(研究生入学考试)高等数学第一章PPT.ppt

1 集合 映射 函数 第一章函数与极限 第一节映射与函数 functionandlimit set mapping function 第一章函数与极限 2 1 集合 set 概念与记号 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该 一 集合 集合 元素 简称元 集 元素 element 集合的 通常以大写字母 等表示集合 以小写字母 等表示集合的元素 否则记 记作 或 3 集合分类 有限集 无限集 只含有限个元素 不是有限集的集合 列举法 表示集合方法有两种 描述法 把集合的全部元素一一列出来 例 考察由下列元素 可以用列举法将其表示成 组成的集合 外加花括号 列举法有很大的局限性 4 如 由不超过 的奇数组成的集合 其元素有50亿个 要把它们全部写出来 且有很多集合 其元素是 很多纸张 根本无法一一罗列出来 得用 很多时间 不可数的 5 更常用的是列出规定这个集合特定性质P的办法来表示集合 就是 描述法 花括号中竖线前的x 而竖线后 是M中元素的通用符号 则是x所具有的性质 6 可用列举法表示为 的根组成的集合 也可用描述法表示为 例 由方程 7 对几个常用的数集规定记号如下 数集的字母的 数集内排除0的集 数集内排除0与负数的集 全体非负整数即自然数的集合 N 即 N 全体正整数的集合为 N 右上角 标上 8 全体有理数的集合 即 Q Z N 记作Q 全体复数的集合记作 C 即 C R 全体整数的集合记作 Z 9 全体实数的集合 R 为排除0的实数集 R 为全体正实数的集 记作R 10 两个集合 一般地 子集 记作 则称 2 集合 set 的关系及集合的运算 1 集合的关系 子集 读作A包含于B 或 读作B包含A 11 如 则 则称 集合A与B相等 集合相等 记作 12 如 空集 不含任何元素的集合称为 则称 真子集 记作 如 N Z Q R 真子集 空集 规定 空集为任何集合的子集 今后在提到一个 集合时 一般都是 如不加特别声明 非空集 13 2 集合 set 的关系及集合的运算 集合的基本运算有三种 并集 交集 差集 即 记作 设A B是两个集合 由所有属于A 称为A与B的 并集 A B A B 2 集合的运算 于B元素 或者属 组成的集合 14 称为A与B的 记作 即 交集 由所有既属于A 又属于B元素 集合的基本运算有三种 并 交 差 A B A B 组成的集合 两个集的并与交可推广到任意多个集 推广 并与交 15 由所有属于A 称为A与B的 差集 记作 即 集合的基本运算有三种 并 交 差 而不属于B的元素 组成的集合 例如 则 A B A B 16 研究某个问题时所考虑的对象的全体 记作 余集或补集 并用I表示 称为 全集或基本集 并把差积 特别称为A的 例如 在实数集R中 集合 的余集 17 3 集合 set 的运算法则 为任意三个集合 则下列法则成立 1 交换律 A B B A A B B A 2 结合律 A B C A B C A B C A B C 3 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 18 4 对偶律 A B C AC BC A B C AC BC 5 幂等律 A A A A 6 吸收律 A A A A A 19 4 直积 乘积集或笛卡儿乘积 法国数学家 哲学家 Descartes1596 1650年 设A B是两个集合 则称 为A B的 直积 如 20 直积集的意义 对两个集合A B的直积 又如 即为xOy面上 全体点的集合 常记作 即 直积一般也称为笛卡儿乘积 是平面上的有理点集 为有序 元素对 中的元素 笛卡儿乘积一般表示平面点集 21 5 区间 interval 区间是指介于某两个实数之间的全体实数 称为 这两个实数叫做区间的端点 开区间 22 称为 闭区间 称为 有限区间 半开半闭区间 23 无限区间 全体实数的集合R也可记作 是无限区间 24 区间长度的定义 两端点间的距离 线段的长度 称为区间的 今后在不需要辨明所论区间是否包含 有限区间 称它为 区间 常用I表示 长度 无限区间的场合 端点 简单地 25 6 邻域 neighbourhood 数集 即 邻域 记作 几何表示 26 有时简记为 去心 空心 即 27 两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形 区域 如 即为xOy平面上的矩形区域 这个区域在x轴与y 轴上的投影分别为闭区间 和闭区间 28 7 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 表示 任取 或 任意给定 表示 存在 至少存在一个 或 能够找到 Any 每一个 或All 所有的 的字头A的倒写 Exist 存在 的字头E的倒写 符号 表示 蕴含 或 推出 符号 表示 等价 或 充分必要 29 如实数的阿基米德 Archmed 公理是这样叙述的 任意给定两个正的实数a b 都存在一个 自然数n 用逻辑符号 将阿基米德公理改写 练习 30 7 绝对值 absolutevalue 运算性质 绝对值不等式 31 二 映射 1 映射概念 mapping 定义 设X Y是两个非空集合 如果存在 一个法则f 使得对 通过f 