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1 第十章期权定价理论 2 本章学习指导 本章内容阐述了期权价格的构成和影响因素 期权价格的上下限 布莱克 斯科尔斯模型和二项式定价模型 与期权价格有关的敏感性指标 大纲要求通过本章学习掌握期权的内在价值与时间价值的关系 布莱克 斯科尔斯定价模型和二项式定价模型 理解期权价格的上限与下限公式以及期权价格的敏感性指标 3 第一节期权价格的构成 金融期权的价值分析权利金 内在价值 时间价值三者之间的关系期权价格的影响因素期权价格的上 下限看涨期权与看跌期权之间的平价关系 4 一 金融期权的价值分析 金融期权价格主要由两个部分构成 内在价值 时间价值 5 期权内在价值 期权的内在价值内在价值 又称内涵价值 是指在履行期权合约时可获得的总利润 当总利润小于零时 内在价值为零 内在价值反映了期权合约中预先约定的协定价格与相关基础资产市场价格之间的关系 其计算公式为 式中 IV 内涵价值 S 标的资产的市价 X 协定价格 6 按照有无内涵价值 期权可呈现三种状态 实值期权 ITM 平价期权 ATM 虚值期权 OTM 7 我们把S X的看涨期权称为实值期权 把S X的看涨期权称为虚值期权 把S X的看涨期权称为平价期权 同样 我们把X S的看跌期权称为实值期权 把X S的看跌期权称为虚值期权 把X S的看跌期权称为平价期权 实值期权的内在价值大于零 而虚值期权和平价期权的内在价值均为零 8 期权的时间价值 期权的时间价值是指期权买方随着期权时间的延续和相关商品价格的变动有可能使期权增值时 愿意为购买这一期权所付出的权利金额 期权的时间价值还取决于标的资产市价与协定价格之间的差额的绝对值 当差额为零 期权的时间价值最大 当差额的绝对值增大时 期权的时间价值是递减的 具体如下所示 9 期权的时间价值与S与X差额之间的关系 期权的时间价值 O S与X的差额 10 二 权利金 内在价值 时间价值三者之间的关系 期权合约的权利金是由期权价值所决定的 即由内涵价值和时间价值所决定 三者之间的关系可用下图来表示 从静态的角度看 期权价值 权利金 在任一时点都是由内涵价值和时间价值两部分组成的 从动态的角度看 期权的时间价值在衰减 伴随合约剩余有效期的减少而减少 期满时时间价值为零 权利金全部由内涵价值组成 11 看涨期权中权利金 内涵价值 时间价值三者变动关系示意图 12 期权价格的影响因素 标的资产的市场价格与期权的协议价格 期权的有效期 标的资产价格的波动率 无风险利率 标的资产的收益 三 期权价格的影响因素 13 看涨期权价格的上限在任何情况下 期权的价值都不会超过标的资产的价格 否则的话 套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润 因此 对于美式和欧式看跌期权来说 标的资产价格都是看涨期权价格的上限 其中 c代表欧式看涨期权价格 C代表美式看涨期权价格 S代表标的资产价格 四 期权价格的上 下限 14 看跌期权价格的上限由于美式看跌期权可以在到期日前的任意日期执行 因此其多头执行期权的最高价值为协议价格 X 那么 美式看跌期权价格 P 的上限就应该是协议价格 X 由于欧式看跌期权只能在到期日 T时刻 执行 在T时刻 当标的物市场价格为0的时候 期权多头方可以获得最大价值 执行价格 X 因此 欧式看跌期权价格 p 不能超过X的现值 其中 r代表T时刻到期的无风险利率 t代表现在时刻 15 期权价格的下限 欧式看涨期权价格的下限无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限 我们考虑如下三个投资工具 工具A 一份欧式看涨期权c工具B 金额为Xe r T t 的现金工具C 一单位标的资产ST 16 根据分析有如下公式 c Xe r T t Sc S Xe r T t 由于期权的价值一定为正 因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为 期权价格的下限 17 期权价格的上 下限 有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述工具B的现金改为 其中D为期权有效期内资产收益的现值 并经过类似的推导 就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限 18 期权价格的下限 欧式看跌期权价格的下限无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合 组合A 一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合B 金额为Xe r T t 的现金 19 