《绝对值不等式解法》PPT课件.ppt

2 绝对值不等式的解法 1 掌握绝对值不等式的几种解法 并解决绝对值不等式的求解问题 2 了解绝对值不等式的几何解法 1 本课重点是两种类型绝对值不等式的解法 2 本课难点是利用绝对值不等式解决实际问题 1 含绝对值的不等式 x a的解集 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c 2 ax b c c ax b c ax b c或ax b c 1 x 的几何意义是什么 提示 x 表示数轴上的点x到原点O的距离 2 不等式 7x 1 3的解集是 解析 由 7x 1 3得 3 7x 1 3 解得 x 答案 3 不等式 1 3x 2的解集是 解析 1 3x 2 3x 1 2 3x 1 2或3x 1 2 解得x 或x 1 原不等式的解集为 x x 或x 1 答案 x x 或x 1 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现数形结合思想 理解绝对值的几何意义 给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键 2 以绝对值的零点为分界点 将数轴分为几个区间 利用 零点分段法 求解 体现分类讨论的思想 确定各个绝对值符号内多项式的正 负性 进而去掉绝对值符号是解题关键 3 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现函数与方程的思想 正确求出函数的零点并画出函数图象 有时需要考查函数的增减性 是解题关键 简单的绝对值不等式的解法 技法点拨 绝对值不等式的常见类型及其解法 1 形如 f x a a R 型不等式此类不等式的简单解法是等价转化法 即 当a 0时 f x a f x a或f x a 当a 0时 f x a f x 0 当aa f x 有意义 2 形如 f x g x 型不等式此类问题的简单解法是利用平方法 即 f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 3 形如 f x g x 型不等式此类不等式的简单解法是等价转化法 即 f x g x f x g x 或f x g x 其中g x 可正也可负 若此类问题用分类讨论法来解决 就显得较复杂 4 形如aa 0 型不等式此类问题的简单解法是利用等价转化法 即af x 型不等式此类问题的简单解法是利用绝对值的定义 即 f x f x f x 0 典例训练 1 不等式 2x 3 2的解集是 2 不等式 x2 3x 8 10的解集是 解析 1 由 2x 3 2得2x 3 2或2x 3 2 解得x 或x 故原不等式的解集是 x x 或x 答案 x x 或x 2 原不等式等价于 10 x2 3x 8 10 即 原不等式的解集是 6 2 1 3 答案 6 2 1 3 互动探究 若把题1中不等式的左边改为呢 解析 原不等式等价于答案 想一想 不等式 3x 1 2的几何意义是什么 提示 3x 1 2可化为 x 它的几何意义是数轴上到坐标为的点的距离不大于的点的集合 变式训练 解不等式2 x 2 4 解析 原不等式等价于 2 x 0或4 x 6 原不等式的解集为 x 2 x 0或4 x 6 含多个绝对值不等式的解法 技法点拨 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式有三种解法分区间 分类 讨论法 图象法和几何法 分区间讨论的方法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图象法直观 但只适用于数据较简单的情况 2 分区间 分类 讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解 即也即x R x为非负数时 x 为x x为负数时 x 为 x 即x的相反数 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的图象解法和画出函数f x x a x b c的图象是密切相关的 其图象是折线 正确地画出其图象的关键是写出f x 的分段表达式 不妨设a b 于是f x 2x a b c x a b a c a x b 2x a b c x b 这种图象法的关键是合理构造函数 正确画出函数的图象 求出函数的零点 体现了函数与方程结合 数形结合的思想 2 分区间讨论的一般步骤 1 令每个绝对值符号里的一次式为零 求出相应的根 2 把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间 3 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式 解这些不等式 求出它们的解集 4 这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集 典例训练 1 解不等式 x 1 x 1 3 2 解不等式 x x 3 5 解析 1 方法一 如图 设数轴上与 1 1对应的点分别为A B 那么A B两点间的距离为2 因此区间 1 1 上的数都不是不等式的解 设在A点左侧有一点A1到A B两点的距离和为3 A1对应数轴上的x 所以 1 x 1 x 3 得x 同理设B点右侧有一点B1到A B两点的距离和为3 B1对应数轴上的x 所以x 1 x 1 3 所以x 从数轴上可看到 点A1 B1之间的点到A B的距离之和都小于3 点A1的左边或点B1的右边的任何点到A B的距离之和都大于3 所以原不等式的解集是 方法二 当x 1时 原不等式可以化为 x 1 x 1 3 解得x 当 1 x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 即2 3 不成立 无解 当x 1时 原不等式可以化为x 1 x 1 3 所以x 综上 可知原不等式的解集为 x x 或x 方法三 