新人教版七年级数学下册(五四制)《三角形的高、中线与角平分线》教案.doc

17.1.2 三角形的高、中线与角平分线一、教学目标（一）学习目标1理解三角形的高的概念.会画不同三角形的高. 2. 掌握三角形中线、角平分线的概念；了解三角形具有稳定性.3.能正确运用三角的高、中线、角平分线的相关概念及性质解决实际问题.（二）学习重点 三角形的高、中线、角平分线的概念.（三）学习难点 运用三角形高、中线、角平分线的概念解决三角形有关实际问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 高 ；在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做 中线 ；三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做 角平分线 .（2）我们经常可以看见在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这么做呢？这是利用了 三角形的稳定性 .那四边形是否具有这样的性质呢? 不具有 .2.预习自测（1）如图，在ABC中，BC边上的高是_ ，在AEC中，AE边上的高是_，EC边上的高是_.【知识点】三角形的高的概念【解题过程】BC边是顶点A得对边，过点A作BC边的垂线，交点B是垂足，所以AB为BC边上的高.同理AE边上的高为CD，EC边上的高为AB.【思路点拨】运用高的定义，过三角形一点向它的对边作垂线，这一点与垂足之间的连线叫做三角形的高.【答案】AB、CD、AB（2）如图，在ABC中，D是BC的中点，E是AB 的中点，则ABC 的中线是_，ABD的中线是_.【知识点】三角形中线的概念【解题过程】ABC的顶点A和它对边中点D的连线AD为ABC的中线；而ABD中，顶点D与它对边中点E的连线DE为ABD的中线.【思路点拨】三角形的顶点和它对边中点的连线成为中线，故找准顶点和它的对边中点是关键.【答案】AD、DE（3）ABC的角平分线BE是（ ）A.射线 B.直线 C.线段 D.都有可能【知识点】三角形的角平分线的概念，它与角平分线的区别【解题过程】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.【思路点拨】三角形的角平分线是线段，而角平分线是射线.【答案】C（4）如图是一个六边形木架，至少要钉_根木条才能使其固定不变形.【知识点】运用三角形的稳定性解决实际问题【解题过程】六边形至少需要加3根木条才能将其全部分割为三角形.【思路点拨】把六边形不相邻的顶点连起来转化为三角形就可以使其固定.【答案】3(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形（2）构成三角形的元素： 三个顶点； 三条边； 三个内角（3）三角形三边的数量关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.问题探究探究一 三角形的高.活动回顾旧知师：回顾构成三角形的元素并回忆小学时如何作出三角形的高.（1）三个顶点；三条边；三个内角（2）过三角形一个顶点向它的对边画垂线段.教师总结：从ABC的顶点A向它所对的边BC画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的高.【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.活动画出以下三角形的高 AD、BE、CF.师问：一个三角形有几条高？三角形的高是什么线？三个图形的高有什么区别？它们在位置上有什么关系？学生抢答：看谁总结得最快最完整？学生回答：三角形有三条高，都是线段.锐角三角形的高在三角形内部，直角三角形有两条高在边上，钝角三角形有两条高在三角形外部，每个三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点.教师总结：任意一个三角形都有三条高，三角形的高是线段；锐角三角形的高在三角形内部、直角三角形有两条高在边上、钝角三角形有两条高在外部；三角形的三条高（或高所在的直线）都相交于一点（如上图点O），锐角三角形的三条高相交于三角形内部一点、直角三角形的三条高相交于直角顶点、钝角三角形的三条高所在的直线相交于三角形外部一点.【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识转化为理性认识.探究二 三角形的中线与角平分线. 活动大胆猜想，探究新知识师问：妈妈有一块三角形蛋糕，她想平均分给小明和小亮，并且两人所得蛋糕均为三角形，你能帮妈妈出主意吗？学生回答：找到一边的中点，然后和这边所对的顶点相连，沿着这条连线切割，所得的两个三角形面积相等.师问：谁能帮妈妈验证这个方法合理吗？