考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)

点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 一份好的考研复习资料 会让你的复习力上加力 中公考研辅 导老师为考生准备了 高等数学 定积分 应用 知识点讲解和习题 同时中公考研网首发 2017 考研信息 2017 考研时间及各科目复 习备考指导 复习经验 为 2017 考研学子提供一站式考研辅导服务 模块七 定积分 应用 经典习题 一 平面图形的计算 1 1 曲线与 轴所围成图形的面积可表示为 sin03 x yexx x 3 0 sin x Aexdx 3 0 sin x Bexdx 23 02 sinsinsin xxx Cexdxexdxexdx 23 02 sinsin xx Dexdxexdx 2 2 设 为常数b 1 求曲线的斜渐近线 记为 的方程 3 21 2 xbx L y x x l 2 设与 从延伸到之间的图线的面积为有限值 求Ll1x x A b A 3 3 曲线与直线所围成的平面图形的面积为 2 yx 2yx 4 4 假设曲线 轴和轴所围区域被曲线 分为面 1 L 2 101yxx xy 2 L 2 yax 积相等的两部分 其中是大于零的常数 试确定的值 aa 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 5 5 求曲线的一条切线 使该曲线与切线 及直线所围成的平面图形面yx ll0 2xx 积最小 6 6 计算抛物线与直线所围成的图形面积 2 2yx 4yx 7 7 求椭圆所围成图形的面积 22 22 1 xy ab 8 8 求下列各曲线围成的图形的面积 1 2 cosa 2 22 cosa 二 简单几何体的体积 9 曲线及直线围成的图形绕轴旋转而成的立体的体积是 2 11yx 0y y 2 1 0 11Aydy 2 1 0 11Bydy 2 1 0 1111Cyydy 22 1 0 1111Dyydy 1010 设曲线方程为 0 x yex 1 把曲线轴 y 轴和直线所围平面图形绕 x 轴旋转一周 得一 x yex 0 x 旋转体 求此旋转体体积求满足的 V 1 lim 2 V aV a 2 在此曲线上找一点 使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大 并求出该 面积 1111 设抛物线过原点 当时又已知该抛物线与 x 轴及直线 2 yaxbxc 01x 0 y 所围图形的面积为试确定使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 V1x 1 3 a b c 最小 1212 过坐标原点作曲线的切线 该切线与曲线以及 轴围成的向 轴负向无限 x ye x ye xx 延伸的平面图形记为D 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 1 求的面积D 2 求饶直线所成旋转体体积D1x V 1313 设曲线 与曲线交于点 过坐标原点和点的 2 yax 0 0 xa 2 1yx AOA 直线与曲线围成一平面图形 2 yax D 1 求饶轴旋转一周所成的旋转体体积Dx V a 2 求的值使为最大a V a 1414 在曲线上某点 A 处作切线 使之与曲线及 x 轴所围图形的面积为试 2 0 yxx 1 12 求 1 切点 A 的坐标 2 过切点 A 的切线方程 3 由上述所围平面图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 1515 过原点作曲线的切线 该切线与曲线以及围成平面图形lnyx lnyx xD 1 求的面积D 2 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积Dxe V 1616 求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积 2 3 1 yx x3y 1717 设曲线及直线所围成图形绕轴旋转的体积 2 4yax 00 0 xxx x 三 曲线弧长 数学一 数学二 1818 曲线 从到的弧长为 0 0 b raeab 0 0 2 0 1 b A saeb d 2 0 1 b B sabed 2 0 1 b C saed 2 0 1 bb D sabeabed 1919 计算曲线上相应于的一段弧长 lnyx 38x 2020 求对数螺旋线 相应于的一段弧长 a e 0 2121 求曲线 相应于的一段弧长 1 34 43 2222 求心形线的全长 1 cosa 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 2323 求抛物线 被圆所截下的有限部分弧长 2 1 2 yx 22 3xy 四 旋转曲面面积 数学一 数学二 