附带答案精析高考冲刺空间几何体

0 空间几何体 1 有下列说法 平行投影的投影线互相平行 中心投影的投影线交于一点 空间图形经过中心投影后 直线变成直线 但平 行线可能变成了相交直线 几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式 其中正确命题有 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 2 2006 湖南 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截 面 的面积是 A B C D 3 已知球 O 的半径为 球面上有 A B C 三点 如果 AB AC 2 BC 则三棱锥 O ABC 的体积为 A B C 1D 4 已知三棱锥 A BCO OA OB OC 两两垂直且长度均为 6 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动 另一个端点 N 在 BCO 内运动 含边界 则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为 A B 或 36 C 36 D或 36 5 已知 ABCD A1B1C1D1 为单位正方体 黑白两个蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行 每走完一条棱称为 走完一段 白蚂蚁爬行的路 线是 AA1 A1D1 黑蚂蚁爬行的路线是 AB BB1 它们都遵循如下规则 所爬行的第 i 2 与第 i 段所在直线必须是异面直 线 其中 i 是自然数 设白 黑蚂蚁都走完 2011 段后各停止在正方体的某个顶点处 这时黑 白两蚂蚁的距离是 A 1 B C D 0 6 如图 在三棱锥 P ABC 中 APB BPC APC 90 M 在 ABC 内 MPA 60 MPB 45 则 MPC 的度数为 A 30 B 45 C 60 D 75 7 已知球 O 的表面积为 20 SC 是球 O 的直径 A B 两点在球面上 且 AB BC 2 则三棱锥 S AOB 的高为 1 A B C D 1 8 已知四面体 P ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上 且 PO 平面 ABC 2AC AB 若四面体 P ABC 的体积为 则该球的体积 为 A B 2 C D 9 在 ABC 中 AB 9 AC 15 BAC 120 ABC 所在平面外一点 P 到三顶点 A B C 的距离都是 14 则 P 到平面 ABC 的 距离是 A 6B 7C 9D 13 10 下列正确命题个数是 梯形的直观图可能是平行四边形 三棱锥中 四个面都可以是直角三角形 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形 这个棱锥不可能是六棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是矩形的平行六面体是长方体 A 1B 2C 3D 4 11 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上 且满足 则三棱锥 P ABC 的侧面积的最大值为 A 2B 1C D 12 一个斜三棱柱 底面是边长为 5 的正三角形 侧棱长为 4 一条侧棱与底面三角形两边所成的角都是 60 则这个斜三棱柱的侧 面积是 A 40B 20 1 C 30 1 D 30 13 正方形 ABCD 的边长为 4 中心为 M 球 O 与正方形 ABCD 所在的平面相切于 M 点 过点 M 的球的直径另一端点为 N 线段 NA 与球 O 的球面的交点为 E 且 E 恰为线段 NA 的中点 则球 O 的表面积为 A B C 4 D 8 14 一个圆柱底面直径与高相等 其体积与一个球的体积之比是 3 2 则这个圆柱的表面积与这个球的表面积之比为 A 1 1B 1 C D 3 2 15 已知圆锥内有一个内接圆柱 若圆柱的侧面积最大 则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小 大两部分的比是 A 1 1B 1 2C 1 8D 1 7 16 已知正三棱锥 P ABC 的外接球 O 的半径为 1 且满足 则正三棱锥 P ABC 的体积为 17 在半径为 r 的球内有一内接正三棱锥 它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 则经过的最短路程是 A 2 rB C D 2 18 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 使得 BD a 则三棱锥 D ABC 的体积为 A B C D 19 在正三棱锥 S ABC 中 侧面 SAB 侧面 SAC 侧面 SBC 两两垂直 且侧棱 SA 则正三棱 S ABC 外接球的表面积为 A 12 B 32 C 36 D 48 20 直角梯形的一个内角为 45 下底长为上底长的 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为 5 则旋转体的体积为 A 2 B C D 21 