学生回答：分割后的两个三角形底相同，高相同，所以面积相等.【设计意图】通过探究，促使学生找到三角形边上的中点，为得出中线的概念作铺垫.活动反思过程，发现新概念.教师展示新知：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.师问：三角形的中线是什么线？一个三角形有几条中线？三角形的中线所分成的两个三角形面积有什么关系？学生回答：三角形的中线是线段，并且每个三角形都有三条中线.三角形的中线所分成的两个三角形的面积相等，因为等底等高的三角形面积相等.【设计意图】让学生更加全面的掌握中线的概念以及它平分三角形面积的性质. 活动动手操作，大胆发现.如图，画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.师问：你发现了什么？学生回答：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点.教师展示新知：三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.【设计意图】通过动手实践找到三角形的重心，深刻理解三角形的重心在三角形内部.活动集思广益，探究新知.师问：请同学们画出三角形中A的平分线（量角器）教师总结：如图，画B的平分线BD，交B所对的边AC于点D，所得线段BD叫做ABC的角平分线.师问：你能画出三角形另外的角平分线吗？学生展示：师问：三角形的角平分线是什么线？与角平分线有什么区别？一个三角形有几条角平分线？在位置上有什么关系？学生回答：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，任何三角形都有三条角平分线，并且三条角平分线交于三角形内部的一点.教师总结：任何三角形都有三条角平分线，并且都在三角形内部交于一点，我们把这个点称为三角形的内心（内切圆的圆心）三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线.【设计意图】通过学生动手实践，掌握三角形的角平分线的概念，区别三角形的角平分线与角平分线的不同，并找到三角形的内心.为初三学习三角形的内切圆奠定基础.活动合作探究，发现新知师问：三根木条用钉子钉成一个三角形木架，扭动它，它的形状会改变么？四根木条用钉子钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会改变么？学生回答：三角形扭动不会改变形状，而四边形会改变形状.教师总结新知：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.师问：如图所示，木架的形状还会改变吗？学生回答：不会.斜钉一根木条后，四边形就变成了两个三角形.因为三角形具有稳定性，所以木架形状不会改变.教师总结：三角形是具有稳定性的图形，而四边形等其他多边形不具有稳定性.把不稳定的多边形转化成若干个三角形就能使其稳定.【设计意图】了解三角形的稳定性，可以使学生正确解释生活中的现象并能准确运用三角形的稳定性.探究三 利用三角形的高、中线及角平分线的概念解决问题.活动 三角形的高、中线、角平分线的概念及性质例1如图（1）所示，AD、BE、CF是ABC的三条中线，则AB=2_，BD=_，AE= 1 2 _.如图（2）所示，AD、BE、CF是ABC的三条角平分线，则1=_，3= 1 2 _，ACB=2_.【知识点】 三角形的中线和角平分线的概念【解题过程】（1）因为AD，BE，CF是ABC的三条中线，则AB=2AF=2BF，BD=CD,AE=CE= 1 2AC；（2）因为AD、BE、CF是ABC的三条角平分线，则1=2，3= 1 2ABC，ACB=24.【思路点拨】已知三角形的中线，找准中点可得线段的数量关系；三角形的角平分线平分三角形的一个内角，所得的两个小角相等.【答案】（1）AF或BF,CD,AC （2）2，ABC,4练习：如图，在ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.则BE=_= 1 2_；BAD=_= 1 2_；AFB=_=90.【知识点】三角形的高、中线及角平分线的概念【解题过程】因为AE是中线，则点E为BC的中点，所以BE=CE= 1 2BC；因为AD是角平分线，所以BAD=CAD= 1 2BAC；又因为AF是高，即 AFBC，所以AFB=AFC=90.【思路点拨】运用高、中线、角平分线的概念进行求解.【答案】BE=CE= 1 2BC；BAD=CAD= 1 2BAC_；AFB=AFC=90【设计意图】让学生熟练掌握三角形高、中线、角平分线的概念.能准确判定三角形的高、中线及角平分线.活动2 三角形的中线运用例2 在ABC中，AD是ABC的中线，E为AB的中点，则AED的面积与ACD的面积的数量关系为_.【知识点】三角形的中线平分三角形的面积.