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2011年9月 第一章金融市场 1 1金融市场与数学股票 债券 期货 期权等 基本资产 例如股票 债券等金融衍生品 价格从其他基本资产的价格衍生出的资产 此时就把该交易品种的资产即为金融衍生产品 标的 由金融衍生产品所涉及的产品叫做标的资产 数学是能够把衍生产品的价格和标的的资产的价格联系起来的 并能够表达这些关系的最好的也是最严密的方法 本书的主要目的即为解释根据标的资产的价格计算衍生产品的过程 复制资产无套利条件 在未来的某一天 某人必须保证以一个价格买入一股股票 另外一方必须以这个价格卖给这个人一股股票 此为远期合约 合约条款 1 确定日期 到期日 买方必须支付规定数量的现金 执行价格 给合约的卖方2 合约的卖方必须在到期日转让股票 1 2 1股票的远期合约 买方如何赚钱 取决于到期日的股票的价格到期时的利润和损失ST表示股票在T时刻的价格 X表示要求的执行价格在T时刻买方的利润或亏损表示为ST X问题不单单如此合约也是有价值的 也可以在市场上交易 如果当天的股票价格远高于执行价格则此合约有一定的价值 但是也取决于时间的期限 复制投资 首先构造一个资产组合 包括一个远期合约 价值f美元 和一定数量的现金Xe r T t 则现在的资产净值为f Xe r T t 合约价值 现金量 一股股票卖空资产无套利机会 利息理论应用 第二章 7 第一套利机会 假设今天的价格和未来的价值不同合约价格 现金量股价投资者如何获利 可以现在大量的卖空此资产组合但在实际的金融市场当中不会发生此套利的情形 无套利定价公式今天远期合约的价值 现金 今天股票的价格 f Xe r T t ST 从而f ST Xe r T t 例题 假设我们有一公司的股票远期合约 现在起40天后到期 如果执行价格是65美元 今天股票的价格为64 75美元 今天合约的价格为多少 我们使用每年0 055的r值 时间长度为T t 40 365 0 1096 所以e r T t 0 994 ST 64 75 X 65 所以f 0 14美元 为什么说复制和无套利的观点成立 市场的交易机会会使得套利的机会消失 1 2 2看涨期权 包括两种欧氏和美式两种 某人可以购买一种机会 在未来以约定的价格购买一种股票 不附带义务的未来购买权利被称为看涨期权 1 期权的购买者向出售者支付费用2 到期日 合约的买方以执行价格向合约卖方支付3 如果合约卖方收到买方以交易价格支付 在到期日他必须支付一股股票给买方 到期时的利润或损失 看涨期权的现金流 max ST X 0 例题 欧氏看涨期权假设我们持有通用电气 GE 的看涨期权 从现在起20天后到期 假设执行的价格为88美元 如果今天的市场价格为84美元 现在的期权是无价值的 但是20天后的市场价格完全有可能变的更高 假设到期日的股票价格为95 5美元 那么我们的执行期权收益为95 5 88 7 5美元 该期权20天前的合理价格为4美元 净利润为3 5美元利润投资比例为3 5 4 0 875 但是如果20天后股票价格为87美元 则我们将损失全部 所以说购买看涨期权我们将面临巨大的风险 例题 提前执行假设我们持有IBM股票的美式看涨期权 该期权从现在起15天后到期 我们假设执行价格为105美元 如果IBM今天的市场价为107美元 我们可以等到期权到期 希望15天之内价格会位于107美元之上 但是下一个星期涨到每股112美元 可以立即行权 如果不计期权成本将每股获利7美元 如果一张看涨期权的价格为4 5美元 则净利润为2 5美元 2 5 4 0 555 但是股票的价格是波动的 所以风险也是显而易见的 从欧氏和美式的看涨期权可以看出欧氏比美式估计起来更为容易一些 看涨期权的价格 以后章节会介绍 1 2 3看跌期权 欧氏看跌期权 美式看跌期权 你可以购买一种机会 在未来以确定的价格出售一股股票 1 期权的购买者向出售者支付费用2 到期日 合约的买方也许给合约的卖方一股股票 或者等量的一股股票的市场价格3 如果合约的卖方从买方收到股票或其价格 在到期日他必须支付执行费用给买方 到期时的利润或损失看跌期权的现金流收入 max X ST 0 例题 保护性看跌期权某人在医药行业从事工作 持有大量他熟悉的医药类公司的股票 该公司的每股股价为50美元 并且他认为该公司的股票价格未来数月波动很大 他希望尽快开始出售该股票 以便于套现购买一些仪器 他可以购买大约未来3个月到期的看跌期权 执行价格为45美元 每一份看跌期权的价格为2 8美元如果未来股价较低看跌期权就会被执行 该策略保证了他筹集现金的能力 通过看跌期权使得他至少每股获得45美元的价格 实际上是他支付了每股2 8美元的保险费用 第二章二叉树 资产组合复制和套利 2 1衍生产品的定价的三种方法福特股票期权的交易报价 当前股票价格为28 5 8 例题 看涨期权我们有一股股票 现价为100美元 在一年以后 股价可以是90美元或120美元 概率并未给定 即期利率是5 1美元今天投资 一年后价值1 05美元 一年之后的到期执行价格为105美元的股票期权的价格是多少 三种方法解决此问题1 博弈论方法2 资产组合复制的方法3 概率方法或期望价值法必须进行一些假设 假设股票在到期日的价格只能是两种特定价格中的一个上升状态 下跌状态 此假设对于三种方法都适用 2 2博弈论方法设V 期权的价格 S 股票价格构造如下资产组合 买入a股期权和b股股票a b可以为负数II0 aV bS为t 0是资产组合的价值t 1资产组合的价值1 上升状态的时候S 120美元II1 120 105 a 120b2 