2424 已知摆线的参数方程为 其中 常数 设摆线一拱 sin 1 cos xa tt yat 02t 0a 的弧长的数值等于该弧段饶轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值 求xa 2525 设有曲线 过原点作其切线 求由此曲线 切线及轴围成的平面图形绕 1yx xx 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积 2626 由曲线段绕轴的旋转面面积 1 02 2 yxx x 五 物理应用 数学一 数学二 2727 曲线 的质心为 sinxa tt 1 cos 02yatt 4 3 Aaa 2 3 Baa 5 4 Caa 7 4 Daa 2828 半径为的球沉入水中 球的上部与水面相切 球的密度与水相同 现将球从水中取r 出 需要多少功 2929 一圆柱形的贮水桶高为 底圆半径为 桶内盛满水 试问要把桶内的水全部吸5m3m 出来需要做多少的功 3030 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比 在击第 一次时 将铁钉击入木板 如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等 问铁锤第二次时 1cm 铁钉又击入多少 3131 等腰梯形的闸门 它的两条底边各长和 高为 较长的底边与水面相齐 10m6m20m 计算闸门的一侧所受的水压力 重力加速度按计算 2 9 8 ms 3232 一底为 高为的等腰三角形片 铅直的沉入到水中 顶在上 底在下且与水8cm6cm 面平行 而顶离水面 试求它的每面所受的压力 重力加速度按计算 3cm 2 9 8 ms 3333 求下列平面图形的形心坐标 1 平面区域 22 1 1 0 0Dx yxyxy 2 曲线 22 1 0 0 xyxy 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 3 平面区域 22 2 1 11 01Dx yxyxy 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 参考答案 一 平面图形的计算 1 1 C 2 2 解析 1 的斜渐近线为 3 21 2 xbx L y x x 3 2 21 limlim2 2 xx yxbx xxx 3332 2121 24 lim 2 lim 2 lim4 2 2 xxx xbxxbxxx yxx x xx x 所以斜渐近线方程为 24yx 2 3 111 151 21 8 1 22 24 2 2 2 A b xbxbx Sxdxdxdx x xx xxx 215 1 11 lim 215 ln 2 ln lim ln 2 215 ln3 22 tb tt bxxt tb 若 即如果 无论均有215 10b 8b 8 8bb 215 lim ln 2 b t t t 这与的面积为有限值矛盾 A 所以当时 0 此时8b 215 lim ln 2 lim ln 2 b tt t t t t ln3 2 A S 3 3 答案 9 2 解析 先解出两条曲线在平面的交点 即令 2 2xx 解得和 故所围成的平面图形如右图所示 1x 2x 所求面积为 2 2 1 2Sxxdx 2 23 1 119 2 232 xxx 4 4 解析 先求出曲线和的交点 然后利用定积分求出平面图形面积和 如图 1 L 2 L 1 S 2 S x y O21 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 由 得 2 2 101 0 yxx yaxa 1 1 1 x a a y a 所以 11 2 12 00 1 SSSydxxdx 1 3 0 12 33 xx 11 222 11 1 00 111 aa Sxaxdxa xdx 1 1 3 0 12 33 1 a a xx a 又因为 所以 即 解得 1 2SS 22 2 33 1a 12a 3a 5 5 解析 过曲线上已知点的切线方程为 其中当存在时 00 xy 00 yyk xx 0 y x 0 ky x 如图所示 设曲线上一点处的切线方程为 tt 1 2 ytxt t 化简即得 22 xt y t 面积 2 0 14 2 232 xt S tx dxt tt 其一阶导数 3 21 2 111 222 t S ttt t t 令解得唯一驻点 而且在此由负变正 即在单调递减 在 0S t 1t S S t 1 单调递增 在此过程中在时取极小值也是最小值 所以将代入先前所 1 S t1t 1t x y O2 t t 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 设的切线方程中 得所求切线方程为 1 22 x y 6 6 答案 18 7 7 答案 ab 8 8 1 答案 2 答案 2 a 2 18 a 二 