【解题过程】在ABC中，AD是ABC的中线，所以SABD=SACD；又因为E为AB的中点，所以SAED=12SABD=12SACD【思路点拨】AD是ABC的中线，所以AD平分ABC的面积，同理DE也平分ABD的面积.【答案】SAED=12SACD练习：如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且SABF=1,求SABC.【知识点】三角形的中线.【解题过程】D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，AD是ABC的中线，BE是ABD的中线，AF是ABE的中线，又SABF=1，SABE=2SABF=2，SABD=2SABE=4，SABC=2SABD=8.【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形的面积进行求解【答案】8活动3 三角形的稳定性例3下列图形具有稳定性的是（ ）A.正方形 B.长方形 C.三角形 D.梯形【知识点】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.【解题过程】具有稳定性的图形是三角形，其他多边形不具有稳定性【思路点拨】 三角形具有稳定性.【答案】C练习：下列图形不具有稳定性的是（ ） 【知识点】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.【解题过程】选项B里含有四边形，因为四边形不具有稳定性，故选B.【思路点拨】找到有四边形等不具有稳定性的图形.【设计意图】让学生准确判断图形是否具有稳定性.【答案】B3. 课堂总结知识梳理（1）三角形的高、中线、角平分线的概念.（2）三角形的高所在直线相交于一点；三角形的中线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的重心；三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这个点叫做三角形的内心.（3）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.（4）三角形具有稳定性，四边形等其他多边形不具有稳定性.重难点归纳（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段（2）注意重心和内心分别是三角形的中线和角平分线的交点.（3）灵活运用三角形的高、中线、角平分线的概念解决有关问题.（三）课后作业基础型 自主突破1.至少有两条高在三角形内部的三角形是（ ）A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.都有可能【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别.【解题过程】锐角三角形的高都在三角形内部，直角三角形的高有两条在三角形的边上，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，而三角形有三条高，那么至少有两条高在三角形的内部的三角形为锐角三角形，故答案选B.【思路点拨】分别画出锐角三角形、直角三角形及钝角三角形的三条高即可.【答案】B2.如图所示，在ABC中，D、E分别是AC，BC的中点，以下说法正确的是（ ）A. BD是ABC的角平分线 B. BD是AC边上的中线C. BD是AC边上的高 D. DE是ABC的中线【知识点】三角形的中线的概念【解题过程】因为D、E分别是AC，BC的中点，所以BD是ABC中AC边上的中线，DE是BCD中BC边上的中线，故选B【思路点拨】三角形边上的中点与它所对的顶点之间的连线为中线.【答案】B3.如图，1=2，3=4，以下说法错误的是（ ）A.BD是ABC的角平分线 B.1=12ABCC.AE是BAC的角平分线 D.AE是ABC的角平分线【知识点】三角形的角平分线的概念【解题过程】1=2，BD是ABC的角平分线，1=12ABC；又3=4，AE平分角BAC，它与边BD交于点E，AE是BAC的角平分线，而不是ABC的角平分线，故答案选D【思路点拨】三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.【答案】D4.已知：AD是ABC的中线，且AB=10cm，AC=8cm，则ABD与ACD的周长之差=_cm.【知识点】三角形中线的概念【解题过程】AD是ABC的中线，所以BD=CD,而AD=AD,ABD与ACD的周长之差为AB-AC=2cm.【思路点拨】AD是三角形的中线，则点D为BC的中点.【答案】2cm5.如图所示，在ABC中ACB=90，把ABC沿直线AC翻折180，使点B落在点D的位置，则线段AC具有的性质是（ ）A.是边BD上的中线 B.