下降状态的时候S 90美元II1 0a 90b 2 2 1约减随机项选择a b可以使得II1不取决于股价的涨跌结果 120 105 a 120b a 0 90b所以15a 30b 所以当a 2 b 1的投资选择 所以卖空两股期权买入一股股票 结果就是确定的 可以忽略现实股票的涨跌2 2 2期权定价II0 2V 1 100II1 15 2 1 120 90即期利率为5 所以1 05II0 1 05 100 2V II1 90 所以V 7 14美元 2 2 3套利1 假设交易商以7 25美元价格出售 或者购买 期权 如何获利 期权价格高估 买入一股股票 卖出2股期权该头寸的成本为 100 7 25 2 85 50美元以短期利率借债85 50一年买入1股股票 卖空2股期权同时负债85 50美元一年后我们对冲头寸 股票 期权组合的净值为90美元 此时我们欠债8 50 1 05 89 775美元则此时我们的无风险利润为90 89 775 0 225美元绝对数值可能不多 但是如果采用大量的交易数字 比如买入10万股股票而卖空20万股期权 则获利可观 2 假设交易商以7 00美元的价格提供期权 那么此期权价格是被低估了 采取逆向操作 买入2股期权而卖出1股股票则此时的现金头寸为100 2 7 86美元 此时以r利率进行投资 则到年末86美元升值为86 1 05 90 3美元 而以90美元的成本对冲期权 股票头寸 则我们的无风险利润为90 3 90 0 3美元另外虽然从理论上如此 但是市场会自动的调节从而使得无风险的套利机会丧失 2 2 4博弈论方法 一般公式假设股票在时间t只有两个价值 如果股票处于上涨的状态SU 那么衍生品的价格为U 如果股票处于下跌状态Sd那么衍生品的价格为D 我们可以通过买入1股衍生品和卖出a股股票构造资产组合 则此资产组合的初始价值为II0 V0 as0 同理也是可以选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关 上升时 IIt U aSu下降时 IIt D aSd如果令U aSu D aSd 所以a 比率在期权和衍生品定价中起到关键的作用 我们把a引入计算 资产组合的初始成本 资产组合的最终成本 因为该资产组合投资没有风险 并且无风险回报率为r 我们一定有从而解出该方程 得到衍生品的定价公式 2 3资产组合复制2 31背景我们设股票在时间t 0的价格为S0 该股票在时间有两个可能的价格市场上也存在时间的价格取决于S的表现 如果S上涨 V的价值U 如果S下跌 V的价值为D 今天V的公平价格为多少 2 3 2资产组合匹配引入另外一个无风险资产 假设无风险的利率为r 可以以这个利率在市场上进行短期借贷 假设债券的初值为1美元 那么在时间t债券的价格ert美元 又设资产组合II 包含了a单位的股票和b单位的债券 资产组合在时间t 0的价值II0就是II0 aS0 b让我们计算时间时II的价值 上升状态 下跌状态 我们令aSu bert U aSd bert D所以 我们资产组合的价值和衍生证券的价值一致 该资产组合复制了衍生证券V 所以我们得出结论V0 as0 b所以可以用两个线性方程表示 2 3 3期望价值的定价方法我们可以讨论q的值 如果q为负数 那么股票将是非常划算的 所以股票的未来的最差结果也是Sd 也超过了债券的投资 但是现实世界时不存在的 所以 q是正数 1 q的值为负数也是同样的道理 因为这种情形 股票的最佳回报率也还没有超过债券的收益 所以现实当中也没有这种行为 所以1 q大于0 所以 假设q满足概率条件是现实的 所以可以把此公式重新表述一下为 2 3 4如何记忆用来定价的概率 q 1 q 例题 股票现在的价值为50美元 一年后 他的价值可能是55美元或40美元 一年期利率为4 假设我们希望计算两种期权的价格 一种执行价格为48美元 另外一个执行价格为53美元 我们也希望一执行价格为45美元的看跌期权价格 解 第一步从股票二叉树计算q q 1 q 所以 1 04 50 55q 40 1 q 12 55q 40 1 q q 12 15 0 8第二步 1 如果看涨期权执行价格为48 那么U 7 D 0 q 7 1 q 0 5 38美元2 如果看涨期权价格为53美元 U 2 D 0所以 为1 54美元3 如果看跌期权执行价格为45美元 U 0 D 5所以看跌期权的价格为0 96美元 2 4概率方法已知股价为100美元 将来上涨的时候价格为120美元 下跌时候价格为90美元 假设观察一年的市场行为 股票上涨的概率为p 使得股票的合理回报率为15 左右 所以该回报比投资100美元于银行账户高的多 p 1 p 与该回报率相匹配的p值为p 0 90所以期望回报率为 E p 0 90 120 100 0 1 90 100 17美元90 的情况你赚20美元上涨到120美元10 的情况你会赔10美元下跌到90美元则此风险和收益是比较好的但是 每个投资者是不同的 假设一个投资者为H I 并且他有如下的特征 1 他为风险中性投资者2 对于他而言 上面介绍的股票和无风险投资之间是没有差异的 我们构造一个包含1股股票的投资组合II 那么II0 100美元 并且一年后E II1 120p 90 1 p 30p 90如果以无风险利率投资100美元 所以一年后的价值为105美元 风险中性的H I将这些投资同等看待 30p 90 105 所以p 0 5计算看涨期权的期望价值E C p 120 105 1 p 90 105 7 50美元对看涨期权的期望收益贴现7 5 1 05 7 14美元 2 5风险风险在投资领域中扮演着重要角色 风险可以购买 