2011初中数学课标解读--图形与几何.doc

2011版新课标解读-初中数学图形与几何 株洲市第十九中学 万德胜一、图形与几何内容结构分析 原来课程标准实验稿的几何框架是按照图形的认识、图形与变换、图形与坐标和图形与证明四条主线来划分的，新的课程标准修订稿把四条主线变成三条主线，这三条主线分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标。首先是图形的性质这条主线基本上涵盖了原来图形的认识和图形与证明的内容，除了对一些基本图形的认识之外，还包含着对图形一些命题的证明，同时还发展了对学生的空间观念和推理能力的要求。第二条主线是图形的变化，这里面包含了合同变换图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转，以及图形的相似（包括位似），由于和相似关系密切，因此直角三角形的边角关系也包含其中，还有一类变换是仿射变换，在课程标准中呈现的标题就是投影。这部分主要研究图形之间的关系，特别是从运动的观点和变化的角度来研究图形，这个方法本身也是十分重要的。第三条主线叫做图形与坐标，它包含坐标与图形的位置，还有坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等。从具体的内容增减变化上，首先会发现增加了打星号的内容，如关于相似三角形判定的演绎证明，圆中的垂径定理、切线长定理等。作为选取部分，反映了课程标准理念中的“不同的人在数学上得到不同的发展”，相当于给学生提供一个弹性的空间，对那些有余力、有兴趣的学生，给他进一步多学一点数学的机会，学生有选择性的学或者教师有选择性的教。另外十个核心概念中，增加了一个叫几何直观。这部分内容针对的是图形，几何直观简单的说就是用图形说事。还有一些关于基本事实的增减变化等等。作为一线教师，这些变化需要我们重新去领悟和把握。首先我觉得应该对这部分的内容结构有一个整体的认识和把握，比如四条主线变成了三条主线，这三条主线不光是对具体的学习内容的要求，更是从不同的角度，更多的维度对我们初中阶段的几何图形进行了全方位的、立体化的研究，它可以看作图形研究不同的三个途径，比如说都是一个三角形，我既可以用欧式的综合几何的角度去认识它，也可以用变换的角度去认识，同样可以把它放在坐标系，从坐标的角度去认识它。所以同样是这些图形，有这样三条主线，可能就丰富了我们对这些图形的理解。理解好这一点，可以使大家更深刻的体会到几何课程对学生们的教育意义。图形与坐标这部分内容，跟实验稿相比要求提高了。比方说轴对称、平移现在要放到坐标系当中，利用量化的办法进行研究，所以从思维层次上讲提高了。从要求上看，这个步子确实比较大，所以希望老师们能够进一步研读标准，以达到能够准确地去把握。二、图形的性质内容与教学分析 首先，我们所研究的这些图形可以从不同的角度进行分类，比如说把它们分成直线形、曲线形。从维度上，有一维图形，重点是二维图形，当然还有简单的三维图形。从图形的复杂程度上，有基本图形与组合图形。具体来讲，这一部分由七个小的标题组成，前五个标题，详细地介绍了我们在初中阶段所要掌握的一些基本图形，比如说第一部分是点、线、面，介绍了构成几何图形的基本元素，第二部分是相交线与平行线，对相交与平行这两种平面直线位置关系的概念、定义、性质和判别做了介绍。接下来一部分是三角形，这部分内容里面涉及到三角形边角的基本性质、三角形全等的性质和判定、以及特殊的三角形（等腰三角形和直角三角形）的性质。第四部分是四边形，重点介绍了平行四边形，以及特殊的平行四边形矩形、菱形和正方形的判别和性质。第五部分是圆，重点介绍了圆的中心对称性和轴对称性，以及由此引出的与圆有关的性质。