线代自测及试题解答.ppt

1 自我检测题参考答案 2 2003 2004学年线性代数期末试题解答 自我检测题一 1 D 2 C 3 A 4 C 5 B 自我检测题二 10 正定 自我检测题参考答案 自我检测题三1 计算行列式 解 原式 三2 用初等行变换求矩阵 的逆矩阵 解 解题依据 三3 已知向量 求向量组的秩及一个最大线性无关组 并将其余向量用此最大无关组线性表示 行 解 为所求最大无关组 三4 当k为何值时 下列线性方程组 1 无解 2 有唯 一解 3 有无穷多个解 并求其通解 解 系数行列式 时有唯一解 故方程组有无穷多解 注意避免 等价方程组 因此所求通解为 故此时方程组无解 三5 用配方法将二次型 化为标准形 并求可逆线性变换矩阵 解 令 即 亦即 得 所求可逆变换矩阵为C 三6 已知矩阵 求正交矩阵Q 使得 为对角矩阵 解 第一步 求特征值 解题步骤 得A的特征值 注意避免 对 得基础解系 正交规范化 取特征向量 第二步 求正交规范特征向量 对 取特征向量 得等价方程组 基础解系 第三步 令 则 因A对称 故 实对称矩阵对角化步骤 第一步 由特征方程 求出A的所有特征值 第二步 求 k对应的正交规范特征向量系 即 1 求 的基础解系 2 用施米特正交化法将其正交规范化 第三步 以n个正交规范特征向量为列构成矩阵P 则得 注意 i的特征向量放在P的第i列 说明 若不做 2 上述过程仍能将A对角化 P 1AP 只是不能保证 P为正交阵 四1 若向量 线性无关 则 也线性无关 证 设 则 因为 线性无关 所以 其系数行列式 所以只有 因此 线性无关 四2 若A B为n阶方阵 其中有一个可逆 求证 1 AB与BA相似 证 AB与BA相似 存在可逆矩阵P 使P 1 AB P BA 无妨设A可逆 取P A 则 所以AB与BA相似 1 根据 2 因为AB与BA相似 故二者有相同的特征值 2003 2004学年线性代数期末试题答案 01 填空题 5分 设向量 可由向量 线性表示 则表示方法唯一的充要条件是 02 填空题 5分 的特征值为0 2 则3A的特征值为 03 填空题 5分 已知矩阵A B C满足AC CB 其中 则 A与B分别是阶矩阵 线性无关 或 提示 题设条件蕴涵 已知 则R A 04 填空题 5分 提示 或根据 第i 2 行与第1行成比例 06 选择题 5分 可逆矩阵A与矩阵 有相同的特征值 提示 A B为非零矩阵 由P71性质 那么 08 选择题 5分 若非齐次方程组 提示 中方程个数少于未知量个数 09 综合题 7分 用配方法把二次型 解 化为标准 形 并求变换矩阵 令 则 即 故变换矩阵为 标准形为 10 综合题 7分 求向量组 解 的一个极大无关组 其秩为多少 对A施行行变换 是向量组的最大无关组 11 综合题 7分 求矩阵 解法1 将A分块为 的秩 其中 解法2 A E 12 综合题 7分 设向量组 解法1 是否线性无关 线性无关 则向量组 即 所以 线性无关 12 综合题 7分 设向量组 解法2 设 是否线性无关 线性无关 则向量组 则 所以K可逆 线性无关 故R B R A 因此R B R A 3 线性无关 从而A B 13 综合题 10分 设A为可逆矩阵 AB与BA是否相似 解 取可逆矩阵 则有 AB与BA相似 解 AB与BA相似 存在可逆矩阵P 使P 1 AB P BA 同解方程组为 得通解