简单几何体的体积 9 9 D 1010 解析 1 222 00 1 2 x Vy dxedxe 2 lim 1 22 a VV ae 要即得 1 lim 2 V aV 2 1 24 a e 1 ln2 2 a 2 设切点为则切线方程为 e yeex 令得令得切线与坐标轴所夹面积0 x 1 ye 0y 1 x 22 111 1 1 1 1 1 222 SeSeee 令得0S 122 1 1 其中舍去 由于当时 当时 故当时 面积 S 有极大值 即最大值 1 0 S 1 0 S 1 所求切点为最大面积 1 1 e 211 1 22 2 See 1111 解析 曲线过原点 0 c 由题设有即及 1 2 0 1 323 ab axbx dx 2 1 3 ba 222 1 222 0 111 4 1 1 523533 9 aba Vaxbxdxabaaa 令得代入 b 的表达式得 2128 1 0 53327 a Vaaa 5 4 a 3 2 b 又因及实际情况 知当 54 0 4135 a V 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 53 0 42 abc 1212 解析 设切点为 于是曲线在点的切线斜率为 00 P xy x ye P 0 0 x ye 故切线方程为 0 00 x yyexx 此切线经过点 所以 再由 0 0 0 00 x yx e 0 000 1 x yexye 即切线方程为 x ye 1 易得 2 0 0 0 ln ln limln 222 e e D y yyee Sy dyyyyyy ee 2 饶直线旋转一周所成的旋转体积D1x 2 2 1 2 0 2 ln2ln e yy Vyydy ee 23 2 0 2 5 ln4 ln4 33 e yy yyyyye ee 1313 解析 的交点 直线的方程为 2 2 1 yax yx 1 11 a A aa OA 1 a yx a 1 旋转体体积 122 224 1 5 0 2 2 115 1 a aa V axa x dx a a 2 53 2 22 2 75 2 5 2 1 1 2 4 2 15 1 15 1 aaaa dV aaa daa a 在时得的唯一驻点0a V a4a 当时 当时 故为的唯一极大值点 为最04a 0V a 4a 0V a 4a V a 大值点 1414 解析 设切点 A 的坐标为则过 A 点的切线的斜率为 2 a a 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 2 x a ya 切线方程为 即 2 2 yaa xa 2 2 yaxa 切线与 x 轴的交点为曲线 x 轴及切线所围图形面积为 0 2 a 3333 2 0 43412 a aaaa Sx dx 由题设因此 1 12 S 1 a 于是 切点 A 的坐标为过切点的切线方程为旋转体的体积为 1 1 1 1 21 yx 11 222 1 0 2 21 30 Vxdxxdx 1515 解析 1 设切点的横坐标为 则曲线 y lnx 在点处的切线方程 0 x ln 00 xx 是 1 ln 0 0 0 xx x xy 由该切线过原点知 从而 所以该切线的方程为01ln 0 x 0 ex 1 x e y 平面图形 D 的面积 1 0 1 2 1 edyeyeA y 2 切线与 x 轴及直线 x e 所围成的三角形绕直线 x e 旋转所得的圆锥体x e y 1 积为 3 1 2 1 eV 曲线 y lnx 与 x 轴及直线 x e 所围成的图形绕直线 x e 旋转所得的旋转体体积 为 dyeeV y2 1 0 2 因此所求旋转体的体积为 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 3125 6 3 1 2 1 0 22 21 eedyeeeVVV y 1616 解析 如右图所示 曲线左右对称 与轴的交点是 x 2 0 2 0 只计算右半部分即可 作垂直分割 相应于的小竖条的体积微元 x xdx 22222 3 3 3 1 dVydxxdx 24 82 02xx dxx 于是 2 24 0 448 2 82 15 Vxxdx 1717 2 0 2 ax 三 曲线弧长 数学一 数学二 1818 A 1919 答案 13 1ln 22 2020 答案 2 1 1 a a e a 2121 答案 35 ln 212 2222 答案 8a 2323 答案 6ln23 四 旋转曲面面积 数学一 数学二 2424 解析 摆线一拱弧长 22 2222 00 1 cos sin sxtyt dtattdt 2 0 2sin8 2 t adta 摆线一拱饶轴旋转一周所生产的旋转曲面面积为x x y O 2 x xdx 2 3y 2 31yx 点这里 看更多数学资 料 中公考研 让考研变得简单 查看更多考研数学辅导资 料 1 2 x 2 1 O y 1 22 22222 00 2 2 1 cos 1 cos si