北京市东城区2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列计算正确的是（ ） A x+x2= x2x3=（ 2= x9x3=下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 4如果 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） A x 2 B x2 C x2 D x 2 5如图，在 ， 0， 分 D，如果 么 E 等于（ ） A 2 3 4 5如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ） A b2=a（ a b） +b（ a b） B（ a b） 2=2ab+（ a+b） 2=ab+ a+b）（ a b） 7若分式： 的值为 0，则（ ） A x=1 B x= 1 C x=1 D x1 第 2 页（共 19 页） 8若 x =1，则 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 4 9如图， ， C， D 是 中点， 垂直平分线分别交 、 O、 F，则图中全等三角形的对数是（ ） A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 10如图，正方形 面积为 12， 等边三角形，点 E 在正方形 ，在对角线 有一点 P，使 E 最小，则这个最小值为（ ） A B 2 C 2 D 二、填空题 11中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为 ，该长度用科学记数法表示为 12如图， C，点 E，点 D 分别在 ，要使 添加的条件是 （添加一个条件即可） 13若 （ m 3） x+16 是一个完全平方式，那么 m 应为 第 3 页（共 19 页） 14如图， 斜边 中垂线 于点 M， A=15， ，则 15观察下列关于自然数的等式： 32 412 52 422 72 432=13 根据上述规律解决下列问题： （ 1）完成第四个等式： ； （ 2）写出你猜想的第 n 个等式 （用含 n 的式子表示） 三、解答题解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程 16因式分解： （ 1） 49； （ 2） 36 17计算： （ 1） （ 2x+3y） 2（ 2x+y）（ 2x y） 2y （ 2） 18先化简，再求值： （ x 2+ ），其中 x= 1 19解方程： 20如图，点 C， D 在线段 ， F， A= F求证： 21如图，在 ， 分 第 4 页（共 19 页） （ 1）作图：作 的垂直平分线分别交 点 E， F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连结 A=60， 4，求 度数 22在 ， A=60， 对的边 b， c 满足 b2+4（ b+c） +8=0 （ 1）证明： 边长为 2 的等边三角形 （ 2）若 b， c 两边上的中线 于点 O，求 值 23 2015 年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年某商家用 1200 元购进了一批抗战主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用 2800 元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 5 元 （ 1）该商家购进的第一批纪念衫是多少件？ （ 2）若两批纪念衫按相 同的标价销售，最后剩下 20 件按八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润率不低于 16%（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？ 24如图 ，在 ， D、 E 分别是 的点， C， E，然后将 顺时针旋转一定角度，连接 到图 ，将 别延长至 M、 N，使 到图 ，请解答下列问题： （ 1）在图 中， 数量关系是 ； （ 2）在图 中，猜想 数量关系， 数量关系，并证明你的猜想 第 5 页（共 19 页） 第 6 页（共 19 页） 2015年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念求解 【解答】 解： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确 故选 D 【点评】 本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2下列计算正确的是（ ） A x+x2= x2x3=（ 2= x9x3=考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】 计算题 【分析】 A、原式不能合并，错误； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断 【解答】 解： A、原式不能合并，错误； B、原式 =误； C、原式 =确； D、原式 =误 故选 C 【点评】 此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 3下列式子为最简二次根式的是（ ） A B C D 【考点】 最简二次根式 【分析】 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次 根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解： A、 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 A 正确； B、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 错误； C、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 C 错误； D、 被开方数含分母，故 D 错误； 故选 ： A 【点评】 本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式 4如果 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） A x 2 B x2 C x2 D x 2 【考点】 二次根式有意义的条件 【分析】 