期权价格的下限 假定组合B的现金以无风险利率投资 则在T时刻组合B的价值为X 由于组合A的价值在T时刻大于等于组合B 因此组合A的价值在t时刻也应大于等于组合B 即 由于期权价值一定为正 因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为 20 期权价格的下限 有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合B的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为 p max D Xe r T t S 0 21 期权价格的下限 美式看涨期权价格的下限无收益资产美式看涨期权价格的下限提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的 因此 同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的 即 C c我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限 由于r 0 所以C max S X 0 有收益资产的美式看涨期权下限由于存在提前执行更有利的可能性 有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权 其下限为 C c max S D Xe r T t 0 22 期权价格的下限 美式看跌期权价格的下限无收益资产美式看跌期权一般来说 只有当S相对于X来说较低 或者r较高时 提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 由于美式期权可提前执行 因此其下限比更严格 P X S有收益资产的美式看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权 因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小 但还不能排除提前执行的可能性 因此其下限为 P max D X S 0 23 五 看涨期权与看跌期权之间的平价关系 在期权市场 市场参与者 套利者 之间的相互作用和看涨期权 看跌期权之间的平价关系能够造就相对公平的价格 看涨期权 看跌期权之间的平价关系使期权之间 期权与标的物之间的价格达到均衡关系 因此 具有相同标的物 协定价格和到期日的看涨期权与看跌期权之间存在一定的价格关系 24 看涨期权与看跌期权之间的平价关系 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1 无收益资产的欧式期权考虑有两种投资组合方式 组合A 一份欧式看涨期权c加上金额为Xe r T t 的现金组合B 一份欧式看跌期权p加上标的股票ST通过分析我们可以发现 无论ST与X大小关系如何 组合A的价值和组合B的价值都相等 因此有下面的公式 c Xe r T t p S2 有收益资产欧式期权c D Xe r T t p S 25 看涨期权与看跌期权之间的平价关系 美式看涨期权和看跌期权之间的平价关系1 无收益资产美式期权由于美式期权可能提前执行 因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系 但我们可以得出结论 无收益美式期权必须符合下面的不等式 S X C P S Xe r T t 2 有收益资产美式期权同样 我们只要把现金改为D X 就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式 S D X C P S D Xe r T t 26 第二节布莱克 斯科尔斯模型 自从期权交易产生以来 尤其是股票期权交易产生以来 人们就一直致力于对期权定价问题的探讨 但在1973年之前 这种探讨始终没有得出令人满意的结果 其中一个最难解决的问题是无法适当地描述期权标的物的价格波动性及其对期权价格的影响 1973年 美国芝加哥大学教授费希尔 布莱克和迈伦 斯科尔斯发表了 期权定价与公司负债 一文 提出了有史以来的第一个期权定价模型 在学术界和实务界引起了强烈的反响 27 一 布莱克 斯科尔斯模型的假设条件 布莱克 斯科尔斯模型共有七个假设条件 期权的标的物为一有风险的资产 其现行价格为S 期权是欧式的 其协定价格为X 期权期限为T 以年表示 在期权到期日之前 标的资产无任何收益 如股息 利息等 的支付 于是 标的资产的价格的变动是连续的 且是均匀的 既无跳空上涨 也无跳空下跌 存在一个固定的无风险利率 投资者可以以此利率无限制的借入或贷出资金 不存在影响收益的任何外部因素 如税负 交易成本及保证金等 于是 标的物持有者的收益仅来源于价格的变动 