在Y中有唯一 确定的元素y与之对应 则称f为 从X到Y的映 或算子 记作 并称y为x 在映射f 像 并记作 即 x称为y的 原像 射 定义域 即 记 下 的 32 X中所有元素的像所组成的集合 记作 或f的 即 称为 在中学数学中所接触的函数实际是 实数集 或其子集 到实数集的映射 例如 映射f 正弦函数 值域 像集 33 1 集合X 即定义域 集合Y 即值域的范围 对应法则f 使对 有唯一确定的 与之对应 三个要素 构成一个映射必须具备以下 34 对 元素x的像y是唯一的 而对 元素y的原像不一定是唯一的 映射f的值域 是Y的一个子集 不一定 2 35 设映射 值域 即Y中任一元素y都是X中某 元素的像 则称f是 满射 若 必有 则称f是 单射 若映射f 则称f是 一一映射 或双射 2 几类重要映射 又是单射 既是满射 36 例 设 对应关系 既非满射 又非单射 满射 非单射 单射 非满射 满射 单射 即为一一映射 对定义域内的任一x 37 1 如图 令由X到Y的对应关系为 则f是一个从X到Y的映射 练习 满射 单射 即为一一映射 38 2 令 则f是一个从X到Y的映射 满射 单射 即为一一映射 39 3 逆映射与复合映射 设有单射 则由定义 有唯一的 适合 于是 可定义一 个从 的新映射g 即 规定 这x满足 这个映射g称为 f的逆映射 记作 其定义域 值域 40 设有两个映射 其中 4 逆映射与复合映射 显然 由 它将 映成 这个对应法则 此映射称为由g和f构成的 复合映射 记作 即 对应法则 可确定出从X到Z的一个 是从X到Z的一个映射 41 例 设有映射 和映射 则映射g和f构成的复合映射 有 42 1 常量 constant 与变量 variable 三 函数 function 而是相对 过程 而言的 常量 变量 在某过程中数值保持不变的量称为 而在过程中数值变化的量称为 一个量是常量还是变量 不是绝对的 43 常量与变量的表示方法 在高等数学中 通常用字母a b c等表示常量 用字母x y t等表示变量 初等数学 就其总体来说是 进入变量的数学 微积分 常量的数学 从现在开始 44 定义 设数集 则称映射 为定义在D上的函数 通常简记为 自变量 因变量 定义域 domain 定义中 按对应法则f 总有唯一 确定的值y与之对应 这个值称为函数f在x处的 函数值 记作 函数关系 2 函数概念 45 函数值 全体组成的集合称为 range 记作 即 函数f的值域 含义的区别 自变量x和因变量y之间的对应法则 与自变量x对应的函数值 定义在D上的函数 应理解为由它所确定的函数f 1 46 2 函数的记号 除常用的f外 可任意选取 如 相应地 函数可记作 等 等 也可记作 47 3 对应的函数值y总是唯一的 否则称为 如 是多值函数 它的两个单值支是 单值函数 多值函数 约定 今后无特别说明时 函数是指单值函数 这种函数称为 48 4 构成函数的 是两个不同的函数 因为定义域不同 如 与对应法则f 定义域 两个要素 49 函数的表示法只与定义域和对应法则有关 即 简称函数表示法的 表达式求解 5 而与用什么字母无关 的有效方法 无关特性 50 利用函数表示与变量字母无关的特性 代入原方程得 令 即 两式联立 解 练习 51 利用函数表示与变量字母无关的特性 代入原方程得 令 即 解 练习 52 代入上式得 令 即 三式联立 53 定义域一般有两种 1 自变量所能取的使算式有意义的一切 定义区间 由问题的实际意义 2 函数的定义域常用区间来表示 又可称为 实际问题 几何或物理问题 在纯数学的研究中 函数由一个公式 实数组成 这种定义域称为 自然定义域 表示的 所确定 的集合 54 例 求下列函数的定义域 解 定义域是 55 定义域是 解 56 常用的函数关系表示法 公式法 解析法 主要有三种形式 表格法 各种表示法 都有其优点和不足 图形法 也可用语言描述 是多种多样的 57 公式法 解析法 图形法 表格法 今后以公式法为主 便于进行理论分析和计算 形象直观 富有启发性 便于记忆 便于查找函数值 但它常常是不完全的 配合使用图形法和表格法 58 函数的图形 图象 取自变量在横轴上 在平面直角坐标系中 因变量在纵轴上变化 则函数的图形是指 变化 平面点集 通常是一条或几条 曲线 包括直线 中的集合 59 例 除了可用一个数学式子表示函数外 有些 分段函数 这种函数称为 函数关系也不同 函数随着自变量取不同的值 60 几个今后常引用的函数 绝对值函数 例 定义域 值域 61 符号函数 定义域 值域 对 例 有 或 62 取整函数 如 例 当 阶梯曲线 定义域 值域 表示不超过x的最大整数 2 63 例 狄利克雷 Dirichlet 函数 x为有理函数 x为无理函数 定义域 值域 有理数点 无理数点 64 练习 设 2 0 1 填空 65 2 用分段函数表示函数 分段函数在其整个定义域上是一个函数 答案 即 而不是几个函数 66 有界性 bounded 设函数y f x 在区间I上有定义 则说f x 在区间I上有上界 下 使得对所有 若存在 常数A 都有 B 3 函数的几种特性 67 若存在常数 使得对所有 则称f x 在I上有界 都有 有界 显然 有界等同于既有上界又有下界 68 在I上无界 若这样的M不存在 则称f x 对于任何 总存在 使 则称f x 在I上无界 无界 即为 69 