出售或者打包 一般的期权交易商喜欢控制风险或者将风险最小化 下面举例在二项式模型中如何达到目的例题 假设F公司的股票以60美元出售 它一年后的价格表现二项式模型为 交易商期望提供一个执行价为65美元 一年后到期的看涨期权 无风险利率为0 048所以 S0 60 U 15 r 0 048SU 80D 0 1所以a 1 2V0 6 16美元交易商的报价为6 35美元卖出看涨期权 6 00美元买入 6 35和6 00之间的差为交易商的差价假设一客户以每股6 35美元的价格购入10万股的看涨期权 则现在交易商手中一个风险非常大的头寸 所以可以购买股票对冲 利息理论应用 第二章 36 应该买入 10万股股票 1 2所以该交易商以300万美元的成本买入50万股股票该交易商以看涨期权收到6 35 10万股 63 5万美元 所以该交易商以0 048的利率借入237 5万美元用于购买股票1 当股价上升到80美元为股票价值 为赎回看涨期权 e0 048为赎回贷款则此时的净头寸为4000000 1500000 2493750 6250美元 利息理论应用 第二章 37 2 股价下跌到50美元股票价值为50 50000 2500000 看涨期权价值为0 赎回贷款为所以净头寸为 250 6235美元所以 在这两种情形之下 始终盈利6250美元此种套期保值的技术为德尔塔套期保值 第六节两期二叉树 第六节两期二叉树 第六节两期二叉树 若两期后一个衍生产品对应于股票二叉树中的每一个最终结果 都有一个特定的价值 分别为 如图3 9所示 则如何确定衍生产品的价格 第六节两期二叉树 连锁法则 关键是找到衍生品在时间t 1时的价格 假设这些价格为X Y 那么就 下面是求解X的方法同理可求Y 第七节资产组合复制方法的局限性 股价波动二项分布假设下 资产组合复制方法将一个随机情形转换成确定情形 利用该方法 能否将未来股价波动扩展到三个的情形 不增加组合品种 则方程无解 增加不同利率的债券 则方程的左边第二 三两项相同 增加另一股票 约束条件太苛刻 第三章股票与期权的二叉树模型 第一节股票价格模型第二节用二叉树模型进行看涨期权定价第三节美式期权定价第四节敲出期权定价第五节回望期权定价第六节实证数据下二叉树模型分析第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 第一节股票价格模型 假设股票的价格在单位时间内只能够沿着两个方向变动 图4 1和图4 2采用二叉树的形式列出了可能变动的两个方向 将来的价格等于现值与相应收益率的乘积 第一节股票价格模型 第一节股票价格模型 一 二叉树的重新安排 第一节股票价格模型 4 1 第一节股票价格模型 二 连锁法和期望值连锁法 后向推导 第一节股票价格模型 第一节股票价格模型 第一节股票价格模型 若x是股票未来价格a和b的期望值 则 连锁法 第一节股票价格模型 第一节股票价格模型 将节点输入值中的股票价格因子分离出来 则 第二节用二叉树模型进行看涨期权定价 若期权到期时间为 试对期权进行定价 首先构造一个三期的股票价格二叉树模型 如图4 8所示 第二节用二叉树模型进行看涨期权定价 第二节用二叉树模型进行看涨期权定价 三期的期权价格二叉树模型 第二节用二叉树模型进行看涨期权定价 由无套利定价原则得 4 2 第二节用二叉树模型进行看涨期权定价 第三节美式期权定价 美式看跌期权 若 期权到期时间为 第三节美式期权定价 第三节美式期权定价 如图4 14所示的分枝图 在节点处有两个选择 1 立即执行 在 2 继续持有到下一期再执行 策略 计算每一种方案的价值 再选择最大的 第三节美式期权定价 第三节美式期权定价 第三节美式期权定价 第三节美式期权定价 第四节敲出期权的定价 障碍期权 barrieroption 一般分为两类 即敲出期权和敲入期权 敲出期权 当标的资产价格达到一个特定障碍水平时 该期权作废 敲入期权 当标的资产价格达到一个特定障碍水平时 该期权才有效 第四节敲出期权的定价 欧式看涨期权 期权到期时间为 根据题意 考察的期权是一个欧式看涨期权 在3年后到期 执行价是105美元 若是敲出期权 在价格为95美元处设置了一个障碍 即一旦股票价格低于95美元 无论其到期的价格是多少 该期权都不再有任何价值 画出股票 期权二叉树图标明障碍线 第四节敲出期权的定价 如何为敲出期权定价 第一步 第四节敲出期权的定价 第四节敲出期权的定价 第二步 连锁法计算期权价值障碍法则同样的操作 运用连锁法则和贴现的方法计算出期权的价格 不同的操作 对于障碍 虚线 下方的节点输入值为0 第四节敲出期权的定价 作为验证 第四节敲出期权的定价 注意 对K期期权定价而言 有2K条路径 当K较小时 路径计算法在期数和路径较少的情况下是简单易行的 但当K较大时 计算却十分困难 因为将生效的期权从失效的期权中分离出来是很困难的 敲出障碍期权比标准欧式期权要便宜 当障碍的设置越接近于正常价格时 障碍期权越不可能克服日常价格波动 障碍期权较之普通期权的价格越便宜 第四节敲出期权的定价 第五节回望期权定价 回望期权 回望期权 lookbackoptions 的收益依附于期权有效期内标的资产达到的最大或最小价格 欧式回望看涨期权的收益等于最后标的资产价格超过期权有效期内标的资产达到的最低价格的那个量 欧式回望看跌期权的收益等于期权有效期内标的资产价格达到的最高价格超过最后标的资产价格的那个量 若有一个三个月到期的回望期权 在三个月后 期权的买方有权得到以过去三个月中最高股价来计算的偿付 所谓回望的含义就体现在这里 应注意 为了确定期权的到期价格 需要知道的不仅仅是股票的最终价格 还需要知道股票过去每个时间点的价格 