是边BD上的高C.是BAD的角平分线 D.以上三种性质都具有【知识点】翻折前后三角形的大小、形状不变，三角形的高、中线、角平分线的概念【解题过程】把ABC沿直线AC翻折180翻折前后三角形的大小、形状不变，BC=DC，AC为ABD的中线；翻折前后三角形的大小、形状不变，ACD=ACB=90，ACBD，AC为ABD的高；翻折前后三角形的大小、形状不变，DAC=BAC，AC为ABD的角平分线.【思路点拨】翻折前后三角形的大小、形状不变，结合三角形高、中线、角平分线的概念即可判断.【答案】D6.如图，AD是ABC的高，AE是ABC的角平分线，AF是ABC的中线，相等的角有_对，分别是_、_.相等的线段是_.【知识点】三角形的高、中线、角平分线的概念【解题过程】AD是ABC的高，BDA=ADC=90，AE是ABC的角平分线，BAE=CAE，则相等的角有两对；又AF是ABC的中线，BF=CF.【思路点拨】利用三角形的高、中线、角平分线的概念找相等的角与相等的线段.【答案】两，BDA=ADC、BAE=CAE、BF=CF.能力型 师生共研7.如图，BE是ABC的角平分线，AD是ABC的高，ABC=50，则AOB=_.【知识点】三角形的角平分线与高【解题过程】在ABC中，BE是三角形ABC的角平分线，又ABC=50所以ABE=25；AD是ABC的高，ADB=90，又ABC=50，在ABD中，三角形三个内角之和为180，BAD=180-90-50=40，同理在ABO中，BOA=180-ABO-BAO=180-25-40=115.【思路点拨】根据AD是ABC的高，得出ADB=90，再由ABC=50，利用三角形内角之和为180，得出BAD=40，BE是ABC的角平分线，得出ABE=25，再利用三角形内角之和为180，从而计算出AOB的度数.【答案】1158.如图所示，在ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且SABC=16cm2,则SBFC=_.【知识点】 中线平分三角形的面积.【解题过程】D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，AD是ABC的中线、BE是ABD的中线、BF是EBC的中线，又因为SABC=16cm2，SABD=SACD=12SABC=8cm2, SBDE=12SABD=4，SDEC=12SACD=4,SBEC=SBDE+SDEC=8cm2，SBFC=12SBEC=4cm2.【思路点拨】利用三角形的中线平分三角形面积进行求解 【设计意图】让学生灵活运用三角形的中线将三角形的面积平分这一知识点.【答案】 4cm2探究型 多维突破9.在ABC中，AB=AC，AD是中线，ABC的周长为34cm，ABD的周长为28cm，求AD的长.【知识点】三角形的中线的概念【解题过程】在ABC中，AB=AC，AD是中线，即BD=CDABC的周长为34cm，AB+BD=342=17，又ABD的周长为28cm，AD=28-17=11cm.【思路点拨】根据三角形的中线的概念，得到BD=CD，再由AB=AC，可求出ABC周长的一半，即AB+BD，再由ABD的周长，求出第三边的长.【答案】11cm10.如图，已知AD，AE分别是ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，CAB=90，试求（1）AD的长，（2）ABE的面积.【知识点】三角形的面积公式，三角形的高、中线【解题过程】（1）已知CAB=90，SABC=12ABAC=24，SABC=12ADBC=5AD,5AD=24，AD=4.8cm；（2）已知AE是ABC的中线，AE平分ABC的面积，SABE=12SABC=12cm2【思路点拨】根据同一个三角形的面积不变，建立等式，求出BC边上的高AD，再根据三角形的中线平分三角形的面积求出ABE的面积.【答案】(1)4.8cm (2)12cm2自助餐1.如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.都不可能【知识点】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高在位置上的区别【解题过程】锐角三角形的三条高的交点在三角形内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部,故选B.【思路点拨】三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个点的位置要根据三角形的形状而定.【答案】B2. 如图所示，在ABC中，1=2，M为AD中点，延长BM交AC于E，F为AB上一点，CFAD于N，以下正确的是（ ）A.AD是ABE的角平分线B.BE是ABD边AD上的中线C.BE是ABC边AC上的中线D.CN是ACD边AD上的高【知识点】三