在定义域上有界的函数叫做 例 是有界函数 是无界函数 但它在区间上 在区间上 一定要把区间明确出来 不是有界函数 就是无界函数 boundedfunction 有界函数 有下界 有界 70 练习 A 有上界无下界 B 有下界无上界 C 有界 且 D 有界且 解 C 解题提示 将函数取绝对值 然后用不等式 放缩法 71 六个常见的有界函数 72 单调性 monotonicity 是单调增加 如果对 恒有 monotoneincreasing 73 应指明单调区间 否则会产生错误 是单调减少 如果对 恒有 monotonedecreasing 74 练习 1 选择题 在区间上由 是单调增加的 给出的函数 75 76 证 于是 77 奇偶性 偶函数的图形 称f x 为 偶函数 evenfunction 78 奇函数的图形 称f x 为 奇函数 oddfunction 79 1 不要把奇偶函数当作两个完全相反的 2 奇偶性是对称区间而言的 否则无从谈奇 偶 奇偶函数的运算性质 1 奇 偶 函数的代数和仍为奇 偶 函数 2 偶数个奇 偶 函数之积为偶函数 奇数个奇函数的积为奇函数 3 一奇一偶的乘积为奇函数 概念 80 练习 判别给定函数的奇偶性 解题提示 奇函数的 有效方法 判别下列函数的奇偶性 奇函数 偶函数 有时也用其运算性质 主要是根据 奇偶性的定义 81 周期性 periodicity 的周期 周期函数 periodfunction 如果存在一个 正数 且总有 称为f x 通常称周期函数的周期是指 最小正周期 周期为的周期函数 设函数f x 的定义域为D 则称f x 是 82 例 狄利克雷 Dirichlet 函数 当x是有理函数时 当x是无理函数时 这是一个周期函数 任何正有理数r都是它 的周期 因为不存在最 小的正有理数 所以没有 最小正周期 83 周期函数的运算性质 解题提示 判别给定函数是否为周期函数 有时也用其运算性质 为周期的函数 函数 主要是根据周期的定义 为周期的 的最小公倍数 84 4 反函数与复合函数 设函数f 单射 则它存在逆映射 称此映射 为函数f的 反函数 1 定义 反函数 inversefunction 85 习惯上 的反函数记成 如 单射 反函数 直接函数 通常将 写作 一般地 86 直接函数与反函数的图形 直线 对称 关于 87 如 其反函数为 指数函数 定义域为 值域为 写成 并称为对数函数 88 并不是所有函数都存在反函数 如 函数 定义域为 值域为 但对 都有两个 和 与之对应 x不是y的函数 不存在反函数 89 减 而且反函数也是单调递增 减 在什么条件下 一个函数存在反函数 反函数存在定理 若直接函数 在D上单调递增 则函数f 单射 则它必存在反函数 90 求反函数的步骤 1 2 即得所求函数的反函数 91 练习 选择题 1 函数的反函数是 D 92 2 函数 A 完全不同的 B 部分相同 部分不同 C 完全相同的 D 可能相同 也可能不同 C 与它的反函数 在同一坐标系中的图象是 93 4 反函数与复合函数 2 复合函数 compoundfunction 定义 设函数 的定义域是 函数 有定义 且 则由下式 确定的函数 称为由函数 构成的 复合函数 记作 即 它的定义域为 94 1 并非任何两个函数都能复合成为复合函数 因为的值域 不能构成复合函数 不能包含于 的定义域 之中 95 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 3 反过来 一个复杂的函数根据需要也可以分解为 若干简单函数的复合 如 都是中间变量 复合函数的定义域是 即 而不是 的定义域 96 复合函数的分解 复合函数拆成几个简单函数 由函数的最外层运算一层层剥到最 里边 切不可漏层 剥皮法 97 例 解 故定义域为 的值要落在外边函数的定义域内 注意保证套在里边的函数 98 将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点 根据函数的特点分别讲几种复合的方法 1 代入法 将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代 这种构成复合函数的方法 法 称为代入 该法适用于初等函数的复合 99 例 设 求 解 100 由以上两式可推测 由数学归纳法可证明上式成立 101 2 分析法 及中间变量的定义域进行 抓住最外层函数定义域的各区间段 结合 该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合 中间变量的表达式 分析 102 例 解 103 综上所述 104 5 函数的运算 设函数 的定义域分别为 则可定义这两个函数的下列运算 和 差 积 商 且 线性组合 为实数 105 1 幂函数 powerfunction 定义域与的取值有关 6 初等函数 elementaryfunction basicelementaryfunction 1 基本初等函数 106 2 指数函数 exponentialfunction 定义域为 值域为 107 3 对数函数 logarithmfunction 定义域为 值域为 108 4 三角函数 trigonometricfunction 正弦函数 定义域为 值域为 109 余弦函数 定义域为 值域为 110 正切函数 余切