 2 频分复用 至信道传输 将信道的带宽分割成不同的频段 每一频段传送一路信号 各个AM频率范围不能重叠 否则就无法恢复原始信号的频谱 从而就无法恢复各路信号 特点 信道复用率高 允许复用的路数较多 同时分路也很方便 是模拟通信中主要的复用方式 3 时分复用 将一段时间分为若干个相等的间隔 每一间隔内传送一个信号 而构成的通信系统称为时分复用系统 两个脉冲幅度调制的脉冲序列各占用同一信道中的不同的时间 把他们叠加在一起通过同一个信号传送 五 解调demodulation 解调 由已调信号a t 恢复原始信号e t 的过程称为解调 振幅调制或调幅 AM 接收机结构简单 成本低 民用 但发射机功率大 成本高 4 4系统无失真传输的条件 由前面举例 例1 知 失真 系统的响应波形与激励波形不相同 称信号在传输过程中产生了失真 一 线性系统引起信号失真的原因 是指响应信号与激励信号相比 只是幅度大小和出现的时间先后不同 而无波形上的变化 无失真 由延时特性知 在实际应用中 有时需要有意识地利用系统的失真进行波形变换 有时希望传输过程中使信号失真最小 线性系统的失真 幅度 相位变化 不产生新的频率成分 非线性系统产生非线性失真 产生新的频率成分 高斯滤波去雀斑 高斯滤波去雀斑 高斯滤波去雀斑 高斯滤波去雀斑 二 线性系统无失真条件 波形无改变则称为无失真 是指响应信号与激励信号相比 只是幅度大小和出现的时间先后不同 而无波形上的变化 无失真 信号通过系统时谐波的相移与其频率成正比 保证信号中包含的各个分量在时间轴上的相对位置不变 例 基波 二次谐波 为了使基波与二次谐波得到相同