《定积分及其应用》PPT课件.ppt

第三节定积分的应用 一 直角坐标系中图形的面积 求由曲线y f x f x 0 直线x a x b a b 及x轴所围成的平面图形的面积A a o x y b y f x a o x y b y f x a o x y b y f x a o x y b y f x a o x y b y f x 求由曲线y f x y g x f x g x 及直线x a x b a b 围成的平面图形的面积A a o x y b y f x y g x a o x y b y f x y g x a o x y b y f x y g x c a o x y b y f x y g x c x y c o x y d c o x y d x y c o x y d x y c o x y d x y x y 例1计算由抛物线 所围成的图形的面积 解 先作出所求面积的草图 例2求椭圆所围图形的面积 解 先作出所求面积的草图 例3计算由抛物线与直线所围成的图形的面积 y o x 8 4 2 y o x 8 4 2 2 解 若以x作为积分变量 y o x 8 4 2 2 x y x y d c 解 若以y作为积分变量 利用定积分求平面图形面积的步骤 1 先绘出欲求面积的图形 草图 并在图上标明各交点坐标 2 决定分几块积分 选择对x积分还是对y积分 注意尽量避免边界方程出现分段函数 3 确定每个积分的被积函数及上 下限 并求出定积分结果 旋转体是由一个平面图形绕此平面内一条直线 称为旋转轴 旋转一周而形成的立体 二 旋转体的体积 求由曲线y f x 假设曲线f x 与x轴不相交 与直线x a x b a b 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 a b y f x 求由曲线x y 假设曲线 y 与y轴不相交 与直线y c y d c d 及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积 y o x x y c d 例4计算由椭圆围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体 称为旋转椭球体 的体积 解 例5计算由椭圆围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体 称为旋转椭球体 的体积 解 例6求由和所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积 解 三 微元法简介 1 A是一个与某个变量x及其变化区间 a b 相联系的量 2 A对于 a b 具有可加性 即把区间 a b 分成许多小区间 则相应把所求量A分成许多部分量 而A等于所有部分量之和 则A可考虑用定积分来表达 具体的步骤如下 若我们所要求的量A符合条件 1 根据问题的具体情况 选取适当的积分变量 例如x 并确定它的变化区间 a b 2 在 a b 的任一子区间 x x dx 上 找出相应增量 A的近似值 微分表达式 称dA为量A的元素或微元 3 对元素关系式在 a b 上作定积分 即得所求量A的积分表达式 上述这种通过微元解决问题的方法称为微元法 1 x O y y f x x2 x 1 x O y y f x x2 x dx a o x y b y f x x x dx dA a o x y b y f x y g x x x dx dA c o x y d x y x y y y dy dA a b y f x y o x x y c d 定积分定义 1 分成小区间 xi 1 xi 微元法 1 取一小段 x x dx 3 在 a b 上 相加 得 四 变力所做的功 设物体在变力F F s 的作用下沿直线由s a移动到s b 且力的方向与位移方向一致 求物体由s a移动到s b时变力所作的功 k为比例系数 四 连续函数的平均值 设曲线y f x 在区间 a b 上连续 则其平均值为 例 药物效力的测量 药物被病人服用后 首先由血液系统吸收 然后才能发挥它的作用 然而 并非所有的剂量都可以被吸收产生效用 为了测量血液系统中有效药量的总量 就必须监测药物在人体尿中的排泄速率 目前在临床上已有标准测定法 如果排泄速率为r t t为时间 则在时间间隔 0 T 内 药物通过人体后排出的总量为 又标准排出速率函数为r t te Kt K 0 求总量D 例8在某一实验中 先让