标的物价格的波动为一已知常数 标的物价格的变动符合布朗运动 即 28 布莱克 斯科尔斯模型的假设条件 ds Sdt Sdz其中 ds为标物价格的无穷小的变化值 dt为时间的无穷小的变化值 为标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率 为标的资产价格的波动性 也就是标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率的标准差 dz为均值为0dt 方差为1dt的无穷小的随机变量 29 二 现货看涨期权的定价模型 在上述假设条件下 布莱克和斯科尔斯得出如下适用于现货看涨期权的定价模型 C SN d1 Xe rTN d2 其中 d1 ln s x r 2 2 T T0 5d2 d1 T0 5C 看涨期权的价格 S 标的资产的现行价格 X 期权的协定价格 r 瞬间的无风险利率 T 以年表示的期权期间的长短 即折算为年的目前至期权到期日的时间 ln 自然对数 e 自然对数之底的近似值 2 71828 标的物价格的波动性 N 累积正态分布函数 30 现货看涨期权的定价模型 从公式中 我们不难发现 除标的资产的收益之外 我们在第一节所分析的影响期权价格的各因素都已出现了 标的资产的收益之所以不出现 因为它已经被假设为不存在 在前面 我们得出了关于期权价格上下限的结论 在这里可以对公式做检验 欧式看涨期权的价格下限为C max S Xe r t T 0 若S无限大 则模型中的d1和d2趋近于正无穷 则N d1 和N d2 趋近于1 模型的公式近似于C S Xe rT 如果S特别小 则d1和d2趋近于负无穷 N d1 和N d2 趋近于0 所以满足关于下限为C max S Xe r t T 0 的约束条件 31 三 期货看涨期权的定价模型 为了说明期货看涨期权的定价 布莱克将现货看涨期权的定价公式进行了修正 得出了期货看涨期权的定价公式 C FN d1 XN d2 e rTd1 ln F X 2 2T T0 5d2 d1 T0 5其中 F为期货价格 其他的符号均与上述相同 根据这一模型 我们可以得出期货价格的波动性对期货看涨期权的价格的影响 在一极端情况下 期货价格在整个期权期间内毫无波动 即 0 则N d1 和N d2 均等于1 所以 C F X e rT 很显然 在标的期货的价格稳定不变的条件下 看涨期权的价格是无风险利率贴现的内在价值的现值 32 四 看跌期权的定价模型 以上所讲的布莱克 斯科尔斯模型只适用于看涨期权 而不能适用于看跌期权 然而通过看跌期权与看涨期权的平价关系 我们就可用看涨期权的价格推算出相同标的物 相同期权期间和相同协定价格的看跌期权的价格 所谓看跌期权与看涨期权的平价关系是指看跌期权的价格与看涨期权的价格必须维持在无套利机会的均衡价格水平的价格关系 如果这一关系被打破 则在这两种价格之间 就存在着无风险的套利机会 于是 套利者将通过套利行为 从而把那种不正常的价格关系拉回到正常水平 在第一节中 我们已经知道 通过等式转换可以得到 33 看跌期权的定价模型 得出适用于计算现货看跌期权价格的布莱克 斯科尔斯模型 p C S Xe rT SN d1 Xe rTN d2 S Xe rT S N d1 1 Xe rT 1 N d2 Xe rT N d2 SN d1 上述看涨期权与看跌期权的平价关系只适用于现货期权 34 看跌期权的定价模型 对期货期权来说 看涨期权与看跌期权的平价关系为 P C PV X F C X F e rT C Xe rT Fe rT其中 F为期货价格 只是以Fe rT代替了S 则我们可以得到适用于计算期货看跌期权价格的布莱克 斯科尔斯模型 P C Xe rT Fe rT FN d1 XN d2 e rT Xe rT Fe rT FN d1 e rT XN d2 e rT Xe rT Fe rT Xe rT 1 N d2 Fe rT N d1 1 Xe rTN d2 Fe rTN d1 35 第三节二项式模型 布莱克 斯科尔斯模型的提出 对期权定价问题的研究而言 是一个开创性的成就 但它在实务中的运用受到了很大的限制 有鉴于此 考克斯 罗斯和鲁宾斯坦于1979年发表了 期权定价 一种被简化的方法 一文 用一种较浅显的方法导出了期权定价模型 他们的这一模型被称为二项式模型 36 一 一期间模型 如果我们假设 购买一股当前交易价格为S的基础股票 离期权到期日只有一期 在期权到期日 基础股票价格既可能上涨到原来的u倍 也可能下跌到原来的d倍 这两种可能性 即概率 分别为P和 1 P 在设计这一种投资组合时 我们先建立以下简单假设 1 投资者可以在每期间以无风险利率r借入或借出货币 2 投资者可以买卖任意一小部分的基础股票 37 二 多期间二项式期权定价模型 前面介绍的单期二项式定价模型 假设期权到期时股票价格只有两个可能的值 