程稼夫电磁学第二版第三章习题.pdf

前言 特别感谢质心教育的题库与解析 以及 程稼夫力学 电磁学习题答案详解 的作者 前辈和血色 寂宁前辈的资料 非习题部分 P314 积分中运用了近似 这里给出非近似解答 3 1 磁矩 对轴 安培力矩 重力力矩 平衡条件 得 3 2 先计算圆环上的电流 如图取一小段圆弧 角度为 2d 分析这一段物体 安培力为 如图中 的方向 安培力沿径向朝外 设其两端张力大小均为 T 它们的合力为 沿径向向里 这一段圆弧的动力学方程 其中 解得 由于不转动时既没有安培力 也没有向心加速度 也就没有张力 故而转动时的张力也就是 因转动产生的附加张力 3 3 由于锥体顶角很小 粒子的速度沿磁场方向的分量都近似为其速率 设为 又 有 垂直于磁场方向粒子做圆周运动 得 当运动了时 电子一定会回到轴上 即若 则聚焦到了屏上 解得 3 4 考虑出射角度为 为粒子 其运动在垂直于磁场平面内的投影为一个过原点的圆 设半径为r 记垂直于磁场的速度分量为 动力学方程 解得 当时才是题目描述的那种离子 解得 1 若 则恒成立 比值为 2 若 则 对应的立体角为 比值为 前辈大神云 当年我没事练习积分的时候发现 找一个球面 沿垂直于一固定方向的平 面切两刀 则无论如何切 两刀间的面积总是仅与两刀间的距离呈正比 具体证明请在X 轴上对球面面积取微分 于是这样一块面积便可以用两刀间距占直径的比例乘以总面积来求 了 同样 这个发射粒子的范围也可以看作是两刀切出来的 只不过有一刀切在了边上 这 种东西称为球冠 3 5 由能量关系 解得初速度 1 此时粒子圆周运动 由弦切角定理 弧度为 2 又 得 2 沿 TM 方向不受力 速度分量恒为 垂直于磁场方向的平面上 粒子的投 影是匀速圆周运动 动力学方程 解得 欲经过 M 点 须在时 圆周运动回到了圆周运动的起点 即 解得 3 6 首先考虑将所有粒子收集到原点 然后再偏转到新的范围内 要使一束平行入射的带电粒子汇聚于一点 所加磁场应恰好使得边界处粒子完成四分之一圆 周运动抵达原点 由此设计 并考虑方向 可得答案 3 7 简单画图可以发现 每个圆弧能将粒子的速度偏转一定角度 一共需要偏转角度为 要求半经最小 则有粒子进磁场和出磁场点之间连成直径 粒子在场区内的运动是半径一定的匀速圆周运动 设为 题中对 a 的约束意在指明两圆相离 如前面分析的那样 总共要转过 又 a 与 R 的具体比值是不清楚的 所以一定是要 先拐 再拐 为了区域半径最小 进出点应为圆区域的对径点 第一个圆区域 由几何关系 第二个圆区域 由几何关系 解得 3 8 当摆角为 时 设摆的速度 v 由能量守恒 解得 设拉力为 T 动力学方程 解得 要求这个式子恒为正 极小值在取到为 但是未必能够达到那么大的速度 需要讨论 1 若 便能达到 这要求 且需要 解得 因为是的必要条件 所以必有 解得 2 若 便不能达到 这时只需考虑最低点 因为那里最接 近二次函数的极值点 解得 前面的条件要求 故 解得 即时 在最 低点恰好 T 0 而时不会出现情况 2 综上所述 若 为情况 1 也就有 所以 若 为情况 2 3 9 1 粒子 x 方向运动不受洛伦兹力 为匀变速直线运动 粒子在平面内做匀速圆周运动 2 出发后时 粒子第一次经过 x 轴 代入解得 3 为整数个周期 即粒子回到 x 轴 此时 即粒子回到原点 粒子运动中占据的空间为一圆柱 轴线长即 x 坐标最大值 半径即粒子匀速圆周运动的半径 体积为 3 10 因为 E 垂直于平面而质子轨迹在平面内 所以质子的动能守恒 因为洛伦兹力也垂直于平面 所以粒子匀速运动 且洛伦兹力与电场力平衡 解得 撤去电场后 质子运动在垂直于平面内的投影是匀速圆周运动 解得 而在沿 B 方向匀速运动 故螺距为 3 11 如图 速度方向 电场方向和磁场方向两两垂直 洛伦兹力与电场力平衡 得 取一小段时间 这期间冲到靶上的粒子的电量为 这些粒子的质量为 由动量定理 其中 F 是质子束受到的力 作用在靶上的力是它的反作用力 3 12 1 在垂直于磁场方向粒子做匀速圆周运动 动力学方程 解得 沿磁场方向粒子做匀加速直线运动 动力学方程 得 在平面内的投影是一个经过原点的圆 圆心在 z 轴上 故时 粒子第 n 次穿过 y 轴 有 2 此时 而在垂直于磁场方向速度分量为 得 3 13 1 2 动力学方程 取 记 有 可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度 由初始条件 解得 故有 积分得到 3 