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 沿 BD 折成直二面角 A BD C 则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积是 A B C D 空间几何体 1 棱长为的正四面体内切一球 然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球 则这些球的最大半径为 A B C D 2 若三个棱长均为整数 单位 cm 的正方体的表面积之和为 564cm2 则这三个正方体的体积之和为 A 764 cm3 或 586 cm3 B 764 cm3 C 586 cm3 或 564 cm3 D 586 cm3 3 如图 正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 线段 B D 上有两个动点 E F 且 则下列结论中错误的是 3 A AC BEB 三棱锥 A BEF 的体积为定值 C EF 平面 ABCDD 异面直线 AE BF 所成的角为定值 4 有下列命题 在空间中 若 OA O A OB O B 则 AOB A O B 直角梯形是平面图形 长方体 正四棱柱 直平行六面体 若 a b 是两条异面直线 a 平面 a 平面 b 平面 则 在四面体 P ABC 中 PA BC PB AC 则点 A 在面 PBC 内的射影为 PBC 的垂心 其中真命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 5 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 则这个几何体的 A 外接球的半径为B 表面积为 C 体积为D 外接球的表面积为 4 6 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F 分别是 AA1 和 B1B 的中点 则 D1F 与 CE 所成角的余弦值为 A B C D 7 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列 4 个命题中正确的个数为 若 m n 则 m n 若 m n 则 m n 若 m n 且 m n 则 若 m n 是异面直线 m n m 则 n A 1B 2C 3D 4 8 在半径为 r 的球内有一内接正三棱锥 它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 则经过的最短路程是 A 2 rB C D 9 2004 福建 如图 A B C 是表面积为 48 的球面上三点 AB 2 BC 4 ABC 60 O 为球心 则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 4 A arcsinB arccosC arcsinD arccos 10 已知正三棱锥 S ABC 若点 P 是底面 ABC 内一点 且 P 到三棱锥 S ABC 的侧面 SAB 侧面 SBC 侧面 SAC 的距离依次成等 差数列 则点 P 的轨迹是 A 一条直线的一部分B 椭圆的一部分 C 圆的一部分 D 抛物线的一部分 11 设 表示平面 l 表示不在 内也不在 内的直线 给出下列命题 若 l l 则 若 l 则 l 若 l 则 l 其中正确的命题是 A B C D 12 在三棱锥 A BCD 中 侧棱 AC AC AD 两两垂直 ABC ACD ADB 的面积分别为 则该三棱锥外 接球的表面积为 A 2 B 4 C 6 D 24 13 对于不重合的两个平面 与 则 存在异面直线 l m 使得 l l m m 是 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 14 已知一个四棱锥的正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形 如图示 腰长为 1 则该四棱锥的体积为 A B C D 15 如图 在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中 AB AC AA1 2 点 G 与 E 分别为线段 A1B1 和 C1C 的中点 点 D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点 若 GD EF 则线段 DF 长度的最小值是 5 A B 1C D 16 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 与直线 AD B1C A1C1 都相交的直线 A 有且仅有一条 B 有且仅有两条C 有且仅有三条 D 有无数条 17 已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截 得到的两个圆的公共弦为 4 若其中的一圆的半径为 4 则另一圆的半径为 A B C D 18 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 E 为 AB 上一个动点 则 D1E CE 的最小值为 A B C D x y 19 已知 a b 是不同的直线 是不同的平面 若 a b b a b b a a a 则其中能 使 a 的充分条件的个数为 