除了一些极端的情况 第五节回望期权定价 例 以一个月为一个时间段 得三个月的股价树 见图4 21 第五节回望期权定价 第五节回望期权定价 表3 1路径 概率及最高价 第五节回望期权定价 第六节实证数据下二叉树模型分析 金融 或其他领域 中用的数学模型是为了帮助在分析现在的基础上预测未来 如果模型是成功的 那么模型就应该与实际相符 如何确定 和 希望通过股价行为中的重要因素来估计上面这些参数漂移率 波动率 第六节实证数据下二叉树模型分析 漂移率 单位时间内股价的平均变化幅度 波动率 相对回报率的不确定性 第六节实证数据下二叉树模型分析 第六节实证数据下二叉树模型分析 平均相对回报率 平均股价比率 如果随机变量服从伯努利分布 则 第六节实证数据下二叉树模型分析 将此应用于图4 22的股价二叉树 得 第六节实证数据下二叉树模型分析 Hull White算法 令 则 第六节实证数据下二叉树模型分析 第六节实证数据下二叉树模型分析 用样本估计值来代替 用样本均值 样本方差分别代替总体均值和方差 若 对于独立的股价伯努利分布的随机变量 第六节实证数据下二叉树模型分析 第六节实证数据下二叉树模型分析 第六节实证数据下二叉树模型分析 第六节实证数据下二叉树模型分析 于是得到 第六节实证数据下二叉树模型分析 算例 1 计算相关参数2 画出二叉树图3 计算期权价格 第六节实证数据下二叉树模型分析 习题 以下为包钢股份2006年4月4日至4月14日股价 试计算相关参数 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 以N期股价二叉树为基础的期权价格 可以由期权在期末的价值完全决定 如果期权的价格与由二叉树算法得到的价格不一样 则将存在无风险套利机会 即 二叉树算法得出的结果是符合无套利原则的惟一价格 从这个角度来说 二叉树算法的价格反映了市场的真实状况 验证单期二叉树德尔塔对冲效果 卖出一个看涨期权 或衍生产品 同时买入股股票 且则最初投资为 为看涨期权的价格 为进行投资或借入的无风险利率 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 股价上升 股价下跌 由于 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 由此可见 风险已完全对冲了 在这种情况下 交易商的无风险收益是收取少量的佣金 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 为确定对冲组合 应采取的步骤 画出股价二叉树 用连锁法则计算衍生品价格树 从时刻起 确定对冲的股票 对冲股票数量的计算公式化 在时刻以及接下来的各期 应当用步骤 重新计算所需的对冲股票数量 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 说明 可以对冲N期二叉树模型并不意味着可以对冲任意的衍生产品 比如说连续情形下 即使二叉树模型通过选取足够大的n值 以对股价进行合理的拟合 但股价运行中固有的属性 决定了不可能做出无误差的对冲调整 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 例 股价及衍生产品价格二叉树见图4 25r 0 04879 即er 1 05 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 第一步 采用连锁法则 完成衍生产品的价格树 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 第二步 对冲 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 在t 0时刻 在t 0时刻 卖掉单位衍生品 买入0 3322754股票 策略 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 在t 0时刻 全部资产状况 拥有股票欠银行负债0 332275423 21998 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 在t 1时刻 若股价为120美元 策略 卖掉股票 0 3322756 0 266666 0 06561减少债务 0 06561 120 7 8732 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 在t 1时刻 全部资产状况 拥有股票欠银行负债0 26666623 21998 1 05 7 8732 16 507779 在t 2时刻 若股价为110 则 资产负债拥有股票衍生产品12欠银行负债0 266666 11016 507779 1 05在t 2时刻资产 负债 29 33 第七节N期二叉树模型的定价和对冲风险 课后习题 请借助T形帐户 阐述当股价为其他状态时的风险对冲过程 深入理解实证数据下 参数估计过程 第五章连续时间模型和Black Scholes公式 第一节连续时间股票模型第二节离散模型第三节连续模型的分析第四节Black Scholes模型第五节Black Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七章二叉树模型和连续时间模型第八章几何布朗运动股价模型应用的注意事项 第一节连续时间股票模型 保罗 萨缪尔森在1965年首次提出 5 1 股票在 时刻的价格 常量 服从布朗运动 其中 