一题多解 求双曲线的离心率

精品文档 1欢迎下载 一 典例分析 融合贯通一 典例分析 融合贯通 典例典例1 1 2016年山东卷理科第13题 已知双曲线 001 2 2 2 2 ba b y a x E 若矩形ABCD的四个顶点 在E上 CDAB 的中点为E的两个焦点 且BC3 AB2 则E的离心率为 解法 1 直接法 由题意 c2 BC 所以 3c AB 于是点 2 3 c c 在双曲线E上 代入方程 得 1 4 9 2 2 2 2 b c a c 在由 2 cba 22 得E的离心率为 2 a c e 点睛之笔 直接代入 少走弯路 解法 2 通径法 易得 2 b A c a 2 b B c a 所以 2 2b AB a BC 2c 由 2 AB3 BC 222 cab 得离心率 e2 或 1 e 2 舍去 所以离心率为2 e 点睛之笔 通径法 此径通幽 点睛之笔 几何法 利用图形画出美好未来 解后反思 解法 1 直接将数据代入 直奔主题 不走回头路 解法 2 利用通径 减少计算量 解法 3 利用数形结合法 以形助数 精品文档 2欢迎下载 典例典例 2 2 2009 全国卷 理 4 设双曲线 a 0 b 0 的渐近线与抛物线 y x2 1 相切 则该1 2 2 2 2 b y a x 双曲线的离心率等于 A B 2 C D 356 点睛之笔 设而不求法 不求也能求 解法 2 导数法 设切点 00 P xy 2 yx 切线斜率 0 2 b kx a 0 2 b x a 精品文档 3欢迎下载 2 00 2 2 0 2 1 2 bb yx aa b y a 22 4ba 又 2222222 45cabcaaa 故选 C 5 c e a 点睛之笔 导数法 快速确定解题方向 解后反思 解法 1 设而不求法 再也不求人 解法 2 利用导数的几何意义 迅速突破难点 确定解题方略 3 典例典例 3 3 双曲线的离心率为 e1 双曲线的离心率为 e2 则 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 a x b y e1 e2 的最小值为 e1 e2的最小值为 2 2 2 1 11 ee 由双曲线离心率定义知 故有 b ba e a ba e 22 2 22 1 22 12 11 1 ee 点睛之笔 均值不等式 不患寡而患不 均 解法 2 换元法 精品文档 4欢迎下载 不妨设 则问题相当于 求 的最小值 1 1 21 yexe 1 11 22 yx yx xy 由均值不等式得 等号成立 当且仅当 即 xyyxyx 211 2 11 1 2222 2 xyyx 进而推出 即时 而 21 ee b a 12 2ee 822222 222222 xyyxxyyxyx 等号成立 当且仅当时取等号 由去分母可得 822222 222222 xyyxxyyxyx22 yx 12 2ee 1 11 22 yx 2222 yxyx 故答案依次为 1 2 2 2 点睛之笔 换元法 换了都说好 解后反思 解法 1 一正二定三相等 解起题来不需等 解法 2 换元法 越换越简练 越换越明了 二 精选试题 能力升级二 精选试题 能力升级 1 2018 辽宁省八中模拟 已知双曲线的左 右焦点为 在双曲线上存 22 22 1 0 0 xy ab ab 1 F 2 F 在点 P 满足 则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 1212 2 PFPFFF A B C D 12e 2e 12e 2e 答案 B 2 2018 广东省海珠区一模 已知双曲线的两条渐近线均与圆 22 22 1 0 0 xy Cab ab 相切 且双曲线的右焦点为该圆的圆心 则的离心率为 22 650 xyx C A B C D 6 3 6 2 3 5 5 5 2 精品文档 5欢迎下载 答案 C 解析 双曲线的渐近线方程为 即 圆 22 22 10 0 xy ab ab b yx a 0bxay 化为标准方程 半径为 双曲线 22 650C xyx 2 2 34 3 0 xyC 2 的两条渐近线均和圆相切 22 22 10 0 xy ab ab 22 650C xyx 222 22 3 2 944 b bba ba 双曲线离心 222 22 3 2 944 b bba ba 22222222 4 54babcacaa 22 3 5 95 5 c ace a 率对于 故选 C 3 5 5 3 2018 广西柳州市一模 若双曲线 上存在一点 P 满足以为边长的正方 22 22 1 xy ab 0 0 ab OP 形的面积等于 其中 O 为坐标原点 则双曲线的离心率的取值范围是 2ab A B C D 5 1 2 7 1 2 5 2 7 2 答案 C 4 2018 湖南省永州市一模 已知点为双曲线右支上一点 分别为双P 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 曲线的左右焦点 点为的内心 三角形内切圆的圆心 若恒有成立 I 12 PFF 121 2 1 2 IPFIPFIF F SSS 则双曲线的离心率取值范围为 A B C D 1 2 1 2 0 2 2 3 答案 A 精品文档 6欢迎下载 解析 如图 设圆与的三边 分别相切于点 连接 则I 12 FF 12 FF 1 PF 2 PF E F GIEIFIG 它们分别是的高 1212 IEFF IFPF IGPF 1212 IFFIPFIPF 12 1122 11 2222 IPFIPF rr SPFIFPFSPFIGPF 其中是的内切圆的半径 因为所以 1 2 1212 1 22 IF F r SFFIEFF r 12 PFF 121 2 1 2 IPFIPFIF F SSS 两边约去得 根据双曲线 1212 224 rrr PFPFFF 2 r 12121212 11 22 PFPFFFPFPFFF 定义 得 离心率为 双曲线的离心率取值范围为 1212 2 2PFPFa FFc 2ac 2 c e a 故选 A 1 2 5 2018 陕西西工大附中六模 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 8yx 准线分别交于两点 为坐标原点 若的面积为 则双曲线的离心率为 A BOABO 4 3 A B 2 C D 4 7 2 13 答案 B 精品文档 7欢迎下载 6 2013 课标全国 理 4 已知双曲线C a 0 b 0 的离心率为 则C的渐近线方 22 22 1 xy ab 5 2 程为 A y B y C y D y x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 答案 C 解析 a2 4b2 渐近线方程为 5 2 c e a 222 2 22 5 4 cab e aa 1 2 b a 1 2 b yxx a 7 2011 全国新课标 理 7 设直线l过双曲线C的一个焦点 且与C的一条对称轴垂直 l与C交于 A B两点 AB 为C的实轴长的 2 倍 则C的离心率为 A B C 2 D 323 答案 B 解析 精品文档 8欢迎下载 8 2015 高考新课标 1 理 5 已知 M 是双曲线 C 上的一点 是C上的两个 00 xy 2 2 1 2 x y 12 F F 焦点 若 则的取值范围是 12 0MFMF 0 y A B C D 3 3 3 3 3 6 3 6 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 答案 A 解析 由题知 所以 12 3 0 3 0 FF 2 2 0 0 1 2 x y 12 MFMF 解得 故选 A 0000 3 3 xyxy 222 000 3310 xyy 0 33 33 y 9 2018 湖南两市九月调研 已知为双曲线的左焦点 定点为双曲线虚轴F 22 22 1 0 0 xy ab ab A 的一个端点 过两点的直线与双曲线的一条渐近线在轴右侧的交点为 若 则此双 F AyB3ABFA 曲线的离心率为 精品文档 9欢迎下载 答案 4 3 10 2008 全国 1 理 21 双曲线的中心为原点 焦点在轴上 两条渐近线分别为 经过右焦点Ox 12 ll 垂直于的直