将原不等式转化为 x 1 x 1 3 0 构造函数y x 1 x 1 3 即 2x 3 x 1 y 1 1 x 1 2x 3 x 1 作出函数的图象 如图 函数的零点是 从图象可知当x 或x 时 y 0 即 x 1 x 1 3 0 所以原不等式的解集为 2 方法一 x 与 x 3 可以看作是数轴上的点x到0和3两点的距离 因此 不等式的几何意义是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围 结合数轴易得出 1 x 4 所以原不等式的解集为 1 4 方法二 原不等式 x x 3 5可等价转化为或或解不等式组得 1 x 4 所以原不等式的解集为 x 1 x 4 思考 求解此类不等式的关键是什么 提示 关键是理解绝对值的几何意义 变式训练 解不等式 3x 5 x 2 4 解析 当x 2时 不等式可化为5 3x x 2 4 解得x 与x 2矛盾 当 2 x 时 不等式可化为5 3x x 2 4 解得x 故 x 为不等式的解集 当 x时 不等式可化为3x 5 x 2 4 解得x 故 x 也为不等式的解集 综上 原不等式的解集为 x x 其他类型的绝对值不等式 技法点拨 f x g x f x g x 型绝对值不等式的解法形如 f x g x 类型的不等式可以借助形如 ax b c的解法转化为f x g x 或f x g x 当然 f x g x g x f x g x 而如果f x 的正负能确定的话 也可以直接去掉绝对值再解不等式 典例训练 1 不等式 2x 3 3x 1的解集是 2 解关于x的不等式 logaax2 logax 2 解析 1 解题流程 答案 审题 转化 2x 3 3x 1 由题意知3x 1 0 原不等式转化为 3x 1 2x 3 3x 1 求解 结论 以上不等式等价于 2 原不等式可化为 1 2logax logax 2 两边平方得4 logax 2 4logax 1 logax 2 4 logax 4 由定义去掉绝对值符号可得 1 0 logax 1 2 3 logax 0 综上 1 2 可知 3 logax 1 故当a 1时 原不等式的解集为 x a 3 x a 当0 a 1时 原不等式的解集为 x a x a 3 思考 解答题2的易错点是什么 提示 易错点是忽略分类讨论而导致错解 变式训练 解不等式 x x2 2 x2 3x 4 解析 x x2 2 x2 x 2 而x2 x 2 x 2 0 x x2 2 x2 x 2 x2 x 2 故原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 x 3 故原不等式的解集为 x x 3 含参数的绝对值不等式的解法 技法点拨 含参数的不等式问题分类及解题策略 1 一类要对参数进行讨论 另一类对参数并没有进行讨论 而是去绝对值时对变量进行讨论 得到两个不等式组 最后把两不等式组的解集合并 即得该不等式的解集 2 解绝对值不等式的基本思想是想方设法 去掉绝对值符号 去绝对值符号的常用手段有以下几种 形如 f x g x 或 f x g x 的求解方法 根据实数的绝对值的意义分类讨论 即 a a a 0 a a 0 根据公式 x 0 f x a x a或xg x f x g x 或f x g x 根据 a 2 a2 a R 若不等式两边非负 可在不等式两边同时平方 如 f x g x f2 x g2 x 若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项 一般用数形结合法 包括几何法 图象法 和区间讨论法 数形结合法是根据绝对值的意义在数轴上找对应满足题意的数 直接写出解集 或构造函数 画出图象 由图象直接写出未知数的取值范围 得出解集 区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值 将这些值依次标在数轴上 这样数轴被分成若干个区间 这若干个区间内的不等式的解集的并集即为原不等式的解集 分段讨论时 注意不要遗漏分段的端点 典例训练 1 设函数f x x 1 x a 如果对任意x R f x 2 则a的取值范围是 2 2011 新课标全国高考 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解析 1 若a 1 则f x 2 x 1 不满足题设条件 若a1 则f x 2x a 1 x 1a 1 1 x a2x a 1 x a f x 的最小值为a 1 综上可知 所求a的取值范围是 1 3 答案 1 3 2 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 由此可得x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 2 由f x 0得 x a 3x 0 将此不等式化为不等式组或即或因为a 0 所以不等式组的解集为 x x 由题设可得 1 故a 2 易错误区 绝对值不等式变形不等价致误 典例 不等式 x 2 2x 1 1的解集是 解题指导 无解 的解集为0 x 的解集为 x 2 综上 取并集 得原不等式的解集为 0 2 答案 0 2 解析 原不等式等价于 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 此处的 见解析过程 即时训练 函数f x 2x 1 x 4 的最小值是 解析 令y 2x 1 x 4 则 x 5 x y 3x 3 x 4 x 5 x 4 在一个坐标系中分别画出以上分段函数 由图象可知 当x 时 y 2x 1 x 4 取得最小值 答案 1 若集合M x x 2 N x x2 3x 0 则M N A 3 B 0 C 0 2 D 0 3 解析 选B M x 2 x 2 N 0 3 M N 0 2 不等式 2x log2x 1 D x 2 解析 选C 由 a b a b 其中等号成立的条件为 ab 0 原不等式成立 即2x log2x 0