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】 解：由题意得， x 20， 解得 x2 故选 B 【点评】 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 5如图，在 ， 0， 分 D，如果 么 E 等于（ ） A 2 3 4 5考点】 角平分线的性质 【分析】 根据角平分线性质得出 E，求出 E=可得出答案 【解答】 解： 在 ， 0， 分 D， E， E=E= 故选 B 【点评】 本题考查了角平分线性质的 应用，能根据性质得出 E 是解此题的关键，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 6如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ） A b2=a（ a b） +b（ a b） B（ a b） 2=2ab+（ a+b） 2=ab+ a+b）（ a b） 第 8 页（共 19 页） 【考点】 完全平方公式的几何背景 【分析】 通过图中几个图形的面积的关系来进行推导 【解答】 解：根据图形可得出：大正方形面积为：（ a+b） 2，大正方形面 积 =4 个小图形的面积和 =a2+b2+ab+ 可以得到公式：（ a+b） 2=ab+ 故选： C 【点评】 本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键 7若分式： 的值为 0，则（ ） A x=1 B x= 1 C x=1 D x1 【考点】 分式的值为零的条件 【专题】 计算题 【分析】 要使分式的值为 0，一定要分子的值为 0 并且分母的值不为 0 【解答】 解：由 1=0 解得： x=1， 又 x 10 即 x1， x= 1， 故选 B 【点评】 要注意使分子的值为 0 时，同时要分母的值不能为 0，否则就属于没有意义了 8若 x =1，则 的值是（ ） A 3 B 2 C 1 D 4 【考点】 完全平方公式；代数式求值 【专题】 计算题；整体思想；构造法；分式 【分析】 将代数式依据完全平方公式配方成 ，然后整体代入可得 【解答】 解：当 x =1 时， = = =12+2 =3 故答案为： A 【点评】 本题主要考查完全平方公式应用和整体代入求代数式值得能力，将原代数式配方是关键，属中档题 9如图， ， C， D 是 中点， 垂直平分线分别交 、 O、 F，则图中全等三角形的对数 是（ ） 第 9 页（共 19 页） A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 【考点】 全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据已知条件 “C， D 为 点 ”，得出 后再由 垂直平分线分别交 点 E、 O、 F，推出 而根据 “ “到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏 【解答】 解： C， D 为 点， D， 0， 在 ， ， 直平分 C， E， 在 ， ， 在 ， ， 在 ， ， 故选： D 【点 评】 本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉 类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证 10如图，正方形 面积为 12， 等边三角形，点 E 在正方形 ，在对角线 有一点 P，使 E 最小，则这个最小值为（ ） 第 10 页（共 19 页） A B 2 C 2 D 【考点】 轴对称 方形的性质 【分析】 由于点 B 与 D 关于 称，所以 交点即为 P 点此时 E= 等边 边， B，由正方形 面积为 12，可求出 长，从而得出结果 【解答】 解：由题意，可得 于点 P 点 B 与 D 关于 称， B， E=E=小 正方形 面积为 12， 又 等边三角形， B=2 故所求最小值为 2 故选 B 【点评】 此题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P 的位置是解决问题的关键 二、填空题 11 中国女药学家屠呦呦获 2015 年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为 ，该长度用科学记数法表示为 0 6 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】 解： 0 6， 故答案 为： 0 6 【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a| 10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 第 11 页（共 19 页） 12如图， C，点 E，点 D 分别在 ，要使 添加的条件是 B= C （添加一个条件即可） 【考点】 全等三角形的判定 【分析】 根据 “行添加条件 【解答】 解： C， 当添加 B= C 时，可利用 “断 故答案为 B= C 【点评】 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边 13若 （ m 3） x+16 是一个完全平方式，那么 m 应为 1 或 7 【考点】 完全平方式 【分析】 本题考查的是完全平方式，这里首末两项是 x 和 4 的平方，那么中间项为加上或减去 x 和 4 的乘积的 2 倍，故 2（ m 3） =8，解得 m 的值即可 【解答】 解：由于（ x4） 2=x+16=（ m 3） x+16， 2（ m 3） =8， 解得 m= 1 或 m=7 故答案为： 1； 7 【点评】 本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的 2 倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值 14如图， 斜边 中垂线 于点 M， A=15， ，则 1 【考点】 线段垂直平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出 M， A=15，再根据三角形外角的性质求出 度数，由直角三角形的性质求出 长，进而可得出结论 【解答】 解： 斜边 中垂线 于点 M， A=15， ， M=2， A=15， A+ 0， 第 12 页（共 19 页） 2=1， = = ， S C= 21=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离 相等是解答此题的关键 15观察下列关于自然数的等式： 