概率论和数理统计随机变量及其分布.ppt

1 1 2随机变量及其分布 一 一维随机变量及其分布函数二 多维随机变量及其分布函数 2 注 1 分布函数是一种单调不减 实值 有界的普通函数 2 对于任意实数 为一个定义域为R 值域为 0 1 的函数 称之为随机变量X的分布函数 设X为一随机变量 则对每一个实数x X x 都是一个随机事件 进而 3 分布函数的定义 3 1 定义 如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个 则称X为离散型随机变量 又设X的可能取值是x1 x2 xk 若有 P X xk pk k 1 2 称此通式为X的概率分布 也称分布律 表格法如下 2 性质 1 pk 0 k 1 2 2 pk 1 2 离散型随机变量及其分布律 一个阶梯函数 3 离散型的分布函数 4 例2设有一批产品20件 其中有3件次品 从中任意抽取2件 如果用X表示抽得的次品数 求随机变量X的分布律 分布函数及事件 至少抽得一件次品 的概率 解 X的可能取值为0 1 2 P 抽得的两件全为正品 P X 0 P X 1 P X 2 故X的分布律为 例1中随机变量的分布函数为 4 几种常见的重要分布 5 则称X服从参数为p的 0 1 分布或二点分布 记为X 0 1 分布 背景 样本空间只有两个样本点的情况 定义 若随机变量X的分布律为 10 0 1分布 二点分布 如 抛硬币一次 X表示正面朝上的次数 检验一件产品是否合格 X表示合格品的件数 2 二项分布 定义 若随机变量X的分布律为 6 其中0 p 1 则称X服从参数为n p的二项分布 记为X b n p 解 依题意 有放回地抽取5件 可视为5重贝努利实验 记X为共抽到的次品数 则 所求为P X 2 例3从一批由9件正品 3件次品组成的产品中 有放回地抽取5件 每次抽一件 求恰好抽到两件次品的概率 A 一次实验中抽到次品 P A 3 12 p 1 4 3 泊松分布 定义 若随机变量的分布律为 7 其中 0 则称X服从参数为 的泊松分布 记为X P 注 10它是二项分布的极限形式 实际应用中 当n 20 p 0 05时 即可用近似公式 20有Poisson分布表可查用 其中 np 30实际问题中若干R v X是服从或近似服从Poisson分布的 某服务台在某时间段内接待的服务次数X 某地区在某时间段内出现故障的次数Y 8 例4某公共汽车站单位时间内的候车人数服从参数 8的泊松分布 求该公共汽车站单位时间内候车人数小于5的概率 解记该车站单位时间内的候车人数为X 则由题知X P 8 查附表1知 9 1 数学定义 若存在非负函数f x 使随机变量X的分布函数恰为 则称X为连续型随机变量 称为X的概率密度 2 f x 的性质 3 连续型随机变量及其概率分布 10 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 若x是f x 的连续点 则 f x 对f x 的进一步理解 要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 11 定义 若连续型R v X的概率密度为 3 几种常见的连续型分布 10 均匀分布 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 背景 当X的取值落在区间 a b 中任意 分布函数 在区间 a b 之外的概率为0的情况 12 例5102电车每5分钟发一班 在任一时刻某一乘客到了车站 求乘客候车时间不超过2分钟的概率 X 0 5 上的均匀分布 分析 若记该乘客的候车时间为X 则 因此X的概率密度 所求为 P X 2 F 2 13 20 指数分布 定义若连续型随机变量X的概率密度为 背景 可靠性理论 排队论中 分布函数 14 例6 设某仪器的使用寿命X 单位 万小时 服从参数为1 15的指数分布 求该仪器使用超过30万小时的概率 解由题知 故其概率密度函数为 所以 30 正态分布 1 定义若连续型R v X的概率密度为 则称X服从参数为 2的正态分布 15 2 标准正态分布 称N 0 1 分布为标准正态分布 其概率密度为 图形与特性 3 标准正态分布表 如 0 9945 1 0 9750 0 025 16 例7设X N 1 4 求P 0 X 1 6 解 4 一般正态分布的标准化 5