电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读.ppt

2 2唯一性定理UniquenessTheorem 学习 唯一性定理 的重要性静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的 原则上讲 用库仑定律可以求任意电荷分布的电场 但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知 现在的问题是 如果需要求解一个区域内的电场 区域内的电荷分布已经给定 而区域边界上的电荷分布却是未知的 此时就不能利用库仑定律 例如半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中 但具有一定的边界条件 利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程 这叫做静电场的边值问题 边值问题的解法有许多种 如分离变量法 镜像法 格林函数法等等 问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的 正确的 只有唯一性定理才能对此做出明确的回答 这就是我们必须要学好唯一性定理的原因 对于许多实际问题 往往需要根据给定的条件作一定的分析 提出尝试解 如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件 它就是该问题的唯一正确的解 静电势的微分方程 边值关系 复习上一节课的内容 导体表面上的边值关系 唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件 泊松方程的解才会是唯一的 正确的 下面分两种情况进行讨论 1 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明在有限的边界区域V内有几种均匀的绝缘介质Vi i i 1 2 3 V中的自由电荷分布 或 为已知 那么 当V的边界面S上的电势给定 或电势的法向导数边界条件 则V内的电场有唯一确定的解 数学表述如下 在每个小区Vi 在整个区域V的边界面S上给定 按约定 边界面法线指向V外 或 下面是对唯一性定理的证明 为了说理清楚 将证明分解成几步 首先证明区域V中只有一种均匀介质的情况 然后再把它推广到多种介质分区分布的情形 a 区域V中只有一种均匀介质的情形 利用反证法证明 假设区域V中存在两个不同的解 和 它们都能满足同一个泊松方程和边界条件 下面我们将证明它们只能是同一个解 引入标量函数 令 在区域边界面S上 给定第一类边界条件 给定第二类边界条件 或 下面需要证明的是 满足以上方程和边界条件的 和 顶多只能差一个常数 利用矢量的微分运算公式 等式两端对V作体积分 式中 注意到为非负数 欲使上式成立 只有 即 C 或 C 以上说明 和 顶多差一个常数 而电势的附加常数对电场没有影响 这就证明了 和 在物理上是同一个解 于是 唯一性定理得证 b 区域V中有两种各自均匀的介质 1和 2的情形 令 1 1 1 分别对应V1区和V2区 下面将证明 每一个区域的解都是唯一的 对V1区 设有两个解 1 1 都满足V1区的场方程和边界条件 在V1区的外边界1上 或 给定第二类边界条件 约定 为V1区边界的法向单位矢量 指向V1外部 令 2 2 2 同理对V2区 设有两个解 2 2 都满足V2区的场方程和边界条件 在V2区的外边界2上 约定 为V2区边界的法向单位矢量 指向V2外部 而在V1和V2区的公共界面 即内边界 上 由电势的边值关系 两式左右分别相减 得 1 2 又两式左右相减 得 为内边界上的法向单位矢 按约定由介质1指向介质2 下面我们要证明 1 和 1 2 和 2 顶多都只能差一个常数 先看V1区 利用微分恒等式 等式两端对V1作体积分 式中 由高斯公式 其中S1为V1的边界面 它由外边界1和内边界两部分组成 即 外边界1内边界 由前所述 外边界1上的面积分为零 同理 对区域V2 重复以上过程 可得到 内边界 内边界 内边界 内边界 内边界 内边界 两式分别相加得 内边界 内边界 由电势的边值关系 在内边界上 欲使上式成立 只有 即 1 和 1 2 和 2 顶多差一个常数 这说明 在每一个均匀小区内的电场分布都是唯一的 c 以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况 此时 其中 用类似的方法可以证明 从而区域V中各处的电场分布一定是唯一的 这样 关于绝缘介质静电问题的唯一性定理得到了证明 以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形 如果区域内有导体存在 情况会有不同 因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的 因而无法预先得知 在这种情况下 必须对导体附加一些条件 区域内的电场分布才能唯一被确定 这正是我们下面要讨论的 2 有导体存在的情况 设区域V中有若干导体 其余部分都是一种均匀介质 将扣除导体后的区域称为V V 的边界应包括两部分 V的表面S 或V 的外边界 每个导体的表面Si 或V 的内边界 此时 要唯一地确定V 内的电场 除了前面提到的关于绝缘介质的边界条件外 还须对导体附加一定的条件 附加的条件有两种类型 一种是给定每个导体的电势 i 另一种是给定每个导体所带的总电量Qi 两种类型分别表述如下 a 区域V内有若干导体 设除导体外的区域V 内的自由电荷分布 已知 V 的外表面S上有已知的 值或值 此外 若每个导体表面的电势 i也已知 则区域V 内的电场有唯一解 这种类型的唯一性定理和前面关于绝缘介质的唯一性定理的证明过程完全相同 只不过这里只有一种介质 区别仅在于这里V 的边界面有两个 外表面S和内表面Si 只要导体表面的电势给定 则V 的所有内 外表面上都有一定的 值或值 应用关于绝缘介质的唯一性定理 则V 内的电场必有唯一解 b 区域V内有若干导体 假设除导体以外的区域V 内的自由电荷分布 已知 V 的外表面S上有已知的 值或值 此外 若每个导体所带的总电量Qi为已知 则区域V 内的电场有唯一解 数学表示为 满足以上定解问题的电场分布就是唯一解 为了证明类型 我们把导体上电量已知的条件用电势的法向导数来表示 即 上式中 约定每个导体表面的法向单位矢量指向导体外部 证明设区域V 中有两个解 和 同时满足以上方程和定解条件 令 或 说明 导体电势并未给定 和 可以不为零 令V 的边界面为S S 包括V 的外表面S和所有导体的表面Si 式中 同样利用矢量的微分运算公式 等式两端对V 作体积分 考虑上式左端 按约定 在S面上 为S面上指向介质外部的单位法向量 在Si面上 为Si面上指向介质外的单位法向量 注意在这里恰恰是指向导体内部 式中右端第一项 即 常数 和 顶多差一常数 说明V 中电场有唯一解 这样 有导体存在时静电问题的唯一性定理也得到证明 最后需要强调一点 尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体方法与步骤 但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义 首先 它明确了在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场 即给出了求解静电场的依据 其次 它使我们可以灵活地选用最简单 最合适的解题方法 甚至可以猜一个解 即提出尝试解 只要这个解确实满足了问题中的场方程和全部定解条件 那么 根据唯一性定理我们就可以肯定地说 它就是该问题中的唯一正确的解 例题1 P62 两同心导体球壳之间充以两种介质 左半部电容率为 1 右半部电容率为 2 设内球壳半径为a 带总电荷Q 外球壳接地 半径为b 求电场和球壳上的电荷分布 解 设两介质内的电势 电场强度和电位移分别为和 如果我们假设E仍保持球对称性 即 此时边值关系得到满足 由于左右两半是不同介质 因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解 在找尝试解时 我们先考虑两介质分界面上的边值关系 内导体球面S1上的积分 将电场值代入得 解出 则 此解满足唯一性定理的所有条件 因此是唯一正确的解 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的 但E却保持球对称性 则 则球面上的电荷面密度为 虽然E仍保持球对称性 但是D和导体面上的电荷面密度 不具有球对称性 总结本节课的内容 1 绝缘介质静电问题的唯一性定理 数学表述如下 在每个小区Vi 在整个区域V的边界面S上给定 按约定 边界面法线指向V外 或 2 有导体存在的唯一性定理 a