三角恒等变换的常用技巧

精品文档 1欢迎下载 三角恒等变换的常用方法三角恒等变换的常用方法 肖新勇 解答三角函数问题 几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化 将隐性问题明朗化 三角恒等变换的公式很多 主要有 同角三角函数的基本关系 诱导公式 和 差 倍 半角公式 等 这些公式间一般都存在三种差异 如角的差异 函数名的差异和运算种类的 差异 只有灵活有序地整合使用这些公式 消除差异 化异为同 才能得心应手地解决问 题 这是三角问题的特点 也是三角问题 难得高分 的根本所在 本文从六个方面解读三 角恒等变换的常用技巧 一 一 角变换角变换 角变换的基本思想是 观察发现问题中出现的角之间的数量关系 把 未知角 分解成 已知角 的 和 差 倍 半角 然后运用相应的公式求解 例 1 已知 求的值 5 3 4 cos x 4 7 4 3 x x xx tan1 sin22sin 2 分析 考虑到 已知角 是 而 未知角 是和 注意到 4 xxx2 44 xx 可直接运用相关公式求出和 xsinxcos 解析 因为 所以 4 7 4 3 x 2 4 x 又因为 所以 0 5 3 4 cos x 2 42 3 x 5 4 4 sin x 10 27 4 sin 4 cos 4 cos 4 sin 44 sinsin xxxx 从而 原式 10 2 cos x7tan x 75 28 tan1 sin2cossin2 2 x xxx 点评 1 若先计算出 则在计算时 要注意符号的选取 10 2 cos xxsin 2 本题的另一种自然的思路是 从已知出发 用和角公式展开 结合 平方关系 通过解 二元二次方程组求出和 但很繁琐 易出现计算错误 xsinxcos 二 名变换二 名变换 名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换 需要进行名变换的问题常常有 明显的特征 如已知条件中弦 切交互呈现时 最常见的做法是 切弦互化 但实际上 诱导公式 倍角公式和万能置换公式 平方关系也能进行名变换 例 2 已知向量 求的定义 1 tan1 xa 0 2cos2sin1 xxb baxf 域和值域 分析 易知 这是一个 切弦共存 且 单 倍 2cos2sin1 tan1 xxxxf 精品文档 2欢迎下载 角共在 的式子 因此既要通过 切化弦 减少函数名称 又要用倍角公式来统一角 使函数 式更简明 解析 2cos2sin1 tan1 xxxxf 1cos2cossin21 cos sin 1 2 xxx x x xxxxsincossincos2 x2cos2 由得 0cos xZkkx 2 22cos2 x 所以 的定义域是 值域是 xxf2cos2 Zkkxx 2 2 2 点评 本题也可以利用万能置换公式先进行 弦化切 变形后再进行 切化弦 求解 三 常数变换三 常数变换 在三角恒等变形过程中 有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式 以利于完 善式子结构 运用相关公式求解 如 等 xx 22 cossin1 45tan1 3 tan3 例 3 1 求证 2 3 cossin1 cossin1 44 66 xx xx 2 化简 xx2cos32sin 分析 第 1 小题运用和把分子 分母 3 22 cossin1xx 2 22 cossin1xx 都变成齐次式后进行转化 第 2 小题实际上是把同一个角的正弦 余弦的代数和化为熟 悉的的形式 有利于系统研究函数的图象与性质 xAysin 解析 1 左边 xxxx xxxx 44222 66322 cossin cos sin cossin cos sin 2 3 cossin2 cos sincossin3 22 2222 xx xxxx 2 原式 xx2cos 3 tan2sin xx2cos 3 cos 3 sin 2sin 3 cos 3 sin2cos 3 cos2sin xx 3 2sin2 x 点评 1 的变换应用是很多的 如万能置换公式的推导 实际上是利用了 把整式化成分式后进行的 又如例 4 中 也是利用了 把分xx 22 cossin1 45tan1 精品文档 3欢迎下载 式变成了整式 四 四 边角互化边角互化 解三角形时 边角交互呈现 用正 余弦定理把复杂的边角关系或统一成边 运用代 数运算方法求解 或统一成角 运用三角变换求解 例 4 在中 分别为角的对边 且 2a sinA 2b c ABC abc ABC sinB 2c b sinC 2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 1 求角的大小 A 2 若 证明是等腰三角形 sinsin1BC ABC 分析 本题的条件集三角形的六元素于一身 看似复杂 但等式是关于三边长和三 个角的正弦的齐次式 所以可用正弦定理把 角 化为边或把边化为 角 来求解 解析 1 角化边 由正弦定理得 C c B b A a sinsinsin 整理得 cbcbcba 2 2 2 2 bccba 222 所以 因为 所以 2 1 2 cos 222 bc acb A A0 3 2 A 2 解法一解法一 边化角 由已知和正弦定理得 CBCBCBAsin sinsin2 sin sinsin2 sin2 2 即 从而 CBCBAsinsin2 sin sin2sin2 22 4 1 sinsin CB 又 所以 sinsin1BC 2 1 sinsin CB 所以 是等腰三角形 CB ABC 解法二解法二 由 1 知 代入得 3 CBBC 3 sinsin1BC 所以 1sin 2 1 cos 2 3 sin BBB1 3 sin B 23 B 所以 是等腰三角形 6 B 6 CABC 点评 第 1 小题 化角为边 后 把已知条件转化为边的二次齐次式 符合余弦定 理的结构 第 2 小题的解法一之所以 化边为角 是因为不易把条件 化为边的关系 而把条件转化为sinsin1BC 2 sin 2 sin 2 sinaAbcBcbC 边的关系却很容易 解法二的基本思路是消元后统一角 再利用 化一公式 简化方程 五 五 升降幂变换升降幂变换 当所给条件出现根式时 常用升幂公式去根号 当所给条件出现正 余弦的平方时 常用 降幂 技巧 常见的公式有 2 2 cos 2 sinsin1 xx x 2 cos2cos1 2x x 精品文档 4欢迎下载 可以看出 从左至右是 幂升角变半 而从右至左则是 幂降角变倍 2 sin2cos1 2x x 例 5 化简 6sin16sin1 分析 含有根号 需 升幂 去根号 解析 原式 3cos3sin23cos3sin 22 3cos3sin23cos3sin 22 3cos3sin3cos3sin 因为 所以 3 4 3 0 4 3sin23cos3sin 03cos3sin 所以 原式 3cos2 3cos3 sin 3cos2 sin 点评 升降幂技巧 仅仅是解题过程中的一个关键步骤 只有有效地整合各种技巧与 方法才能顺利地解题 如例 7 中用到了常数 变换技巧 六 公式变用六 公式变用 几乎所有公式都能变形用或逆向用 如 cos2 2sin sin sin2 2sin cos 等 实际上 常数变换 技巧与 升降幂 技巧等 tantan1tantantan 也是一种公式变用或逆用技巧 例 6 求值 1 80cos60cos40cos20cos 2 10tan70tan310tan70tan 分析 第 1 小题中 除是特殊角外 其他角成倍角 于是考虑使用倍角公式 60 第 2 小题中两角差为 而是两角差的正切值 所以与两角差的正切公式有关 603 解析 1 原式 16 1 20sin16 160sin 80sin2 160sin 60cos 40sin2 80sin 20sin2 40sin 2 原式 10tan70tan3 10tan70tan1 1070tan 3 点评 第 1 小题的一般性结论是 1 sin2 2sin 2cos2coscosNn n n n 最后还要指出 这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法 每 一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合