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 20 若 a b 是异面直线 则下列结论中不正确的为 A 一定存在平面 与 a b 都平行 B 一定存在平面 与 a b 都垂直 C 一定存在平面 与 a b 所成角都相等 D 一定存在平面 与 a b 的距离都相等 1 参考答案与试题解析 1 专题 常规题型 分析 本题考查平行投影和中心投影的关系 从投影线开始 两者的投影线是有区别的 平行投影的投影线互相平行 中心投影 的投影线交于一点 几何体在两种投影下的表现形式有时也不同 解答 解 平行投影的投影线互相平行 中心投影的投影线交于一点 故 正确 空间图形经过中心投影后 直线变成直线 但平行线可能变成了相交直线 错误 几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式 正确 综上可知有 2 个说法是正确的 故选 C 点评 本题考查平行投影及平行投影的作图法 考查中心投影及中心投影的作图法 是一个基础题 教材中对于这两种投影说的 比较少 可以翻阅其他资料补充 2 专题 计算题 分析 做本题时 需要将原图形在心中还原出来 最好可以做出图形 利用图形关系 就可以求解了 解答 解 棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图为 ABF 则图中 AB 2 E 为 AB 中点 则 EF DC 在 DCE 中 DE EC DC 2 EF 三角形 ABF 的面积是 6 故选 C 点评 本题考查学生的空间想象能力 以及学生对几何体的认识 是中档题 3 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 确定小圆中三角形 ABC 的特征 作出三棱锥 O ABC 的高 然后解三角形求出三棱锥 O ABC 的底面面积及三棱锥 O ABC 的高 即可得到三棱锥 O ABC 的体积 解答 解 因为 AB AC 2 BC 所以 BAC 90 BC 为小圆的直径 则平面 OBC 平面 ABC D 为小圆的圆心 所以 OD 平面 ABC OD 就是三棱锥 O ABC 的高 OD 三棱锥 O ABC 的体积为 V AB AC OD 2 2 故选 D 点评 本题考查三棱锥 O ABC 的体积 解题的关键是确定小圆中三角形 ABC 的特征 属于中档题 4 专题 综合题 分析 由于长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动 另一个端点 N 在 BCO 内运动 含边界 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心 以 1 为半径的球体 故 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积 利用体积分 割及球体的体积公式即可 解答 解 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动 另一个端点 N 在 BCO 内运动 含边界 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心 以 1 为半径的球体 则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几 何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的 即 或 故选 D 点评 此题考查了学生的空间想象能力 还考查了球体 三棱锥的体积公式即计算能力 7 5 专题 综合题 分析 根据规则 观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点 得到每爬 6 步回到起点 周期为 6 计算黑蚂蚁爬完 2011 段后 实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完 2011 段后实质是到达哪个点 即可计算出它们的距离 解答 解 由题意 白蚂蚁爬行路线为 AA1 A1D1 D1C1 C1C CB BA 即过 6 段后又回到起点 可以看作以 6 为周期 同理 黑蚂蚁也是过 6 段后又回到起点 所以黑蚂蚁爬完 201B 段后回到 A 点 同理 白蚂蚁爬完 2011 段后到回到 D 点 所以它们此时的距离为 1 故选 A 点评 本题以一个创新例子为载体 考查归纳推理的能力 空间想象能力 异面直线的定义等相关知识 属于中档题目 6 专题 计算题 空间角 分析 过 M 做平面 PBC 的垂线 交平面 PBC 于 Q 连接 PQ 由公式 cos MPB cos MPQ cos QPB 得到 cos QPB 从而可得 cos QPC 再用公式 cos MPC cos MPQ cos QPC 即可求 MPC 解答 解 过 M 做平面 PBC 的垂线 交平面 PBC 于 Q 连接 PQ APB APC 90 AP 平面 PBC MQ 平面 PBC AP MQ MPA 60 MPQ 90 60 30 由公式 cos MPB cos MPQ cos QPB 得到 cos QPB QPC 是 QPB 的余角 所以 cos QPC 再用公式 cos MPC cos MPQ cos QPC 得到 