广西2019高考数学二轮复习专题对点练17空间中的垂直、夹角及几何体的体积

1 专题对点练专题对点练 1717 空间中的垂直 夹角及几何体的体积空间中的垂直 夹角及几何体的体积 1 1 2018 江苏 15 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 aa1 ab ab1 b1c1 求证 1 ab 平面a1b1c 2 平面abb1a1 平面a1bc 2 2 如图 在三棱台abc def中 平面bcfe 平面abc acb 90 be ef fc 1 bc 2 ac 3 1 求证 bf 平面acfd 2 求直线bd与平面acfd所成角的余弦值 3 3 由四棱柱abcd a1b1c1d1截去三棱锥c1 b1cd1后得到的几何体如图所示 四边形abcd为正方形 o 为ac与bd的交点 e为ad的中点 a1e 平面abcd 1 证明 a1o 平面b1cd1 2 设m是od的中点 证明 平面a1em 平面b1cd1 2 4 4 如图 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知 bd 2ad 8 ab 2dc 4 5 1 设m是pc上的一点 证明 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 5 5 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是平行四边形 adc 45 ad ac 2 o为ac的中点 po 平面 abcd 且po 6 m为pd的中点 1 证明 ad 平面pac 2 求直线am与平面abcd所成角的正切值 6 6 2018 北京 文 18 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 平面pad 平面abcd pa pd pa pd e f分别为 ad pb的中点 求证 1 pe bc 2 平面pab 平面pcd 3 ef 平面pcd 3 7 7 如图 在直角梯形abcd中 ad bc abc 90 ab bc 2 ad 6 ce ad于点e 把 dec沿ce折 到d ec的位置 使d a 2 如图 若g h分别为d b d e的中点 3 1 求证 gh d a 2 求三棱锥c d be的体积 8 8 如图 在四棱锥s abcd中 ab cd bc cd 侧面sab为等边三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 证明 sd 平面sab 2 求四棱锥s abcd的高 4 专题对点练 1717 答案 1 1 证明 1 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 ab a1b1 因为ab 平面a1b1c a1b1 平面a1b1c 所以ab 平面a1b1c 2 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 四边形abb1a1为平行四边形 又因为aa1 ab 所以四边形abb1a1为菱形 因此ab1 a1b 又因为ab1 b1c1 bc b1c1 所以ab1 bc 又因为a1b bc b a1b 平面a1bc bc 平面a1bc 所以ab1 平面a1bc 因为ab1 平面abb1a1 所以平面abb1a1 平面a1bc 2 2 1 证明 延长ad be cf相交于一点k 如图所示 因为平面bcfe 平面abc 且ac bc 所以ac 平面bck 因此bf ac 又因为ef bc be ef fc 1 bc 2 所以 bck为等边三角形 且f为ck的中点 则bf ck 所以bf 平面acfd 2 解 因为bf 平面ack 所以 bdf是直线bd与平面acfd所成的角 在 rt bfd中 bf df 3 3 2 得 cos bdf 21 7 所以 直线bd与平面acfd所成角的余弦值为 21 7 3 3 证明 1 取b1d1的中点o1 连接co1 a1o1 由于abcd a1b1c1d1是四棱柱 所以a1o1 oc a1o1 oc 因 此四边形a1oco1为平行四边形 所以a1o o1c 又o1c 平面b1cd1 a1o 平面b1cd1 所以a1o 平面b1cd1 2 因为ac bd e m分别为ad和od的中点 所以em bd 又a1e 平面abcd bd 平面abcd 所以a1e bd 因为b1d1 bd 所以em b1d1 a1e b1d1 又a1e em 平面a1em a1e em e 所以b1d1 平面a1em 又b1d1 平面b1cd1 所以平面a1em 平面b1cd1 4 4 1 证明 在 abd中 因为ad 4 bd 8 ab 4 5 所以ad2 bd2 ab2 所以ad bd 又平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad bd 平面abcd 所以bd 平面pad 又bd 平面mbd 5 故平面mbd 平面pad 2 解 过点p作po ad交ad于点o 因为平面pad 平面abcd 所以po 平面abcd 所以po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为 4 的等边三角形 因此po 4 2 3 23 在底面四边形abcd中 ab dc ab 2dc 所以四边形abcd是梯形 在 rt adb中 斜边ab边上的高为 4 8 45 85 5 此即为梯形abcd的高 所以四边形abcd的面积为s 24 25 45 2 85 5 故vp abcd 24 2 16 1 333 5 5 1 证明 po 平面abcd 且ad 平面abcd po ad adc 45 且ad ac 2 acd 45 dac 90 ad ac ac 平面pac po 平面pac 且ac po o ad 平面pac 2 解 取do的中点n 连接mn an 由po 平面abcd 得mn 平面abcd man是直线am与平面abcd所成的角 m为pd的中点 mn po 且mn po 3 an do 1 2 1 2 5 2 在 rt anm中 tan man mn an 3 5 2 65 5 即直线am与平面abcd所成角的正切值为 65 5 6 6 证明 1 pa pd 且e为ad的中点 pe ad 底面abcd为矩形 bc ad pe bc 2 底面abcd为矩形 ab ad 平面pad 平面abcd ab 平面pad ab pd 又pa pd pa ab a pd 平面pab pd 平面pcd 平面pab 平面pcd 3 如图 取pc的中点g 连接fg gd f g分别为pb和pc的中点 fg bc 且fg bc 1 2 6 四边形abcd为矩形 且e为ad的中点 ed bc ed bc 1 2 ed fg 且ed fg 四边形efgd为平行四边形 ef gd 又ef 平面pcd gd 平面pcd ef 平面pcd 7 7 1 证明 连接be gh ac 在 aed 中 ed 2 ae2 ad 2 可得ad ae 又dc 2 ed2 ce25 ac 2 可得ac2 ad 2 cd 2 可得ad ac 2 因为ae ac a 所以ad 平面abce 所以ad be 又g h分别为d b d e的中点 所以gh be 所以gh d a 2 解 设三棱锥c d be的体积为v 则v s bce ad 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 43 3 8 8 1 证明 如图 取ab的中点e 连接de se 则四边形bcde为矩形 de cb 2 ad de2 ae2 5 侧面sab为等边三角形 ab 2 sa sb ab 2 且se 3 又sd 1 sa2 sd2 ad2 sb2 sd2 bd2 sd sa sd sb sa sb s sd 平面sab 2 解 设四棱锥s abcd的高为h 则h也是三棱锥s