1826年英国植物学家布朗 1773 1858 用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的 后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动 第二节离散模型 若 表示T时刻的股价 则根据二叉树模型 在一个给定时间间隔 第二节离散模型 于是 令 这表明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响 上式是下列微分方程的解 5 2 第二节离散模型 在式 5 1 中 如果令 即可得到上述微分方程 这是一个确定性的公式 然而 股价并不具有公式 5 2 所示的可预测性和确定性 令随机变量 定义 第二节离散模型 其中 为常数 第二节离散模型 于是 可得股价序列 即 设 5 3 于是得 5 4 第二节离散模型 与式 5 2 相比有什么特点 包含了随机项 因此更接近实际 该模型有一个优点 包含了随机变量 但存在一个不足之处 即有两个不确定项 第一个漂移项来自 中的 其作用类似于债券 第二个漂移项来自于 当然希望期望的所有的漂移来自于一个方面 即 和货币基金市场中的利率 第二节离散模型 为能对模型进行标准正态变换 并对不确定性进行合并 对 进行重新定义 第二节离散模型 为什么 第二节离散模型 于是 随机变量Z的一个重要等式 5 5 第二个因素表示的随机变量的漂移率为零 若令 则 因为 第二节离散模型 进一步 式 5 6 的分析 股票的初始价格 漂移因子 复利因子 随机因子 修正因子 第二节离散模型 则 5 6 第二节离散模型 特别注意 模型 5 6 尽管也是一种离散模型 但比二叉树模型具有更丰富的意义 因为 允许 取任何正值 为什么 第二节离散模型 当 时 是否 否 第二节离散模型 式 5 6 中将时间分成小的增量 并考虑步运行的影响 一段固定的时间可以分成许多小时间段 事实上 针对同样的时间 可以分成不同的个区间 应该注意到 随着的增加 的方差会增加 为了使得的总方差独立于 需要对常量随进行调整 第二节离散模型 可以在和之间建立一个关系式 使得的方差等于 即令 于是式 5 6 其中 对数正态模型 为什么 5 7 表明长期趋势 表明波动率 第二节离散模型 这两个参数如何影响股价 第三节连续模型的分析 5 8 式中 由此得到的就是股价的几何布朗运动模型 GBM 方程 5 1 的解 几何布朗运动 式 5 8 与具有连续时间变量T的离散模型 5 7 相同 方程 5 1 是一个SDE 一般SDE没有简洁的封闭形式的解 第三节连续模型的分析 特别注意 目的 对期权进行定价 几何布朗运动参数估计 第三节连续模型的分析 思路 用样本均值和方差来代替总体的均值和方差 若已知在一段较长时间 0 T 内的股价数据 这段时间由n个长度相等的子区间所构成 如果已知第个子区间末的股价 则样本观测值有n 1 计算时间序列值 由于 5 9 第三节连续模型的分析 第一步 第三节连续模型的分析 应该注意到 于是 理论上 样本均值 样本方差 根据式 5 9 的观测值的均值为 方差为 第三节连续模型的分析 第二步 解方程 得 第三节连续模型的分析 第三步 一般经验法则是设定度量波动率的时期等于将应用波动率所对应的时期 第三节连续模型的分析 第三节连续模型的分析 习题 以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价 请以天为时间单位计算 假设 证券价格遵循几何布朗运动 即 和 为常数 允许卖空 没有交易费用和税收 所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内 无风险利率r为常数 欧式期权 股票期权 看涨期权 第四节Black Scholes公式 第四节Black Scholes公式 由Black Scholes公式 欧式看涨期权的价格 5 10 式中 股票现价 期权价格 标准正态分布函数 期权的执行价格 距离到期的时间 第四节Black Scholes公式 是否注意到 这一公式中没有出现漂移率 参数 是投资者在短时间后获得的预期收益率 依附于某种股票的衍生证券的价值一般独立于 参数 是股票价格波动率 Black Scholes定价系统在完全市场中得到期权价格与漂移率无关 被称为风险中性定价方法 无套利是这种定价的基本假设 Black Scholes方程的结果认为 由于在方程中消掉了漂移项 而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期 也即证券的风险期望收益率 因此 这意味着期权的价格与人们对证券价格未来变化的预测无关 投资者的风险偏好并不影响期权价格 第四节Black Scholes公式 从BS微分方程中我们可以发现 衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 S 时间 t 证券价格的波动率 和无风险利率r 它们全都是客观变量 独立于主观变量 风险收益偏好 而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中 由此我们可以利用BS公式得到的结论 作出一个可以大大简化我们的工作的风险中性假设 在对衍生证券定价时 所有投资者都是风险中性的 第四节Black Scholes公式 所谓风险中性 即无论实际风险如何 投资者都只要求无风险利率回报 风险中性假设的结果 投资者进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克 