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第二讲参数方程 1 参数方程的概念 1 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即并且对于t的每一个允许值 由上述方程组所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数叫做参变数 简称参数 参数方程的参数可以是有物理 几何意义的变数 也可以是没有明显意义的变数 2 相对于参数方程来说 前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 叫做曲线的普通方程 2 参数方程和普通方程的互化 1 普通方程化为参数方程需要引入参数 如 直线L的普通方程是2x y 2 0 可以化为参数方程 在普通方程xy 1中 令x tan 可以化为参数方程 t为参数 为参数 2 参数方程通过消元 代入消元 加减消元 利用三角恒等式消元等 消去参数化为普通方程 如 参数方程 消去参数 可得圆的普通方程 x a 2 y b 2 r2 可得普通方程y 2x 4 通过代入消元法消去参数t x 0 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 例1 把下列参数方程化为普通方程 并说明它们各表示什么曲线 例 求参数方程 表示 A 双曲线的一支 这支过点 1 B 抛物线的一部分 这部分过 1 C 双曲线的一支 这支过点 1 D 抛物线的一部分 这部分过 1 B 分析 一般思路是 化参数方程为普通方程 求出范围 判断 解 x2 1 sin 2y 普通方程是x2 2y 为抛物线 又0 2 0 x 故应选 B 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论 平方法 是最好的方法 例3 例4 将下列参数方程化为普通方程 1 2 1 x 2 2 y2 9 2 y 1 2x2 1 x 1 3 x2 y 2 X 2或x 2 步骤 1 消参 2 求定义域 x y范围与y x2中x y的范围相同 代入y x2后满足该方程 从而D是曲线y x2的一种参数方程 2 曲线y x2的一种参数方程是 注意 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 否则 互化就是不等价的 在y x2中 x R y 0 分析 发生了变化 因而与y x2不等价 在A B C中 x y的范围都 而在 中 且以 D 小结 曲线的参数方程的意义 1
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