cos MPC MPC 60 故选 C 点评 本题考查空间角 考查学生分析解决问题的能力 利用好公式是关键 7 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 将三棱锥 S AOB 的高 转化为 C 到平面 AOB 的距离 利用等体积法 即可求得结论 解答 解 球 O 的表面积为 20 球 O 的半径为 SC 是球 O 的直径 三棱锥 S AOB 的高等于 C 到平面 AOB 的距离 设为 h 8 AB BC 2 cosA sinA ABC 外接圆半径为 2 O 到平面 ABC 的距离为 1 h 故选 C 点评 本题考查三棱锥的高 考查三棱锥的体积公式 考查学生的转化能力 属于中档题 8 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 设该球的半径为 R 则 AB 2R 2AC AB 故 AC R 由于 AB 是球的直径 所以 ABC 在大圆所在 平面内且有 AC BC 由此能求出球的体积 解答 解 设该球的半径为 R 则 AB 2R 2AC AB AC R 由于 AB 是球的直径 所以 ABC 在大圆所在平面内且有 AC BC 在 Rt ABC 中 由勾股定理 得 BC2 AB2 AC2 R 所以 Rt ABC 面积 S BC AC 又 PO 平面 ABC 且 PO R 四面体 P ABC 的体积为 VP ABC 即R3 9 R3 3 所以 球的体积 V 球 R3 3 4 故选 D 点评 本题考查四面体的外接球的体积的求法 解题时要认真审题 仔细解答 注意合理地化空间问题为平面问题 9 专题 综合题 分析 作出 P 到平面 ABC 的高 判断垂足是外心 然后解三角形 ABC 的外接圆半径 最后求得 P 到平面 ABC 的距离 解答 解 作 PO 平面 ABC 交平面于 O 点 PA PB PC OA OB OC 斜线相等 射影也相等 O 点为三角形 ABC 外心 9 在三角形 ABC 中 据余弦定理 BC 21 再据正弦定理 R 为外接圆半径 R 7 BO 7 在 Rt AOP 中 OP2 PA2 OA2 解之 OP 7 故选 B 点评 本题考查棱锥的结构特征 考查正弦定理 余弦定理 是中档题 10 下列正确命题个数是 梯形的直观图可能是平行四边形 三棱锥中 四个面都可以是直角三角形 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形 这个棱锥不可能是六棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是矩形的平行六面体是长方体 A 1B 2C 3D 4 考点 平面图形的直观图 棱锥的结构特征 2360998 专题 综合题 分析 由直观图判断 的正误 三棱锥的结构特征判定 的正误 棱柱的结构特征判断 即可得到正确选项 解答 解 梯形的直观图可能是平行四边形 不正确 因为平行 x 轴的线段长度不变 三棱锥中 四个面都可以是直角三角形 正确 一条棱长垂直底面直角三角形的一个锐角 即可满足题意 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形 这个棱锥不可能是六棱锥 错误 两个正四面体的两个底面重合即可 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 正确 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长不垂直底面 不正确 故选 B 点评 本题考查平面图形的直观图 棱锥的结构特征 考查基本知识掌握情况 是基础题 11 专题 计算题 分析 由已知 三棱锥 P ABC 的四个顶点均在半径为的球面上 且满足 则在 P 点 处 PA PB PC 两两垂直 球直径等于以 PA PB PC 为棱的长方体的对角线 由基本不等式易得到三棱锥 P ABC 的侧面积的最 大值 解答 解 PA PB PC 两两垂直 又 三棱锥 P ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上 以 PA PB PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径 4 PA2 PB2 PC2 则由基本不等式可得 PA2 PB2 2PA PB PA2 PC2 2PA PC PB2 PC2 2PB PC 即 4 PA2 PB2 PC2 PA PB PB PC PA PC 则三棱锥 P ABC 的侧面积 S PA PB PB PC PA PC 2 则三棱锥 P ABC 的侧面积的最大值为 2 故选 A 点评 本题考查的知识点是棱锥的侧面积 基本不等式 棱柱的外接球 其中根据已知条件 得到棱锥的外接球直径等于以 10 PA PB PC 为棱的长方体的对角线 是解答本题的关键 12 专题 计算题 分析 本题考查的是斜三棱柱的侧面积求解问题 在解答时 应先结合所给信息 底面是边长为 5 的正三角形 侧棱长为 4 一条 侧棱与底面三角形两边所成的角都是 60 分析侧面图形的特点 注意从侧棱与底面三角形两边所成的角出发利用线面垂直的判定即可 获得侧棱与底面边长的关系进而问题即可获得解答 解答 解 如图 AA1 与 A1B1 A1C1 成 60 角 过 A 作 AO 底面 