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九年级上册数学助学案 成才先从学会做事开始楚雄市八角镇民族中学Chu xiong shi ba jiao zhen min zu zhong xue 九年级（上）数学助学案 班级：88-91班课题：第二章 一元二次方程 主备：夏古相 审核： 时间：2012年9月 第 4周 亲爱的同学：学习是获得知识的有效途径，为了自己的进步，请按照助学案的要求认真预习，并完成课堂前置和课堂练习。2.1 花边有多宽（1）学习目标1在具体情境中，理解一元二次方程相关概念及其解的概念；2通过自主探索和小组合作，会列出问题情境中的方程，并学会估算一元二次方程的解；3积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。课堂前置 情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少？解：设_, 列方程得：_你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？学习探究出示问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为_m，宽为_m，根据题意，可得方程_。化成一般形式得_。8m出示问题二：求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 列出方程为 并化简为 。出示问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程为 并化简为 。总结归纳：阅读课本，结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。1、只含有一个未知数的_方程，并且都可以转化成_（、为常数，_0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。2、相关概念：二次项是_，一次项是_，c叫做_。3、反思：(1) 由于一元二次方程的最高次数为_，所以必须满足_0；(2) 由于一元二次方程的一般形式是_，所以在化为一般形式时，一定要使得方程的右边是_。只有把方程转化为一般形式后，才可确定是否是一元二次方程。达标测评1、 辨析下列方程是否为一元二次方程，不是的请说明原因：；2、 关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_。3、 将方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为_。4、解决课本习题。 小结提高 2.2 配方法（3）学习目标1、会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2、理解一元二次方程的解法配方法3、把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想。4、利用配方法解一般一元二次方程，进一步理解配方法的解题思路。课堂前置 知识点1 直接开平方法解一元二次方程：求一个非负数的平方根：如果，则=_；如果，则=_。知识点2 配方法解一元二次方程：完全平方式运算形式形如的二次三项式。试着写出两个完全平方式：_，_。学习探究【探究1】1、试求下列方程的根：(1) (2) 【提示】当满足方程的根不止一个时，为了区分，应把方程的根写为、的形式。一般情况下，方程根的个数与其次数一样。2、对于方程，你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的？3、你能把方程转化成吗？你是如何转化的？注意配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x212x_(x6)2（2）x24x_(x_)2（3）x28x_(x_)2从上可知：常数项配上_.【探究2】对于方程，可先将方程变形为，然后将方程左边进行配方(根据等式基本性质，两边同时加上(一次项系数的一半的平方)即可)，如，移项得：，两边同时加上_，可得_，从而得_，这样就可以用“开平方”的方法求解方程了。例1：解方程：x212x150（配方法）解：移项，得：_配方，得：_.（两边同时加上_的平方）即：_开平方，得：_即：_所以：_ 达标测评1、【感悟与收获】什么叫配方法？配方法的基本思路是什么？怎样配方？2、方程的解是_3、把化成的形式，则，。4、解下列方程：（1） (2) 2.2配方法第二课时课堂前置 1、把下列各式配成完全平方式 2、用配方法解下列方程：（1）x24x30 （2） 学习探究【探究】当方程二次项系数不为1时，有没办法用配方法来求解呢？如，该如何求解呢？说说你的想法，并完成求解过程？归纳总结：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成_；（2）两边同时除以_，使_化为1；（3）移项，方程的一边为_，另一边为_（4）配方：方程两边同时加上_，化为_ 的形式；（5）当_ 时，两边开平方便可求出它的根；例2：解方程：3x28x30解：两边都除以_，得： 移项，得： 配方，得： （方程两边都加上_的平方）开平方，得： 所以:达标测评1、用配方法解方程：（1） （2）2、三角形的两边长分别为2和4，第三边长是方程的解，求这个三角形的周长。3、当为何值时，与的值相等？2.2配方法第三课时学习目标1、利用方程解决实际问题2、进一步掌握用配方法解题的技能，对于开放性问题的解决，即如何设计方案课堂前置 请同学们阅读课本60页，并思考：在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？学习探究1、学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。2、例：小明：我的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度相等。如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）求出一元二次方程的解？这两个解都合要求吗？为什么？3、小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？达标测评1、解方程：（1）3x212x (2) 2、课本问题解决第2、3题。 小结提高 2.3公式法学习目标1一元二次方程的求根公式的推导；2会用求根公式解一元二次方程。3.求根公式的条件：b24ac0。