当然这里面还有圆与其他图形（圆与直线，圆与四边形，圆与多边形）的关系。在六、七这两部分内容中，作为几何学习的一个有机组成部分，分别谈到了尺规作图和定义、公理、证明的相关知识。对于尺规作图，除了这是一种作图方法，更多的是运用了图形判定的一些办法，实际上是对图形判定的一个具体应用。另外，只有明确了定义，公理、定理和证明的意义，我们才能够更好地对图形的性质进行探索和证明。在“图形的认识”里也有一些变化，比如梯形没有了，可能有的老师觉得不愿意把它去掉，我想是不是这样考虑的：首先小学我们已经有了梯形的概念，包括它的面积计算；其次对于梯形来说，我们往往是把它分割成平行四边形和三角形来研究的，而平行四边形和三角形已经作为基本图形在前面研究得比较充分了，也就是说梯形自身已经没有更多新的东西了，即它的问题基本上都解决了。当然如果老师们愿意把梯形给学生们介绍一些也未尝不可，但是标准没有再单独把它列入在本学段的内容当中。另外，标准中增加了圆内接四边形，这里主要是一个初步的了解，目的是把直线形和曲线形结合起来认识，希望老师们在教学的时候能够很好地把握，没有必要任意扩充。关于认识图形我们不能只关注图形的概念和性质这些知识点，还应在这个过程中，关注图形之间的关系，利用认识图形发展空间观念与几何直观，这都是我们教学当中应该考虑的。标准实验稿的基本事实（原称公理）是6条，现在做了一些调整，是9条，从这些基本事实出发，证明了关于线段、角、三角形，四边形大概 40 几个结论，还包括圆，相似形的一些性质。这些方法都应是有机地联系的，往往一个结论我们先通过合情推理得到一种猜想，然后我们再用逻辑推理的办法来进行证明。在这个过程当中，学生不但学会了证明，得到了一些结论，同时也积累了一些数学活动经验。这次课程标准的目标比较重要的变化就是，把双基拓展到四基，从两个能力拓展到四个能力。我们在认识图形的方式方法的多样性方面，如果给予关注，实际上也正是对从双基到四基实践的一个很好的机会。因为在这个过程当中，所谓的合情推理，包括归纳类比，一些数学的思想都会渗透其中。基本活动经验的积累，画图、拼图、测量，要让学生经历这样的过程，比如变换，折叠运动很可能与后面演绎推理的辅助线的引出、图形的构造是联系很密切的。其实这样的操作活动对学生积累活动经验，提供了非常好的机会。所以老师们应该认识到，图形认识方法的多样性，带给孩子们的收获不仅仅是一些具体的结论。图形的性质在我们教学当中占的比重比较大，所以老师对这部分内容的处理是不是能够很好地去按照标准的要求去做，对学生的“图形与几何”这部分内容的学习还是关系很重大的。在研究图形的性质的过程当中，一个是研究的性质有哪些我们要明确，第二个研究它的手段和途径我们也要能够按照课程标准的要求做好设计，在一节课当中，使过程性目标和结果性目标对接。三、图形的变化内容与教学分析 首先图形的变化应该是图形一种属性的体现，比如有很多图形本身就是轴对称的，如等腰三角形、正方形等等，有一些图形又表现为中心对称，比如平行四边形，当然平行四边形也可以看成一条边是由其对边平移得到的。所以在我们所学的图形中，大都已经隐含了我们用变化的角度来认识它，来看待它这样一种属性；第二，在日常生活当中，我们也会看到图形的运动。所以，能够用运动变化的观点来认识图形，是更好认识我们周围世界的另一个角度。图形变换是比较新的内容，这里面有合同变换轴对称，旋转，平移。对于这些概念，课程标准在教学实际上的要求，不是说要严格对它进行定义，只是直观的描述。所以，老师们在这个地方也不必过多地去深挖定义，主要是和学生们一起对它的性质做一些研究。同时还有相似，相似的内容比较多，其中包括位似，另外就是投影，平行投影和中心投影，还有视图，都和相似联系得比较密切。对于相似我们主要以三角形的相似为主，这里面还包括增加了一条基本事实-平行线分线段成比例。