连接 A10 并延长 AA1 与 A1B1 A1C1 夹角相等 O 点在 B1A1C1 的平分线上 A0 底面 A1B1C1 AO B1C1 又 A1O B1C1 B1C1 面 A0A1 B1C1 AA1 BB1 CC1 所以四边形 BCC1B1 是矩形 其余两个是相等平行四边形 斜三棱柱的侧面积 4 5 2 4 5 sin60 20 20 故选 B 点评 本题考查的是斜三棱柱的侧面积求解问题 在解答的过程当中充分体现了位置关系的判断 面积公示的应用以及问题转化 的能力 值得同学们体会反思 13 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由题意判断直角三角形为等腰直角三角形 求出球的直径 然后求出半径 即可求解球的表面积 解答 解 因为正方形 ABCD 的边长为 4 中心为 M 球 O 与正方形 ABCD 所在的平面相切于 M 点 过点 M 的球的直径另一端点为 N 所以 MN 平面 ABCD 且 O MN 线段 NA 与球 O 的球面的交点为 E 且 E 恰为线段 NA 的中 点 所以 MEN 90 并且 EN EM 所以 AM MN 因为正方形 ABCD 的边长为 4 所以 AM MN 2 所以球的直径为 2 球的半径为 球的表面积为 4 2 8 故选 D 点评 本题考查球的表面积的求法 考查空间想象能力 计算能力 确定球的半径是关键 14 11 专题 计算题 分析 根据圆柱体积与球的体积之比是 3 2 确定其半径之比 进而可得圆柱的表面积与球的表面积之比 解答 解 设圆柱底面直径为 2R1 球的半径为 R2 则圆柱的体积为 2 球的体积为 圆柱体积与球的体积之比是 3 2 2 3 2 R1 R2 1 1 圆柱的表面积为 6 球的表面积 4 圆柱的表面积与球的表面积之比为 6 4 3 2 故选 D 点评 本题考查圆柱与球的体积与表面积的计算 正确运用公式是关键 属于基础题 15 专题 计算题 综合题 转化思想 分析 先设圆柱高与半径分别为 x y 圆锥底面半径为 m 圆锥高为 n 将要求的两个体积进行相比 然后利用圆锥截面的三角 形相似 化简 侧面积最大 转化为二次函数的最大值问题 解答即可 解答 解 设圆柱高与半径分别为 x y 圆锥底面半径为 m 圆锥高为 n 圆锥截面的三角形相似 S 柱侧 2xy 由 得 S 柱侧 从这个式子可以看出 当一个锥体给定后 圆柱的只与圆柱的高有关 所以 x 圆柱的侧面积最大 此时圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小 大两部分的比是 1 7 故选 D 点评 本题考查棱锥的体积 解题中 相似等腰三角形中 求得小 大三角形的高的比为 1 2 由此可见 小的与全体体积之比 为 1 8 从而得出小 大两部分之比 特别提醒 小 大之比并非高之比的立方 16 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由题意 知球心在三棱锥的底面中心 推出球的半径 求出正三棱锥的高 底面面积 即可得到球的体 积 解答 解 正三棱锥 P ABC 的外接球心为 O 且满足 球心在三棱锥的底面中心 球的半径为 1 正三棱锥的高为 1 正三棱锥的底面边长为 2 12 底面面积 S 2 sin60 正三棱锥的体积 V 故选 B 点评 本题是中档题 确定球的球心的位置是解题的关键 注意正三棱锥的体积的求法 正三角形的面积的应用 考查计算能力 空间想象能力 17 专题 计算题 分析 球面上两点之间最短的路径是大圆 圆心为球心 的劣弧的弧长 因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和 利用内接 正三棱锥 它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 经过的最 短路程为 一个半圆一个 圆即可解决 解答 解 由题意可知 球面上两点之间最短的路径是大圆 圆心为球心 的劣弧的弧长 内接正三棱锥 它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上 一个动点从三棱锥的 一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 例如动点从 A 到 S 再到 C 到 B 回到 A SOA SOC 90 COB BOA 60 则经过的最短路程为 一个半圆一个 圆 即 故选 B 点评 本题考查球的内接多面体 球面距离 考查空间想象能力 是中档题 解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算 18 专题 计算题 数形结合 转化思想 综合法 分析 如图 由正方形的性质可以求得其对角线长度是a 折起后的图形中 DE BE a 又知 BD a 由此三角形 BDE 三边已知 求出 BED 解出三角形 BDE 的面积 又可证得三棱锥 D ABC 的体积可看作面 BDE 为底 高分别为 AE AC 的两个棱 锥的体积和 解答 解 如图 由题意知 DE BE a BD a 由勾股定理可证得 BED 90 故三角形 BDE 面积是a2 又正方形的对角线互相垂直 且翻折后 AC 与 DE BE 仍然垂直 故 AE CE 分别是以面 BDE 为底的两个三角形的高 故三棱锥 D ABC 的体积为 