三垂线定理以及应用ppt课件.ppt

三垂线定理 天马行空官方博客 复习 平面的斜线 垂线 射影 PA是平面 的斜线 A为斜足 PO是平面 的垂线 O为垂足 AO是PA在平面 内的射影 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 a PA 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 为什么呢 三垂线定理 PO AO O 三垂线定理包含几种垂直关系 线射垂直 线面垂直 线斜垂直 直线和平面垂直 平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直 平面内的直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理 1 三垂线定理描述的是斜线 PA 射影 AO 直线 a 之间的垂直关系 2 三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理 其中直线a与PA可以相交 也可以异面 对三垂线定理的说明 3 三垂线定理中垂线 斜线 射影 直线都是相对于一个平面而言 即四线一面 所以把该平面称为基准平面 但基准平面不一定是水平的 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理 这两条直线可以是 相交直线 异面直线 三垂线定理 c 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线B1B 直线b 面ABCD 面 直线A1C 斜线a直线AB 直线b面BB1C1C 面 练习 判断下列命题的真假 若a是平面 的斜线 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 2 若a是平面 的斜线 直线b 且b垂直于a在另一平面 内的射影则a b 3 若a是平面 的斜线 b 直线b垂直于a在平面 内的射影 则a b 三垂线定理 已知 PO PA分别是平面 的垂线和斜线 AO是PA在平面 内的射影 b平行于平面 b OA 求证 b垂直于PA 若a是平面 的斜线 b 直线b垂直于a在平面 内的射影 a b 三垂线定理 b c P 例1 已知 PA 平面PBC PB PC M是BC的中点 求证 BC AM BC AM 证明 PB PCM是BC的中点 PM BC PA 平面PBC PM是AM在平面PBC上的射影 三垂线定理 例2 已知 如图 AB是圆的直径 PA垂直圆所在的平面 C是圆上任一点 求证 BC PC 证明 AB是圆的直径 C是圆上任一点 BC AC PA 圆所在的平面 AC是斜线PC在平面内的射影 BC PC 三垂线定理 关于三垂线定理的应用 关键是找出平面 基准面 以及垂线 射影就可以由垂足 斜足来确定 从三垂线定理的证明中得到证明a b的一个程序 一垂 二射 三证 即 第一 找平面 基准面 及平面垂线 第二 找射影线 这时a b便成平面上的一条直线与一条斜线 第三 证明射影线与直线a垂直 从而得出a与b垂直 解题回顾 三垂线定理 例4 在正方体AC1中 求证 A1C BC1 A1C B1D1 在正方体AC1中 A1B1 面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影 证明 同理可证 A1C B1D1 由三垂线定理知A1C BC1 三垂线定理 A1 B1 C1 D1 A D C B A1 B1 C1 B C 线射垂直 线斜垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直 平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 已知 PO PA分别是平面 的垂线和斜线 AO是PA在平面 内的射影 a a PA 求证 a AO 三垂线定理的逆定理 三垂线定理 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线垂直 那么 它也和这条斜线的射影垂直 三垂线定理在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么 它就和这条斜线垂直 定理 逆定理 三垂线定理 例4 在四面体ABCD中 AO 平面BCD O为 BCD的垂心 求证 AB CD AC BD AD BC o 证明 连结BO CO DO AO 平面BCD BO为AB在面BCD内的射影 又 O为 BCD的垂心 BO CD AB CD 同理可证AC BD AD BC 思考 AO 平面BCD AB CD AC BD AD BC O为 BCD的垂心 三垂线定理 例5 在四面体ABCD中 已知AB CD AC BD求证 AD BC DO BC 于是AD BC 证明 作AO 平面BCD于点O 连接BO CO DO 则BO CO DO分别为AB AC AD在平面BCD上的射影 O AB CD BO CD 同理CO BD 于是O是 BCD的垂心 三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 小结 3 操作程序分三个步骤 一垂二射三证 1 定理中四条线均针对同一平面而言 2 应用定理关键是找 基准面 和垂线 三垂线定理 思考题 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 连结BD1 AC CB1 B1A 求证 BD1 平面AB1C ABCD是正方形 AC BD又DD1 平面ABCD BD