概率统计和随机过程课件§4.3二维随机变量函数的分布.ppt

1 问题 已知二维随机变量 X Y 的密度函数 g x y 为已知的二元函数 Z g X Y 求 Z的密度函数 方法 从求Z的分布函数出发 将Z的分布函数转化为 X Y 的事件建立一个新的二维随机变量 Z X 或 Z Y 求其边缘分布得Z的密度函数 3 4二维随机变量函数的分布 2 正态随机变量的情形 若X Y相互独立 则 则 和的分布 Z X Y 3 另一种计算fZ z 的方法 先构造一个新的二维随机变量 Z U 它们是 X Y 的函数 而Z aX bY c或 X Y 的其他函数 求 Z U 的联合密度函数f z u 求边缘密度fZ z 4 h s有连续的偏导数 记 则 已知 X Y 的联合密度fXY x y 求 Z U 的联合密度函数fZU z u 的方法 5 利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度 例 商的分布 Z X Y 6 例4已知 X Y 的联合分布函数为 求Z X Y的概率密度函数 解 7 8 但是 当反函数不唯一时 或不易求时 仍需用分布函数法 3 平方和的分布 Z X2 Y2 设 X Y 的联合密度函数为f x y 则 9 例如 X N 0 1 Y N 0 1 X Y相互独立 Z X2 Y2 则 称为自由度为2的 2分布 10 它的概率密度函数为 其中 称为 函数 11 自由度为5的 2分布的密度函数图形 12 自由度分别为1 2 5 8 10的 2分布的密度函数图形 13 4 极值分布 即极大值 极小值的分布 对于离散型随机变量的极值分布可直接计算 重点 相互独立的随机变量的极值分布 14 例5X Y相互独立 X Y 参数为0 5的0 1分布 求M max X Y 的概率分布 解 对于连续型随机变量 设X Y X FX x Y FY y M max X Y N min X Y 求M N的分布函数 特别地X Y相互独立时 16 17 特别地X Y相互独立时 18 推广至相互独立的n个随机变量的情形 则 19 例6设系统L由相互独立的n个元件组成 连接方式为 串联 并联 冷贮备 起初由一个元件工作 其它n 1个元件做冷贮备 当工作元件失效时 贮备的元件逐个地自动替换 4 L为n个取k个的表决系统 即n个元件中有k个或k个以上的元件正常工作时 系统L才正常工作 20 求在以上4种组成方式下 系统L的寿命X的密度函数 解 21 1 22 2 23 3 n 2时 24 可以证明 X1 X2与X3也相互独立 故 25 归纳地可以证明 26 4 27 前n 1项和第n项 改变下标j 1 m j 28 29 第五章随机变量的数字特征 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性 但在一些实际问题中 只需知道随机变量的某些特征 因而不需要求出它的分布函数 评定某企业的经营能力时 只要知道该企业人均赢利水平 例如 研究水稻品种优劣时 我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量 检验棉花的质量时 既要注意纤维的平均长度 又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长 偏离程度越小 质量就越好 30 考察一射手的水平 既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小 即数据的波动是否小 由上面例子看到 与随机变量有关的某些数值 虽不能完整地描述随机变量 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 31 32 5 1随机变量的数学期望 加权平均 3 3 42 3 52 2 6 73 770 066 8 73 270 167 8 甲乙乙 引例1甲乙两学生参加数学竞赛 观察其胜负 33 引例2测量50个圆柱形零件直径 见下表 则这50个零件的平均直径为 34 换一个角度看 从这50个零件中任取一个零件 它的尺寸为随机变量X 则X的概率分布为 则这50个零件的平均直径为 称之为这5个数字的加权平均 数学期望的概念源于此 35 定义1设X为离散型随机变量 其概率分布为 若无穷级数 绝对收敛 则称其和为随机变量X的数学期望记作E X 36 定义2设X为连续型随机变量 其密