课堂前置 1、 用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、 用配方法解方程：2x2+3=7x并总结用配方法解方程的一般方法: 学习探究提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式【总结】1、一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x注意：当b24ac0时，一元二次方程无实数根。2、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。【例题讲析】例：解方程：（1）2x27x4 (2) 2x2-5x+4=0小结：用公式法解一元二次方程的步骤：1） 化成一般形式；2） 确定a,b,c的数值；3） 求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数；4） 若b24ac0，用求根公式求出方程的根，若b24ac0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。达标测评1、练习：不解方程判断下列方程是否有解：(1) 2x2+3=7x （2）x2-7x=18 （3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 (5)16x2+8x=3 (6) 2x2-9x+8=0总结：根的判别式：_1）当b24ac_0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；2）当b24ac_0时，一元二次方程有两个相等的实数根；3）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。2、用公式法解方程：2.4分解因式法学习目标1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。课堂前置 1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为_的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为_，再用求根公式_求解, 根的判别式：_。1）当b24ac_0时，一元二次方程有两个实数根；2）当b24ac_0时，一元二次方程无实数根。学习探究1、基础回顾：（1）5 x24x （2）x2x(2x) (3) (x+1)225 (4) 4x212xy+9y2【总结】1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。3、用分解因式法解下列方程：例1：解下列方程：1）5x24x 2）x2x(x2)3）(x1)2250 4）4(2x-1)29(x+4)2；总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤1）将方程的右边化为_；2）将方程左边分解成两个_的乘积；3）令每个因式分别为零，得两个_方程；4）解这两个_方程，它们的解就是原方程的解。 达标测评1、解方程：（1）x(x+2)=0 （2）(2x2)(3x4)=0（3） 2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值 小结提高 2.5一元二次方程的应用（1）学习目标经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。课堂前置1、填空：1）一个两位数，十位数字是a，个位数字是b,则这个两位数是_;2）某工厂2006年总产值是a万元，2007比2006年增长了10%，则2007年的总产值为_万元，2008比2007年增长了10%，则2008年的总产值为_万元；若两年的增长率均为x,则2008年的总产值为_万元。2、【知识梳理】列方程解应用题的关键是_：列方程解应用题的步骤：学习探究1、列方程解应用题：1）三个连续整数的平方和是29，求着三个连续整数。2)有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？例1、有一个两位数，两个数字的和为9，数字的积等于这个两位数的，求这个两位数。例2、平均增长（或降低）率问题：一商店1月份的利润是2000元，3月份的利润达到2420元，若这两个月的利润的增长率相同，则增长率是多少？变式训练：制造一种产品，原来每件的成本价是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，求平均每次降低成本的百分率。达标测评1、某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则列方程为_2、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数。3、课本习题。2.5一元二次方程的应用（2）学习目标分析几何问题中的数量关系，列出一元二次方程解决问题。课堂前置1、列方程解应用题的关键是什么？2、列方程解应用题的步骤？3、勾股定理的内容？4、黄金分割中的黄金比是多少？你知道怎样求吗列方程解应用题：ACBPQ6cm8cm1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度. 学习探究1、探究课本数形结合例题。2、巩固练习：如图：在RtACB中，C=90，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半？ 达标测评已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？2.5一元二次方程的应用（3）学习目标1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。课堂前置1、 有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？2、苹果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。实验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。若要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 学习探究例1、利润问题新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量=5000元如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为 元。每天的销售量每台的销售利润/元总销售利润/元降价前降价后填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。达标测评1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？