舒尔斯微分方程而作出的人为假定 但BS发现 通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况 也适用于投资者厌恶风险的所有情况 也就是说 我们在风险中性世界中得到的期权结论 适合于现实世界 第四节Black Scholes公式 第四节Black Scholes公式 应该注意的是 实际期权交易中 很多看涨期权是通过竞价市场而非理论公式定价 第四节Black Scholes公式 习题 若某日某股票的相关数据如下 求V 第五节Black Scholes公式的推导 一 修正的模型主要思路 让模型定价等于市价 资产组合 a股价格为S0的股票 现金b 则投资额为 5 11 经过时间后 投资的资金将变为 第五节Black Scholes公式的推导 5 12 用无风险利率r贴现得 于是 对式 5 12 两边求期望 则如果下列条件成立 则 5 13 5 14 第五节Black Scholes公式的推导 由此 即使a值变化 上式总是成立 采用股价模型 代替真正股价 方差保持不变 且满足下式 第五节Black Scholes公式的推导 于是对于任何用来复制的投资组合 存在下式 现在的问题是 是否存在这样的 第五节Black Scholes公式 习题 若某日某股票的相关数据如下 求V 第五节Black Scholes公式的推导 一 修正的模型主要思路 让模型定价等于市价 资产组合 a股价格为S0的股票 现金b 则投资额为 5 11 经过时间后 投资的资金将变为 第五节Black Scholes公式的推导 5 12 用无风险利率r贴现得 于是 对式 5 12 两边求期望 则如果下列条件成立 则 5 13 5 14 第五节Black Scholes公式的推导 由此 即使a值变化 上式总是成立 采用股价模型 代替真正股价 方差保持不变 且满足下式 第五节Black Scholes公式的推导 于是对于任何用来复制的投资组合 存在下式 现在的问题是 是否存在这样的 如果令 5 15 于是 第五节Black Scholes公式的推导 即 第五节Black Scholes公式的推导 为什么 因此 修正的股价模型为 5 16 第五节Black Scholes公式的推导 修正模型看上去与GBM模型非常接近 但其与股价模型是完全不同的模型 因为该模型中股价的增长率被人为设低了 第五节Black Scholes公式的推导 二 期望值对欧式看涨期权 将式 5 16 代入得 第五节Black Scholes公式的推导 若 则用 于是 第五节Black Scholes公式的推导 根据期望的概念 如何求积分 三 两个积分 第五节Black Scholes公式的推导 由 求得 第五节Black Scholes公式的推导 将上述积分展开成两部分 第二部分 第五节Black Scholes公式的推导 第一部分 变量代换 则 第五节Black Scholes公式的推导 所以积分式的第二项等于 第五节Black Scholes公式的推导 将上述第一项和第二项的结果代入 得 第五节Black Scholes公式的推导 其中 第五节Black Scholes公式的推导 金融产品今天的价值 应该等于未来收入的贴现 其中 由于风险中性定价 E是风险中性世界中的期望值 所有的利率都使用无风险利率 包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率 要求解这个方程 关键在于到期的股票价格ST 我们知道它服从对数正态分布 且其中所有的利率应用无风险利率 因此 上式的右边求值是一个积分过程 求得 N x 为标准正态分布变量的累计概率分布函数 即这个变量小于x的概率 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 第五节Black Scholes公式的推导 首先 N d2 是在风险中性世界中ST大于X的概率 或者说是欧式看涨期权被执行的概率 e r T t XN d2 是X的风险中性期望值的现值 SN d1 e r T t STN d1 是ST的风险中性期望值的现值 因此 这个公式就是未来收益期望值的贴现 第五节Black Scholes公式的推导 其次 是复制交易策略中股票的数量 SN d1 就是股票的市值 e r T t XN d2 则是复制交易策略中负债的价值 最后 从金融工程的角度来看 欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 Asset or notingcalloption 多头和现金或无价值看涨期权 cash or nothingoption 空头 SN d1 是资产或无价值看涨期权的价值 e r T t XN d2 是X份现金或无价值看涨期权空头的价值 第五节Black Scholes公式的推导 资产或无价值看涨期权 如果标的资产价格在到期时低于执行价格 该期权没有价值 如果高于执行价格 则该期权支付一个等于资产价格本身的金额 因此该期权的价值为e r T t STN d1 SN d1 现金或无价值看涨期权 如果标的资产价格在到期时低于执行价格 该期权没有价值 如果高于执行价格 则该期权支付1元 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N d2 1份现金或无价值看涨期权的现值为 e r T t N d2 第五节Black Scholes公式的推导 第六节看涨期权与看跌期权平价 欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关 若卖空一份带抛补的看涨期权以S的价格买入一股股票以C的价格卖出一份看涨期权 执行价为X同时又买了一份价格为P的看跌期权 执行价为X 到期时间和执行价与看涨期权相同 第六节看涨期权与看跌期权平价 则当期 于是 第六节看涨期权与看跌期权平价 对于具有与欧式看涨期权定价相同参数的欧式看跌期权定价平价公式 将欧式看涨期权定价的Black Scholes公式代入 得 即 第六节看涨期权与看跌期权平价 附 期权的简单特征 命题1 对于 0 T 上具有相同执行价格q的欧式和美式期权 存在 附 期权的简单特征 命题2 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则存在 附 期权的简单特征 命题3 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则存在 附 期权的简单特征 命题4 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则存在 附 期权的简单特征 推论1 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则美式看涨期权不应提前执行 推论2 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 对于相同执行价格和相同到期日的美式和欧式看涨期权存在 附 期权的简单特征 命题5 在 0 T 上 相应的股票无红利配发 如果在美式看跌期权有效的有效期内的某个存在 则该美式看跌期权应该在时刻执行 附 期权的简单特征 命题6 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则欧式看涨和看跌期权的价格满足 习题 若看涨和看跌期权的行权价不同 则这一关系该如何表达 附 期权的简单特征 命题7 若在 0 T 上 相应的股票无红利配发 则美式看涨和看跌期权的价格满足 附 期权的简单特征 命题8 若在 0 T 上 相应的股票有红利配发 记 附 期权的简单特征 附 期权的简单特征 命题9 若标的股票在 0 T 上的 相应的股票有红利配发 记 附 期权的简单特征 附 期权的简单特征 附 期权的简单特征 附 期权的简单特征 第七节二叉树模型和连续时间模型 一 二项分布 5 18 当n足够大时 可近似用正态分布来代替二项分布 第七节二叉树模型和连续时间模型 二 多期二叉树的近似 若股票价格的漂移率是 波动率是 则二叉树的节点上 若股价上涨 则为 若股价下跌 则为 对一固定的时刻t 在时刻t的节点的股价只与在n期内上涨次数Xn有关 第七节二叉树模型和连续时间模型 则 当n足够大时 第七节二叉树模型和连续时间模型 因为 第七节二叉树模型和连续时间模型 于是可以令 上式近似所得的股价模型和几何布朗运动一致 既然有几何布朗运动模型为何还要二叉树算法 几何布朗运动算期望非常困难 第七节二叉树模型和连续时间模型 第七节二叉树模型和连续时间模型 三 符合几何布朗运动的二叉树构造 对应的二叉树分支概率 第七节二叉树模型和连续时间模型 习题 设某一股票的年波动率 对应的股票期权将在两个月内到期 因此需要一个40期的二叉树来表示这一段时间内的股价波动 设无风险利率 如何构造 第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项 第八节几何布朗运动股价模型应用的注意事项 当 很大时 的概率分布极不均匀 第六章Black Scholes模型的解析方法 第一节微分方程推导思路第二节展开第三节展开式的简化第四节投资组合的构造方法第五节Black Scholes微分方程求解方法第六节期货期权 第一节微分方程的推导思路 牛顿 给定任何与时间相关的变量 可以采用微分方程描述并求解 反之 亦然 假设 股票价格遵循 为常数的随机过程允许使用全部所得卖空衍生证券没有交易费用或税收 所有证券都是高度可分的在衍生证券的有效期内没有红利支付不存在无风险套利机会证券交易是连续的无风险利率r为常数且对所有到期日都相同 第一节微分方程的推导思路 第一节微分方程的推导思路 则思路如下 第一节微分方程的推导思路 构造B1ack Scholes微分方程的思路包括四步 第1步 将函数关于和进行泰勒级数展开 第2步 在展开的泰勒级数中 替代方程中 第3步 进行代数变换 包括简化布朗项和忽略高阶项 第4步 令与复制的资产组合相等 于是得到想要的微分方程 前三步纯粹是数学上的推导 关键的金融上的含义则在最后一步 一元函数的泰勒公式 第二节展开 第二节展开 二元函数的泰勒公式 第二节展开 其中 表示 表示 第二节展开 一般地 记号 第二节展开 第二节展开 泰勒展开 原点 麦克劳林展开 6 2 6 3 第二节展开 写成微分形式 对应得 第三节展开式的简化 第三节展开式的简化 第三节展开式的简化 6 4 6 5 第三节展开式的简化 对dV进行整理得 将Z2用其期望值1来代替 得 第四节投资组合的构造方法 投资组合目的 寻找一种适当的股票 债券比例 使得任意时刻投资组合的净值正好是期权的价格 令 第四节投资组合的构造方法 6 7 则 6 6 满足投资组合的要求 其中Pt为单位债券的价格 于是得 由于 于是式 6 7 可变为 第四节投资组合的构造方法 令上式的右边 式 6 5 的右边 得 6 8 第四节投资组合的构造方法 令 6 9 第四节投资组合的构造方法 于是 由于 将其代入得 6 10 第四节投资组合的构造方法 这是著名的关于股票期权价格的Black