增加这个基本事实的目的，是希望能够对后边三角形相似的判定提供证明的基础，这部分证明是打星号的内容，这个基本事实的给出实际上是针对学有余力的学生，对他们的证明学习进一步打基础。关于相似里的位似，根据标准，要求是了解位似能够把图形放大或者缩小，老师们在这个地方也不必过多深究。另外就是关于旋转，主要研究中心对称。轴对称、旋转、平移，统称为合同变换，因为它们的共同特征是保持图形的大小不变。在学习合同变换时，应主要把它作为认识图形的一种工具和途径，比如说等腰三角形具有轴对称性，我们发现它的底角能够重合在一起是相等的，这成为我们认识图形基本性质的方法。另外，因为在生活中，轴对称的现象、旋转的现象、平移的现象都很常见，所以也是我们从数学的角度来认识现实世界的一个工具。在教学当中，图形的变化这块具体的教学，首先说图形的变化这一部分，跟传统的几何教学的演绎证明还是不同的，可能老师有些时候对难度和深度的把握会有不同的理解。图形的变化得建立在学生直观经验的基础上，换句话，我们对轴对称，对旋转、平移，不仅从文字上去理解，或者能用它去做题，应更多的让学生建立丰富的大量的实例，只有经历这样一个过程，才能够把这种变换内化到自己对图形的认识当中、自觉去从变换的角度认识图形。另外一点，有些老师为什么不是很重视图形变化这部分内容呢？往往觉得，它和演绎证明联系不大，作用不强。应该说，虽然我们不能用变换的方式去完整地处理综合证明的题，但是我们不妨用变换的角度去认识这些问题，挖掘这些问题的证明思路。我们会看到，所有跟等腰三角形有关的证明题，往往都跟等腰三角形的轴对称性相关，如果要添加辅助线，往往都是在对称轴上做文章。同样所有跟平行四边形有关的证明问题，往往跟对称中心是相联系的，两条对角线的交点起着很关键的作用，所以图形变换往往能够成为我们解决和研究图形非常有利的工具。四、图形与坐标内容与教学分析 引入直角坐标系，首先就是要确定平面上一个点的位置，这和生活有很密切的联系。比方说我们下棋的棋盘、电影院里的座位、地图等等，把这个东西抽象出来就是坐标系了，在初中就是平面直角坐标系。我们画函数的图象当然利用的也是坐标，但这比确定点的位置更抽象，比如我们画时间和路程关系的图象，1 小时，50 公里，这两个量的单位完全是不同的，但是它是有序数对这一点是不变的，所以我们可以借助坐标系画出它的图象，然后利用图象来研究函数的性质。所以画函数的图象，应该是平面直角坐标系的一个进一步的应用。课程标准的研制可能基于这样一个考虑，就是坐标系更多的还是确定点的位置的一个工具。因此在图形与几何里给出就是很自然的东西。有了坐标系之后，因为有了有序数对和点的对应，恰与函数中自变量和因变量之间的关系相似，所以使得坐标系又成为研究函数的工具。从这个意义上讲，把坐标系放在图形与几何里应该是顺理成章的事情。从课程标准来讲，首先是要熟悉坐标系最基本的要素，比如坐标轴、单位，原点等等，然后要让学生了解用一个数对可以刻画点的位置，进一步刻画图形的位置，一个图形的关键点的位置确定了，这个图形的位置就确定了。当然这时候都是静止的，在学习了图形的运动后，就进一步研究坐标的变化和图形的变化之间的联系。标准的修改稿和原来实验稿有一些变化，提高了要求，比如要让学生知道，沿着坐标轴的方向平移一个图形，它的坐标变化和图形变化的联系。还有轴对称等等。希望学生通过这部分的学习，能够体会用坐标系刻画点的位置，点的位置和变化和图形的运动变化之间的规律。在进行教学的时要抓住图形与坐标的实质，图形、图像与表达式的对应，本质上就是点和数的对应，而这种认识根本上取决于对点的坐标意义的理解，想把这部分教好、学好，是花的笔墨最多的地方，不是在各种变化和题型的技巧上，而是应该浓墨重彩地说明点的坐标的含义究竟是什么。