32 412 52 422 72 432=13 根据上述规律解决下列问题： （ 1）完成第四个等式： 92 442=17 ； （ 2）写出你猜想的第 n 个等式 （ 2n+1） 2 4n+1 （用含 n 的式子表示） 【考点】 规律型：数字的变化类 【分析】 由 三个等式可得，被减数是从 3 开始连续奇数的平方，减数是从 1 开始连续自然数的平方的 4 倍，计算的结果是被减数的底数的 2 倍减 1，由此规律得出答案即可 【解答】 解：（ 1） 32 412=5 52 422=9 72 432=13 所以第四个等式： 92 442=17； （ 2）第 n 个等式为：（ 2n+1） 2 4n+1 故答案为： 92 442=17；（ 2n+1） 2 4n+1 【点评】 此题考查数字的变化规律，解题的关键是找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题 三、解答题解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程 16因式分解： （ 1） 49； （ 2） 36 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分 析】 （ 1）直接利用平方差公式分解因式即可； （ 2）直接提取公因式 3a，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】 解：（ 1） 49=（ 2x+3）（ 2x 3）； （ 2） 363a（ 2xy+ =3a（ x y） 2 【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键 17计算： 第 13 页（共 19 页） （ 1） （ 2x+3y） 2（ 2x+y）（ 2x y） 2y （ 2） 【考点】 二次根式的混合运算；整 式的混合运算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）利用乘法公式把括号内展开，然后合并后进行整式的除法运算； （ 2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算 【解答】 解：（ 1）原式 =（ 424x2+2y =（ 1202y =6x+5y； （ 2）原式 =（ 4 2 +12 ） 2 =14 2 =7 【点评】 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍也考查了整式的混合运算 18先化简，再求值： （ x 2+ ），其中 x= 1 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 【解答】 解：原式 = = = ， 当 x= 1 时，原式 = = = 【点评】 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19解方程： 【考点】 解分式方程 【专题】 计算题 第 14 页（共 19 页） 【分析】 分 式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： x（ x+2） 1=4， 去括号得： x 1=4， 解得： x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 故原方程的解是 x= 【点评】 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是 “转化思想 ”，把分式方程转化为整式方程求解解 分式方程一定注意要验根 20如图，点 C， D 在线段 ， F， A= F求证： 【考点】 全等三角形的判定 【专题】 证明题 【分析】 首先根据平行线的性质可得 B= 利用 定 可 【解答】 证明： B= 在 ， 【点评】 本题考查三角形全 等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： 注意： 能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 21如图，在 ， 分 （ 1）作图：作 的垂直平分线分别交 点 E， F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （ 2）在（ 1）的条件下，连结 A=60， 4，求 度数 第 15 页（共 19 页） 【考点】 作图 复杂作图；线段垂直平分线的性质 【分析】 （ 1）分别以 B、 C 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，与 交点记作 E， F； （ 2）根据角平分线性质可得 后利用三角形内角和定理可得 度数，根据线段垂直平分线的性质可得 F，进而可得 4，再根据角的和差关系可得答案 【解答】 解：（ 1）如图所示： （ 2） 分 4， 8， 4， A=60， 80 60 48=72， 垂直平分线， F， 4， 2 24=48 【点评】 此题主要考查了复杂作图，以及线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 22在 ， A=60， 对的边 b， c 满足 b2+4（ b+c） +8=0 （ 1）证明： 边长为 2 的等边三角形 （ 2）若 b， c 两边上的中线 于点 O，求 值 【考点】 等边三角形的判定；因式分解的应用；三角形的重心 【分析】 （ 1）由 b2+2（ b+c） +2=0，可以判定 b=c， A=60可以确定 边长为1 的等边三角形； 第 16 页（共 19 页） （ 2）连接 D、 E 分别是边 上的中点，所以 可得到答案 【解答】 解：（ 1） b2+4（ b+c） +8=0， （ b 2） 2+（ c 2） 2=0， b=c=2， 又 A=60， 所以 边长为 2 的等边三角形； （ 2）连接 点 D、 E 分别是边 上的中点， 所以 = = 【点评】 本题考查因式分解的应用以及相似三角形的综合应用，解答本题的关在在于熟记公式的转化和相似三角形的判定方法和性质的综合应用 23 2015 年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周年某商家用 1200 元购进了一批抗战主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用 2800 元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但 单价贵了 5 元 （ 1）该商家购进的第一批纪念衫是多少件？ （ 2）若