a a2 故选 D 13 点评 本题考查棱柱 棱锥 棱台的体积 解题的关键是正确理解图形 将求几何体体积变为求两个几何体的体积 换一个角度 求解 使得解题过程变得容易 19 专题 计算题 分析 正三棱锥 S ABC 的三个侧面两两垂直 转化为三条侧棱两两互相垂直 该三棱锥的各个顶点均为棱长为 2的正方体的 顶点 通过正方体的对角线的长度 求出外接球半径 即可求解球的表面积 解答 解 在正三棱锥 S ABC 中 侧面 SAB 侧面 SAC 侧面 SBC 两两垂直 所以正三棱锥 S ABC 的三条侧棱两两互相垂直 且 SA 2 正三棱锥 S ABC 的外接球即为棱长为 2的正方体的外接球 则外接球的直径 2R 2 6 所以外接球的半径为 3 故正三棱锥 S ABC 的外接球的表面积 S 4 R2 36 故选 C 点评 本题考查的知识点是球内接多面体 球的表面积 其中根据已知结合正方体的几何特征 得到该正三棱锥是正方体的一部 分 并将问题转化为求正方体外接球表面积 是解答本题的关键 20 专题 计算题 分析 由题意可知 这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积 而这个几何体的体积是一个圆锥加一个 同底圆柱的体积 再根据题目中的条件求解即可 解答 解 这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积 圆的面积 直角腰为半径 长方形的面积 圆的周长为长 上底为宽 扇形的面积 圆的周长为弧长 另一腰则为扇形的半径 设上底为 x 则下底为 直角腰为 另一腰为整个面积式子为 解得 x 2 因为 x 0 所以 x 2 舍去 x 2 而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积 圆锥的高 下底减上底得圆 锥的高为 1 圆柱体积 Sh h 12 2 2 圆锥体积 所以整个几何体的体积为 故选 D 点评 本题考查学生的空间想象能力 和逻辑思维能力 等量之间的转换 是中档题 21 考点 球的体积和表面积 球内接多面体 2360998 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 根据数量积为零 得 ABD CBD 90 故 AC 的中点 O 为外接球的球心 AC 就是球的直径 由面面垂直的性质和勾股 定理 算出 AC2 的值 结合球的表面积公式 可得外接球的表面积 解答 解 根据题意 可知折叠后的三棱锥如右图所示 ABD CBD 90 由此可得 AC 的中点 O 即为外接球的球心 14 又 二面角 A BD C 是直二面角 即平面 ABD 平面 BCD 且 AB BD AB 平面 BCD 可得 ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形 Rt ABC 中 从而三棱锥 A BCD 的外接球的表面积 S 4 AC2 故答案为 D 点评 本题将平行四边折叠 求折成三棱锥的外接球表面积 着重考查了面面垂直的性质 球表面积公式和球内接多面体的性质 等知识 属于中档题 高考冲刺 空间几何体 参考答案与试题解析 一 专题 计算题 转化思想 分析 棱长为的正四面体内切一球 那么球 O 与此正四面体的四个面相切 即球心到四个面的距离都是半径 由等体积法 求出球的半径 求出上面三棱锥的高 利用相似比求出上部空隙处放入一个小球 求出这球的最大半径 解答 解 由题意 此时的球与正四面体相切 由于棱长为的正四面体 故四个面的面积都是 3 又顶点 A 到底面 BCD 的投影在底面的中心 G 此 G 点到底面三个顶点的距离都是高的倍 又高为 3 故底面中心 G 到底面顶点的距离都是 2 由此知顶点 A 到底面 BCD 的距离是 2 此正四面体的体积是 2 3 2 又此正四面体的体积是 r 3 4 故有 r 上面的三棱锥的高为 原正四面体的高为 2 所以空隙处放入一个小球 则这球的最大半径为 a 15 a 故选 C 点评 本题考查球的体积和表面积 用等体积法求出球的半径 熟练掌握正四面体的体积公式及球的表面积公式是正确解题的知 识保证 相似比求解球的半径是解题的关键 2 专题 计算题 分析法 分析 由题意知 若设这三个正方体的棱长分别为 a b c a b c 可得 a b c 满足关系式 a2 b2 c2 94 进而可得 a b c 的范围 又由 3c2 a2 b2 c2 94 则 6 c 10 即 c 只能取 9 8 7 6 逐个验证即得 a b c 的值 进而得到这三个正方体 的体积之和 解答 解 设这三个正方体的棱长分别为 a b c 由题意知 6 a2 b2 c2 564 即 a2 b2 c2 94 不妨设 1 a b c 10 从而 3c2 a2 b2 c2 94 即 c2 31 故 6 c 10 c 只能取 9 8 7 6 若 c 9 则 a2 b2 94 92 13 易知 a 2 b 3 得一组解 a b c 2 3 9 若 c 8 则 a2 b2 94 64 30 显然 b 5 但 2b2 30 b 4 从而 b 4 或 5 若 b 5 则 a2 5 无解 若 b 4 则 a2 14 无解 此时无解 若 c 7 则 a2 b2 94 49 45 有唯一解 a 3 b 6 若 c 6 则 a2 b2 94 36 58 此时 2b2 a2 b2 58 b2 29 