把它作为认识图形的另外一个途径和手段，在坐标系下，图形和图象有了数量的味道，他只要感觉到这种味道，其实对他今后的数学发展就是很有帮助的。五、空间观念与几何直观 空间观念在我们国家的以前教学大纲中就有这样的提法，但以前的课程中，用来支撑空间观念，或者培养学生空间观念的内容和素材却相对贫乏，所以从课程实施角度，对它的支撑显得很不够。但是这次课程标准的实验稿和修改稿，不仅把空间观念作为一个核心概念提出来，同时在内容的设置上、以及在教学的要求上，都有相应的支撑的它的素材。从课程的设计中就非常重视二维和三维图形的转换，因为这样的转换对发展学生的空间观念是非常有益的。包括展开与折叠、截一个几何体、视图与投影等内容，都可以属于这个范围。另外用运动的观点来看待这个图形，如轴对称、中心对称，通过变换的角度，我们想象这个图象，想象它的形状，想象它的变化，就是培养空间观念非常好的素材。同时，象图形与坐标、一个图形可以看成是由另一个图形做怎样的变化得到的，这些内容都是非常重要的。老师在这些内容的教学当中要重视这个过程，把培养空间观念作为我们的教学目标，给学生时间和空间，让他们去探究、让他们去交流、让他去表达，说他的感受，说他的想象，这样才能使培养学生的空间观念落到实处。另外，空间观念培养，核心的东西就是想象，比如在二维图形和三维图形转换过程当中，实际上也是看见二维图形去想象和它对应的三维图形；有了三维图形去想象跟它相关的二维图形。再如截一个几何体，我们用一个平面去截一个圆锥体，这个平面和锥体的相交的位置不一样，它的截面就不同，有时是一个圆，有时是一个椭圆，有时又是一条双曲线，这同样需要想象；类似的展开折叠也是这样，一个平面图能否折叠成一个三维图形，都是想象在起作用。图形的运动，图形的位置的确定，中间也都有很多想象的成份在里面，所以我们要抓住空间观念的核心要素想象。再有一点，就是空间观念想要真正能够落实，还需要我们在教学过程中，充分地留给学生感受体验的过程。唯有过程充分了，观念和能力才能有所提升。所以，我们尽量不要把关乎空间观念的这些课程，上成完成数学结论的课。还是应该把过程做足，淡化这些结论，才能更好地培养空间观念。关于几何直观，首先是针对图形，我们根据直观可能对图形的性质会有一些判断，而不是依据测量或计算。另外，几何直观不管是在代数当中，还是在统计概率当中，可能都要用到。面对一个比较复杂的、比较抽象的对象，如果我们能用直观的办法，用图形的办法，把它描述刻画出来，会使这个对象更容易理解，这是一种能力。不说太远，在数学中画函数图象，对于理解函数的性质有非常大的帮助，就因为它直观，我们可以对函数的变化情况与趋势进行预测，这方面比解析式、表格都更清楚。再如在统计里面，如扇形统计图，我们一看就知道哪一部分占的比重更大。我们说几何直观是很好的一种能力，一个学生如果能用直观的方式来进行描述、来进行刻画，那么说明他对这个概念本身的理解比较深刻。所以这也是我们学会用图形来说事情，用图形来做事情的一个很重要的体现。当然几何直观，作为一个新出现的核心概念，可能我们对它的认识和理解还是要有一个过程的。六、推理能力 新课程标准明确地提出，推理能力包含了合情推理能力与演绎推理能力，在高中的课程标准当中，也提出了合情推理、演绎推理两个概念，因此现在也就是在我们从义务教育阶段开始，我们就要关注两种能力的培养，一直延续到高中。合情推理，一般包括归纳和类比，演绎推理一般就是从基本事实出发，推出来一些定理，它们再作为推理的出发点，来进行论述。我们在判断一个命题是否正确的时候，首先运用合情推理的方法，包括直观、操作、猜测，然后得出假设。这些假设是否能成立呢？我们就需要用演绎推理的方式去进行证明。所以合情推理往往是一种发现的方法和手段，而演绎推理是一种证实的手段，它们相辅相成，共同完成对一个命题的认