十五 奇妙的幻方

精品文档 1欢迎下载 十五 奇妙的幻方 把一些自然数填在纵横部相等的正方形内 使每一行 每一列和每一对角线上各个数 之和都相等 这样的方阵图叫做幻方 幻方是我国丰富的文化遗产之一 在古代就有 河图 洛书 的传说 到了宋朝 杨辉对 幻方已有较深的研究 奇妙的幻方犹如一个数学万花筒 它曾使不少数学爱好者入迷 它的一些有趣的性质 令人回味无穷 幻方有许多构造方法 这里只简单介绍几种方法 问题 15 1 把 1 9 九个数字填入一个 3 3 的正方形内 每格填一个数字 使每一横行 每 一竖列和两条对角线上三个数之和都相等 分析 1 9 九个数之和为 45 正好是三横行 或三列 数字之和 因此 每一横行 或每一 列 的三个数字之和等于 45 3 15 而 1 9 九个数字中 其中三个不同的数相加的和等于 15 的只可能是 9 5 1 15 9 4 2 15 8 6 1 15 8 5 2 15 8 4 3 15 7 6 2 15 7 5 3 15 6 5 4 15 因此 每一横行 每一列和每一对角线恰好是其中一个加式中的三个数 中心数有 4 条 线经过 要求它能在四个等式中出现 除 5 外 没有其它的选择 而 2 4 6 8 各出现在三 个等式中 因此它们是四个角上的数 这样每一格应填哪一个数就不难确定了 解 见图 15 1 以上我们得到的便是一个简单的三阶幻方 如果把上图的有关行和列经过适当的对换 旋转 还可以得出其它的填法 如图 15 2 问题 15 2 在图 15 3 的空白处填上适当的数 使得图中横行 竖列及两对角线上四个数 的和都是 34 分析 这实际上是一个四阶幻方问题 因为图中已填上一些数字 使问题大为简化 只要我 们按图中先填出 A B C D 四个空白处的一个数字 就比较容易得到答案 见图 15 4 1 解略 如果题中没有填出数字 即将 1 16 这十六个数填入 4 4 的方格中 使它成为四阶幻 精品文档 2欢迎下载 方 答案不唯一 如图 15 4 问题 15 3 从 1 13 这十三个自然数中选出十二个数 填入图 15 5 1 的 3 4 方格中 使每一横行四个数之和相等 每一竖列三个数的和也相等 分析 这个问题是幻方的变形题 因为 1 2 3 12 13 91 要去掉其中一个数 使得这十二个数之和既能被 3 整除 表中有三行 又能被 4 整除 表中有四列 即能被 12 整除 由 91 12 7 7 即从中去掉 7 这样横行之和应为 91 7 3 84 3 28 竖列之和应为 91 7 4 84 4 21 又这十二个数中有六个奇数和六个偶数 而奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 所以 四个竖列中有一列是三个奇数 其余三列各有一个奇数 如图 15 5 2 三个奇数的和是 21 的只有两组 1 9 11 21 3 5 13 21 填好奇数 就不难凑出其余偶数了 于是可有两种答案 图 15 6 问题 15 4 在图 15 7 1 的方格内 每边上的数加起来之和都是 5 所有数的和是 12 现 在请你用任何数字重新排列填入图 15 7 2 3 中 使每边上的数字之和仍为 5 但全 部数的总和是 13 14 解 本题的关键是处理好方格中四个角上的数 它们在计算各边数字和时 都计算了两 次 如果某角上数字减少 1 而使每边上数字和不变 应在与该角有关的两条边中间数字 精品文档 3欢迎下载 上各加上 1 这样表格中全部数字和便增加 1 这样我们可以得到图 15 8 的正确答案 练习 15 1 把 2 3 4 10 这十个数字填到图 15 9 的 3 3 方格内 使每行 每列及对 角线上的三个数的和都相等 2 把 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这九个数字填入图 15 10 的 3 3 方格内 这样 每一行的三个数字组成一个三位数 如果要使第二行的三位数是第一行的 2 倍 第三行的三位数是第一行的 3 倍 应怎样 填数 3 把 1 2 3 4 5 6 填入图 15 11 内 要使得每一行右边的数字比左边的数字大 每一列下面的数字比上面的数字大 问有几种填法 4 试在图 15 12 空白方格内填入适当的字 使每一行 每一列及两对角线上的五个字 中