粒子速度为零 即 由此解得 相 邻的 所以 4 是匀速圆周运动的速度 平均下来是 0 故漂移速度就是 它的 x 投影 3 14 设粒子距离磁极 r 轨道半径为 R 回旋角速度为 粒子受力如图 其中 动力学方程可由力三角表示 以为直角边的三角形 斜边为 解得 故有 3 15 设圆运动半径为 R 由第一个方程得 结合第二个方程解得 3 16 法一 建立空间直角坐标系如图 电子的动力学方程为 取 记 有 可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度 由初始条件 知圆运动这部分的半径 且与 y 轴相切 由几何关系临界是当 时 解得 法二 动力学方程的 y 分量 由此 临界情况下电子到了正极板处速度沿 y 方向 又能量关系 解得 3 17 两小问顺序颠倒 1 当粒子静止在 O 点时 可看成沿 x 正方向和负方向两个相等速度的叠加 此速度应满 足 从而 x 轴正方向的速度产生的洛伦兹力恰与电场力抵消 故沿 x 轴匀速直线运动 当例子到达顶点时 匀速圆周运动和匀速直线运动的速度方向一致 2 根据运动的独立性 首先只考虑匀速圆周运动 由速度合成可得 3 18 撤去重力场 以等效的电场代之 动力学方程 取 记 有 可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度 由初始条件 知匀速圆周运动的线速度 得半径 由于 沿水平方向 所以圆运动在这里达到最高点 为了不碰地 应有 解得 3 19 第一阶段 竖直方向 得 由于一开始 vxvx 肯定是不够大的 故会贴地匀加速运动 水平方向 电场为小球加速 得 至 第一阶段结束 第一阶段的速度最大值为 第二阶段 动力学方程为 取 记 有 可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度 由初始条件 知线速度 速度最大时圆运动的速度与漂移速度同向 第二阶段的速度最大值为 综上 整个过程最大速度 3 20 方法一 记这一段导管长为 l 它受到安培力为 于是两壁压差为 方法二 记这一段导管长为 l 截面宽 w 电流强度微观上表示为 n 是载流 子数密度 总洛伦兹力 得到 3 21 在稳定的状态 上下极板之间会有电势差 从而构成回路 有稳定的电流形成 由于把 电离气体视为理想导体 所以只要其在 z 方向受到微小合外力即可产生沿着 z 方向任意大小 电流的电流 因此可以认为这些电离的气体受到的洛仑兹力和电场力平衡 从而求出极板之 间的电场和电势差 稳定时洛伦兹力与电场力平衡 得 相当于两板之间是一个电源 其电动势为 而内阻 来自于两个 板 上极板是正极 由欧姆定律 得 方向为 P Q 3 22 法一 竖直方向只有重力作用 是上抛运动 水平方向 得 有 所以 由二次函数性质 在时有最小值 得到 法二 合外力 与初速度方向夹角 小球相当于在 恒作用下斜抛 最小速率为相应的 水平 速度 3 23 设横向电场 E2 纵向电场 E1 由横向电场力与洛伦兹力平衡 于是有 3 24 1 由动力学方程 得到 又回旋加速器中粒子作圆周运动的周期即为电场的周期 解得 2 3 25 1 定性判断知电子顺时针回旋 朝上发射的电子轨迹是以 S 为左端的圆 这个方向最容易发出去 达到时这种电子 逸出了 解得 2 能够射出的电子 其轨迹圆心都在 S 的右半边 由于电子顺时针回旋 电子总是轨迹圆与 MN 从较为靠上的交点射出 对于圆心在右下时 射出点在相切时最靠下 由几何关系 对于圆心在右上时 射出点与 S 对径时最靠上 由几何关系 所以 3 轨迹圆心在 S 右边的电子初速度方向是向上和斜向上的所有方向 故占 3 26 数据不足无法得到答案 这里提供解法 1 初速度设为 由 解得 因为孔径角很小 近似为圆周运动 解得 2 粒子同时在轴线附近做圆周运动 这一圆运动的周期取决于 B1 解得 为了有四个聚焦点 应有 解得 3 27 做这题的前提是知道磁镜及磁矩守恒 利用在磁场缓变的状态下 粒子垂直于磁场方向的速度满足 为常数 因此有在边缘处和在中心处 垂直于磁场方向速度之比为 刚刚能飞出去的粒子在边缘处平 行于磁场方向速度为零 设能逃出的粒子在两端的垂直磁场速度分量为 而它出发时速度方向与轴向夹角为 由磁矩守恒 有 解得 由于洛仑兹力不做功 故 于是得到 比例为 注意有左右两边要乘 2 3 28 题设 A 的量纲明显不对 强行忽略就好了 动力学方程 取 记 有 可见是以为角速度的匀速圆周运动的速度 因为 z 方