算术平均数与几何平均数

1 / 9算术平均数与几何平均数本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 题目第六章不等式算术平均数与几何平均数高考要求1 了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理2 能运用定理解决一些简单的数学问题和实际问题3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值知识点归纳1常用的基本不等式和重要的不等式（1）当且仅当（2）（3） ，则（4）2 最值定理:设（1）如积（2）如积即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均值不等式:2 / 9两个正数的均值不等式：三个正数的均值不等是：n 个正数的均值不等式：4 四种均值的关系：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明题型讲解例 1 设 a0 则下列不等式中不成立的是（）Aa+b+2B(a+b)(+)4ca+bD解法一：由于是选择题，可用特值法，如取 a=4,b=1,代3 / 9入各选项中的不等式，易判断不成立解法二：可逐项使用均值不等式判断Aa+b+2+2=2，不等式成立Ba+b20,相乘得:(a+b)(+)4 成立ca2+b2=(a+b)22ab(a+b)22()2=()2又a+b 成立Da+b2,=,即不成立故选 D例 2 今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论解:不对设左、右臂长分别是,物体放在左、右托盘称得重量分别为真实重量为为 G，则由杠杆平衡原理有：，得 G2=,G=由于，故,由平均值不等式知说法不对真实重量是两次称量结果的几何平均值点评:本小题平均值不等,杠杆平衡原理知识、数学化能力及分析问题、解决问题的能力，属跨学科（数学、物理）4 / 9的创新问题例 3 设 x0,y0,x2+=1,则的最大值为分析:x2+=1 是常数,x2 与的积可能有最大值可把 x 放到根号里面去考虑,注意到 x2 与 1+y2 的积,应处理成 2x2解法一:x0,y0,x2+=1=当且仅当 x=,y=(即 x2=)时,取得最大值解法二:令(0)则=cos=当=,即=时,x=,y=时，取得最大值例 4 若 a0,求的最小值分析:的结构不对称,关键是的分母(ab)b,而(ab)+b=a,故问题突破口已显然!也可以逐步进行：先对 b 求最小值，然后在对 a 求最小值解法一:=(ab)+b2+22+=4(ab)b+16当且仅当 b=(ab)且(ab)b=2,即 a=2b=2 时取等号,故的最小值为 165 / 9解法二:=当且仅当 b=(ab)且,即 a=2b=2 时取等号,故的最小值为 16点评:在运用均值不等式求最值时,凑出定值是关键!但在定值的过程中,不一定就能凑出定值来,实际上,分几步凑也是可以的,只要每步取等号的条件相同便可例 5 若 x0,x+y=1,求证:(1+)(1+)9分析:x+y 常数,xy 可有最大值证法一:左边(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9右边(当且仅当 x=y=时取“=”号)证法二：令 x=y=,0左边(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+=1+=1+1+8=9右边0=时，x=y=时取等号证法三：x+y=1左边(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)5+4=9右边(当且仅当 x=y=时取“=”号)小结：1 平均值定理是证明不等式的重要依据，其一般形式是：a1a2a3+an(a1a2a3an 均为正实数)，它的一边是“和”的形式，另一边是“积”的形式，要实现转化时，6 / 9常用均值不等式用它来求函数最值时，注意：一“正”二“定”三“相等”2 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2+b22ab 逆用 ab;(a,b0)逆用为ab()2（a,b0）等还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等3 在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值学生练习1 设 a、b0,ab=1,试比较大小：2(填“”,“”或“=”)答案：2 比较大小：若 a”或“=”)答案：2 若 x,yR+,且 xy=s,xy=p,则下列命题中正确的是（）A 当且仅当 x=y 时，s 有最小值 2B 当且仅当 x=y 时，p 有最大值c 当且仅当 p 为定值时，s 有最小值 2D 若 s 为定值，则当且仅当 x=y 时，p 有最大值7 / 9答案：D4 若 x,yR+,xy4,则下列不等式中成立的是（）AB1c2D1答案：B 提示：2215 下列说法中不正确的是（）A 由 a、bR，可得 a2b22ab(a2b2)B 对于命题“a、bR+”,把条件改为 a、b 均为非负数后依然成立c 若 abD 若 a、b、cR+，则答案：D提示：=6 下列不等式中恒成立的是（）Actgtg2Bx12c2Dxyz(xyz=1)答案：B7 当 xR+时可得到不等式 x2,x=3,由此可以推广为 xn1,取值 p 等于（）AnnBn2cnDn1答案：A 提示：xn1，p=nn8x、y0,xy=1,且a 恒成立,则 a 的最小值为（）A/2B2c2D8 / 9答案：D 提示：2=9 在区间(0,+)上，当 x=时，函数 y=3x 有最小值答案：2；9 提示：y=3x3=9,10 函数 y=m2的值域为答案：1,+)提示：y=m2=y=(m21)1211 已知 x、y、z0,且 xyz=1,则的最大值为；最小值为答案：；112 已知：abc=1,a2b2c2=1,且 ac,则ab 的取值范围是；a2b2 的取值范围是答案：(1,)；(,1)13 若 a1,ab=10，求证：logaclogbc4lgc,并指出什么时候等号成立答案：a=b=时等号成立提示：algc=4lgc,当 lga=lgb 时,即 a=b=时等号成立14 若 a0，且=1,求证：(I)ab4;(II)对于一切 nN,(ab)nanbn22n2n1 成立提示：(I)=1,ab=()(ab)=114,(II)当 n=1 时,左