因而是完全不符合实际的 当从购买期权到期权到期有几个月甚至一年时 这个假定会导致严重的错误定价 然而我们把这个期间分成较短的时间间隔 就可以给出对股票价格运动比较符合实际的描述 然而在这种情况下 由于每个投资组合的时间间隔相对于期权期来说较短 对冲投资组合必须考虑由于价格的变化 使期权剩余期限随之发生变化 从而定期进行调整 38 用同样的递推方法可以把二期的情况推广到多期的情况 从期权到期日开始倒推 可以写出经过n个期间到期的看涨期权的一般定价公式 二项模型的n期一般化是 每个最终结果的概率乘以这种情况下期权的价值之和按无风险利率的n期贴现 看涨期权的一般形式可以写成 Max Sujdn j X 0 其中 n是期权到期前的时间期间数 j是股票价格上升的期间数 j 0 1 2 n 每种回报的概率的一般形式由二项分布给出 n pj 1 p n j n n j 多期间二项式期权定价模型 39 各种回报乘以其概率再求和就得到 C n pj 1 p n jMax Sujdn j X 0 n n j 1 r n j 0 1 2 n 上式给出了完整的二项式定价公式 在结束本节之前 我们还有两点需要说明 利用二项式定价模型 我们同样可以计算出看跌期权的价值 且计算过程也与看涨期权基本相同 我们上述分析的二项式模型只适用于期货期权 不适用于现货期权 多期间二项式期权定价模型 40 第四节金融期权价格的敏感性指标 在金融期权交易中 尤其是在金融期权的套期保值交易中 我们不仅要知道各种因素对期权价格的影响方向 而且还必须知道各种因素对金融期权价格的影响程度 为解决这一问题 我们就要对期权价格的敏感性做出分析 所谓期权价格的敏感性 是指期权价格的决定因素的变动对期权价格的影响程度 或者说 期权价格的敏感性是指期权价格对其决定因素之变动的敏感程度或反映程度 41 一 Delta 1 定义Delta 通常以 表示 无疑是期权价格最为重要的敏感性指标 它表示期权的标的物价格的变动对期权价格的影响程度 2 数值变化范围看涨期权的Delta在0与1之间 而看跌期权的Delta在 1和0之间 Delta大于0 说明期权价格与标的物价格成同方向变化 Delta小于0 说明期权价格与标的物价格成反方向变化 Delta大于 1或小于1 说明期权价格的变动额必小于标的物价格的变动额 42 二 Gamma Gamma是一个与Delta密切联系的敏感性指标 甚至可以说 它是一个Delta的敏感性指标 它表示期权之标的物价格的变动对该期权之Delta的影响程度 由于Gamma反映着标的物价格的变动对Delta的影响程度 所以 Gamma的变动与Delta的变动是相呼应的 一般说 当期权处于极度实值或极度虚值时 Delta的绝对值将趋近于1或0 此时Gamma将趋近于0 43 三 Lambda Lambda 是反映标的物价格的波动性对期权价格影响程度的指标 无论是现货期权还是期货期权 其看涨期权的Lambda都等于看跌期权的Lambda 众所周知 标的物价格的波动性对时间价值 从而对整个期权价格具有重大的影响 在其他要素不变时 波动性越大 期权价格越高 波动性越小 期权价格越低 所以 就单一期权来说 则无论是看涨期权还是看跌期权 无论是现货期权还是期货期权 其Lambda总是正的 但是就某一投资组合而言 其整个投资组合的Lambda却可能是正的 也可能是负的 44 四 Theta Theta 是用来衡量权利期间对期权价格之影响程度的敏感性指标 Theta的大小不仅取决于期权的剩余期限的长短 而且还取决于标的物价格与协定价格的关系 在其他情况一定时 当期权处于平价时 其Theta的绝对值最大 之所以如此是因为时间价值在期权处于平价时最大 而当期权处于实值或虚值时 尤其是期权处于极度实值或极度虚值时 其Theta的变化比较复杂 45 五 Rho Rho 是用来反映利率对期权价格的影响程度的敏感性指标 在一般情况下 利率的变动对看涨期权的价格有正的影响 而对看跌期权的价格有负的影响 所以 看涨期权的Rho一般为正的 看跌期权的Rho一般为负的 Rho的大小既取决于标的物价格与协定价格的关系 也取决于权利期间的长短 一般地说 越是实值的期权 其Rho的绝对值越大 越是虚值期权 其Rho的绝对值越小 所以 若以绝对值表示 则极度实值的期权有着最大的Rho 而极度虚值的期权则有着最小的Rho 至于期权期间对Rho的影响也是同方向的 也就是说 权利期间越长 Rho的绝对值就越大 权利期间越短 Rho的绝对值就越小 在期权到期日 任何期权的Rho将为0 46 参考答案 一 选择题1 C2 B3 D4 A5 D6 C7 C8 D9 A10 A 47 1 期权的内在价值为什么不能为负值 答案 内在价值 又称为内涵价值 是指在履行期权合约时可获得的总利润 当总利润小于零时 内在价值为零 