故 b 6 但 b c 6 故 b 6 此时 a2 58 36 22 无解 综上 共有两组解或 体积为cm3 或cm3 故答案为 A 点评 本小题主要考查正方体的表面积 体积 考查化归与转化的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力 3 专题 计算题 证明题 综合题 分析 根据线面垂直的判定与性质 得到 A 项不错 根据点 A 到平面 BEF 的距离不变 以及三角形 BEF 面积不变 得到三棱锥 A BEF 的体积为定值 得 B 项不错 根据面面平行的性质 得到 C 项不错 根据异面直线所成角的定义 可得 D 项是错的 16 解答 解 对于 A 可得出 AC 平面 BB D D 而 BE 是平面 BB D D 内的直线 因此 AC BE 成立 故 A 项不错 对于 B 点 A 到平面 BEF 的距离也是点 A 到平面 BB D D 的距离 等于正方体面对角线的一半 而三角形 BEF 的边 且 EF 到 B 点距离为 1 所以其面积 S 1 为定值 故 VA BEF 故 B 项不错 对于 C 因为平面 A B C D 平面 ABCD EF 平面 A B C D 所以 EF 平面 ABCD 故 C 不错 对于 D 当 EF 变化时 异面直线 AE BF 所成的角显然不是一个定值 故 D 项错误 故选 D 点评 本题以正方体为例 要求我们判断直线与平面 直线与直线的位置关系 以及求三棱锥的体积 着重考查了线面垂直的判 定与性质 面面平行的性质和锥体体积公式等知识点 属于中档题 4 专题 常规题型 证明题 分析 根据空间两条平行线的性质 结合等角定理及其推论 可得 不正确 根据平面的基本性质 得到 正确 根据四棱柱 的分类 得到 长方体 正四棱柱 不正确 根据线面平行的判定与性质和面面平行的判定定理 若在 中加上 b 平面 这个 前提 就是真命题 少了这一条 就不正确 根据线面垂直的判定与性质 可以证明出 是真命题 由此得到正确答案 解答 解 对于 在空间中 若 OA O A OB O B 则 AOB A O B 或 AOB A O B 180 故 不正确 对于 因为直角梯形的上下底所在直线是两条平行线 故直角梯形是平面图形 所以 正确 对于 长方体是底面为矩形的直四棱柱 不一定是正四棱柱 故 长方体 正四棱柱 不正确 对于 a b 是两条异面直线 若 a 平面 a 平面 b 平面 b 平面 则 但题设中没有 b 平面 这个前提 就不能得到平面 故 不正确 对于 在四面体 P ABC 中 PA BC PB AC 设点 A 在面 PBC 内的射影为 H 连接 AH PH 则 AH 面 PBC BC 面 PBC BC AH PA BC AH PA 是平面 PAH 内的相交直线 BC 面 PAH 结合 PH 面 PAH 可得 PH BC 同样的方法 可以证出 CH PB 从而得到 PBC 的垂心 故 正确 综上所述 正确的命题是 共 2 个 故选 B 点评 本题结合空间中的几个命题真假的判断 考查了线面平行和线面垂直 面面平行等空间中直线与平面之间的位置关系的知 识点 属于基础题 5 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 确定直观图的形状 计算外接球的半径 即可得到结论 解答 解 由三视图可知 这是侧面 ACD ABC 高的三棱锥 AC 2 OB 1 所以三棱锥的体积为 设外接球的圆心为 0 半径为 x 则 在直角三角形 OEC 中 OE2 CE2 OE2 即 整理得 解得半径 所以外接球的表面积为 17 所以 A C D 都不正确 故选 B 点评 本题考查三视图 考查直观图 确定直观图的形状 计算外接球的半径是关键 6 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 建立空间直角坐标系 分别写出相关点和相关向量的坐标 再利用向量数量积运算的夹角公式计算两直线方向向量的夹角 余弦值 即可得到结论 解答 解 以 D 为原点 DA DC DD1 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 设正方体的边长为 2 则 C 0 2 0 E 2 0 1 F 2 2 1 D1 0 0 2 2 2 1 2 2 1 D1F 与 CE 所成角的余弦值为 故选 A 点评 本题考查了空间异面直线所成的角的求法 考查向量数量积运算及夹角公式的运用 属于中档题 7 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列 4 个命题中正确的个数为 若 m n 则 m n 若 m n 则 m n 若 m n 且 m n 则 若 m n 是异面直线 m n m 则 n A 1B 2C 3D 4 考点 平面与平面垂直的判定 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面平行的判定 2361006 分析 根据空间中直线与直线位置关系的定义 我们可以判断 的对错 根据面面垂直 线面垂直的性质及线线垂直的定义 我 们可以判断 的对错 根据面面垂直的判定方法我们能判断 的正误 根据线面平行的判定方法我们可以判断 的真假 进而得到 答案 解答 解 若 m n 则 m 与 n 可能平行也可能异面 故 错误 若 m 则 m 或 m 又由 