Scholes偏微分方程 这一方程的导出被认为是金融理论的一次重大突破 为了进一步得到诸如欧式看涨期权等衍生产品的价格 方程 6 10 必须结合边界条件进行求解 欧式看涨期权的边界条件有三个 1 损益状态 这一条件的含义相当明确 期权到期时候的损益就是它的价格 2 对于完全实值 deepinthemoney 状态的期权有 由于此时期权的价格接近 因此这一比率为1 3 意味着对于 有 股票价格一旦为0 一般不会再回到原状态 第四节投资组合的构造方法 第五节Black Scholes微分方程求解方法 求解微分方程的最简单的方法就是对解做出猜测 然后代入验算 设想 代入微分方程 并检验它确实满足微分方程 6 10 如何验证 6 10 第五节Black Scholes微分方程求解方法 一 现金或无价值看涨期权 现金0 1期权 函数 具有如下性质 若 和 为两个正数 b为一常数 则以d t S 代替 标准正态分布中的x 定义 方程 6 12 几乎就是一个金融衍生产品的价格 6 12 第五节Black Scholes微分方程求解方法 事实上 如果 如果 将到期时具有这样特性的金融产品定义为 现金或无价值看涨期权 现金0 1期权 第五节Black Scholes微分方程求解方法 该期权在到期时刻 的价格如下 则期权的期末价值为l元 则期权的期末价值为0 如果股票价格表现好 如果股票价格表现不好 第五节Black Scholes微分方程求解方法 第五节Black Scholes微分方程求解方法 式 6 12 是否就是某一金融衍生品的价格 验证 得 如何验证 第五节Black Scholes微分方程求解方法 关键 第五节Black Scholes微分方程求解方法 要使 6 10 成立 则需对式 6 12 进行修正 即 此时 V仍然满足边界要求 而增加的因子er T t 使得V能满足B S方程 6 10 但 即使上式成立 也不一定满足式 6 10 因此 价格为的股票在时刻t的现金或无价值看涨期权的价格 6 14 第五节Black Scholes微分方程求解方法 第五节Black Scholes微分方程求解方法 二 资产或无价值看涨期权 股票0 1期权 对方程 6 12 的一个修正是 如果 如果 同样 任意时刻 如果 则必有 如果 则 满足这类边界条件和到期特征的产品称为股票0 1期权 stockornothingderivative 第五节Black Scholes微分方程求解方法 股票0 1期权 stockornothingderivative 其在时刻的损益如下 如果股票价格表现好 则期权的期末价值为股票 如果股票价格表现不好 则期权的期末价值为0 第五节Black Scholes微分方程求解方法 于是股票0 1期权的价格可以简单写为 6 15 定义 第五节Black Scholes微分方程求解方法 要使式 6 10 仍然成立 则 三 欧式看涨期权 第五节Black Scholes微分方程求解方法 欧式看涨期权 通过投资组合来实现持有一份股票0 1期权 执行价设定为X 同时卖出X份现金0 1期权 则任何时刻投资的净头寸 第五节Black Scholes微分方程求解方法 到期时 如果股票表现不好 SX 则损益就是S X 于是新构造的资产组合就是欧式看涨期权到期时的损益 第六节期货期权 一 期货合约的看涨期权 若期货合约的价格为F 则 将其代入普通看涨期权的Black Scholes公式 得 第六节期货期权 6 17 期货看涨期权 第六节期货期权 其中 例 若股票指数点位是702 其波动率估计值 指数期货合约将在3个月后到期 并在到期时用美元按期货价格结算 期货合约的价格是715美元 关于期货的看涨期权到期时间与期货相同 执行价是740美元 短期利率为7 问这一期权的理论价格是多少 第六节期货期权 第六节期货期权 二 期货期权的偏微分方程 若期货合约的价格为F 则 假设 关于期货的期权价格表达式为 该价格应满足微分方程 6 10 6 18 第六节期货期权 于是 将上述各项代入方程 6 10 得期货期权的偏微分方程 第七章对冲 第一节德尔塔对冲第二节隐含波动率第三节希腊字母第四节德尔塔对冲法则的推导第五节购买股票后的德尔塔对冲 第一节德尔塔对冲 由于期权价格变化幅度与标的资产价格变化幅度不同 第一节德尔塔对冲 一 对冲 动态规划与理想条件下Black Scholes运作机制 投资组合 净头寸为0 买入股票 价格S 卖空期权 价格V 1借入现金 无风险利率r C 投资组合的价值 第一节德尔塔对冲 对冲思路 找到一个 使得 展开V S t 得 第一节德尔塔对冲 由Black Scholes方程得 于是 第一节德尔塔对冲 若则 第一节德尔塔对冲 即 由于 则对于所有的t 表明 不管T时刻股票价格ST是多少 股票头寸与期权头寸处于平衡状态 二 Black Scholes与现实世界的差距必须瞬时无限次地调整资产组合 计算所得的买卖股票数量并不一定是整数 t 是时间的函数 资产组合过程中存在买卖价差和交易成本 第一节德尔塔对冲 三 德尔塔对冲的步骤第一步 计算 t 通过Black Scholes公式得 t N d1 第二步 根据ST调整 t 第一节德尔塔对冲 四 对冲的缺陷高买低卖的模式存在交易成本 第一节德尔塔对冲 对冲一份期权需要 股股票对冲 一股股票需要1 份期权对冲 第一节德尔塔对冲 例 卖出A公司股票期权1000份 已知参数为S0 50 X 40 r 0 05 0 30 T 1年 一周后股价为51 5 两周后股价为49 若每周进行一次调整 试进行风险对冲 第一节德尔塔对冲 第一节德尔塔对冲 解 第二节隐含波动率 一