内在价值反映了期权合约中预先约定的协定价格与相关基础资产市场价格之间的关系 其计算公式为 式中 IV 内涵价值 S 标的资产的市价 X 协定价格 按照有无内涵价值 期权可呈现三种状态 实值期权 in the money 简称ITM 虚值期权 out of the money 简称OTM 平价期权 at the money 简称ATM 我们把S X的看涨期权称为实值期权 把S X的看涨期权称为虚值期权 把S X的看涨期权称为平价期权 同样 我们把X S时的看跌期权称为实值期权 把X S的看跌期权称为虚值期权 把X S的看跌期权称为平价期权 实值期权的内在价值大于零 而虚值期权和平价期权的内在价值均为零 48 2 市场价格与协定价格的关系怎样影响内在价值 答案 式中 IV 内涵价值 S 标的资产的市价 X 协定价格 49 3 布莱克 斯科尔斯模型的假设条件有哪些 答案 1 期权的标的物为一有风险的资产 其现行价格为S 这种资产可以被自由的买卖 2 期权是欧式的 其协定价格为X 期权期限为T 以年表示 由于美式期权可以在到期日之前的任意交易日执行 因此其价格一般要高于同类的欧式期权 较早地执行看涨期权会损失期权的时间价值 执行期权距离到期日越近 损失的时间价值越小 3 在期权到期日之前 标的资产无任何收益 如股息 利息等 的支付 于是 标的资产的价格的变动是连续的 且是均匀的 既无跳空上涨 也无跳空下跌 4 存在一个固定的无风险利率 投资者可以以此利率无限制的借入或贷出资金 5 不存在影响收益的任何外部因素 如税负 交易成本及保证金等 于是 标的物持有者的收益仅来源于价格的变动 6 标的物的价格的波动为一已知常数 7 标的物价格的变动符合布朗运动 即 ds Sdt Sdz其中 ds 标物价格的无穷小的变化值dt 时间的无穷小的变化值 标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率 标的资产价格的波动性 也就是标的资产在每一无穷小的期间内的平均收益率的标准差dz 均值为0dt 方差为1dt的无穷小的随机变量 50 4 根据布莱克 斯科尔斯模型 看跌期权是如何定价的 答案 p C S Xe rT SN d1 Xe rTN d2 S Xe rT S N d1 1 Xe rT 1 N d2 Xe rT N d2 SN d1 P C Xe rT Fe rT FN d1 XN d2 e rT Xe rT Fe rT FN d1 e rT XN d2 e rT Xe rT Fe rT Xe rT 1 N d2 Fe rT N d1 1 Xe rTN d2 Fe rTN d1 51 5 期权的Delta有哪些特征 它主要受哪些因素的影响 答案 Delta 通常以 表示 无疑是期权价格最为重要的敏感性指标 它表示期权的标的物价格的变动对期权价格的影响程度 换句话说 是衡量期权对相关工具的价格变动所面临风险程度的指标 因此非常重要 如期权之标的物的价格上升1美元 该期权费上升0 5美元 则称该期权的Delta为0 5 对于欧式期权来说 看涨期权和看跌期权的Delta的绝对值之和等于1 一般地说 平价看涨期权的Delta为0 5 平价看跌期权的Delta为 0 5 实值期权的Delta 其绝对值将大于0 5而小于1 虚值期权的Delta 其绝对值将小于0 5而大于0 在极端情况下 当期权处于极度实值时 其Delta的绝对值将趋近于1 当期权处于极度虚值时 其Delta的绝对值将趋近于0 换句话说 虚值程度很深的期权的delta值很小或为0 实值程度很深的期权的delta值很大或接近于 1和 1 这是因为当期权的虚值程度很深时 相关标的物的价格变动对期权费的影响很小或没有影响 这就是说 市场参与者受相关标的物市场影响不多或面临的风险不显著 当期权的实值程度很深时 相关标的物的价格的任何变动将导致期权费差不多同等幅度的变动 这将导致所面临的风险与持有相同额度的相关标的物一模一样 观察delta的另一种方式是将其视为期权行将结束时其实值状态的概率衡量尺度 Delta的值接近于 1或 1时 由于它的实值状态很深 最有可能被执行 Delta的值接近于0或等于0时 由于它的虚值状态很深 最有可能被放弃 52 6 简述无收益资产欧式看涨期权与看跌期权的平价关系答案 无收益资产的欧式期权 考虑有两种投资组合方式 组合A 一份欧式看涨期权c加上金额为Xe r T 8 的现金组合B 一份欧式看跌期权p加上标的股票ST通过分析我们可以发现 无论ST与X大小关系如何 组合A的价值和组合B的价值都相等 因此有下面的公式 它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来 反之亦然 53 三 计算题 1 已知S 100 r 10 X 100 T 1年 25 试求计算看涨期权的价值 答案 C 14 98美元 54