n 则 m n 故 正确 18 若 m n 且 m n 则 与 可能平行也可能相交 故 错误 若 m n 是异面直线 m n m 则 n 与 可能平行也可能相交 故 错误 故选 A 点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面平行的判定 熟练掌握空间 线面关系的定义 判定 性质 建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键 8 专题 计算题 分析 球面上两点之间最短的路径是大圆 圆心为球心 的劣弧的弧长 因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和 利用内接 正三棱锥 它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上 一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 经过的最 短路程为 一个半圆一个 圆即可解决 解答 解 由题意可知 球面上两点之间最短的路径是大圆 圆心为球心 的劣弧的弧长 内接正三棱锥 它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上 一个动点从三棱锥的 一个顶点出发沿球面运动 经过其余三点后返回 例如动点从 A 到 S 再到 C 到 B 回到 A SOA SOC 90 COB BOA 60 则经过的最短路程为 一个半圆一个 圆 即 故选 B 点评 本题考查球的内接多面体 球面距离 考查空间想象能力 是中档题 解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算 9 专题 计算题 证明题 分析 先求球的半径 确定小圆中 ABC 的特征 作出直线 OA 与截面 ABC 所成的角 然后解三角形求出直线 OA 与截面 ABC 所成 的角 即可 解答 解 表面积为 48 的球面 它的半径是 R 则 48 4 R2 R 2 因为 AB 2 BC 4 ABC 60 所以 BAC 90 BC 为小圆的直径 则平面 OBC 平面 ABC D 为小圆的圆心 所以 OD 平面 ABC OAD 就是直线 OA 与截面 ABC 所成的角 OD AD 2 cos OAD 故选 D 19 点评 本题考查球的有关计算问题 直线与平面所成的角 考查学生空间想象能力 逻辑思维能力 是中档题 10 专题 转化思想 分析 根据正三棱锥的体积为定值 可知 P 到三棱锥 S ABC 的侧面 SAB 侧面 SBC 侧面 SAC 的距离和为定值 又 P 到三棱锥 S ABC 的侧面 SAB 侧面 SBC 侧面 SAC 的距离依次成等差数列 故 P 到侧面 SBC 的距离为定值 从而得解 解答 解 设点 P 到三个面的距离分别是 d1 d2 d3 因为正三棱锥的体积为定值 所以 d1 d2 d3 为定值 因为 d1 d2 d3 成等差数列 所以 d2 为定值 所以点 P 的轨迹是平行 BC 的线段 故选 A 点评 本题以等差数列为载体 考查正三棱锥中的轨迹问题 关键是分析得出 P 到侧面 SBC 的距离为定值 11 专题 综合题 分析 对于 可以用线面垂直的判定定理及线面平行的性质定理判断 对于 由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可以判断 对于 由线面垂直的性质定理可以判断 解答 解 由 l 可以知道过 l 的平面与 相交 设交线为 m 则 l m 又 l 所以 m m 故 正确 由 l 则 l 与 可以平行 相交垂直 故错误 l 则 l 与 平行或在 内 而条件是 l 表示不在 内也不在 内的直线 故只有 l 正确 故选 A 点评 本题考查线面平行的性质定理 线面垂直的判定定理 面面垂直的判定定理 解答时要注意判定定理与性质定理的应用 12 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 三棱锥 A BCD 中 侧棱 AB AC AD 两两垂直 补成长方体 两者的外接球是同一个 长方体的对角线就是球的直径 求 出长方体的三度 转化为对角线长 即可求三棱锥外接球的表面积 解答 解 三棱锥 A BCD 中 侧棱 AB AC AD 两两垂直 补成长方体 两者的外接球是同一个 长方体的对角线就是球的直径 侧棱 AC AC AD 两两垂直 ABC ACD ADB 的面积分别为 AB AC AD AC AB AD AB AC 1 AD 球的直径为 20 半径为 三棱锥外接球的表面积为 6 故选 C 点评 本题考查三棱锥外接球的表面积 三棱锥转化为长方体 两者的外接球是同一个 以及长方体的对角线就是球的直径是解 题的关键所在 13 专题 综合题 分析 将两异面直线平移到空间一点 O 使 l l m m l 与 m 确定一平面 根据面面平行的判定定理可知 从而 反之成立 最后根据 若 p q 为真命题且 q p 为真命题 则命题 p 是命题 q 的充要条件 进行判定即可 解答 解 存在异面直线 l m 使得 l l m m 过空间一点 O 作 l l m m 两异面直线平移到空间一点时 两直线相交 l 与 m 确定一平面 l l m m l l m m 反之也成立 存在异面直线 l m 使得 l l m m 是 的充要条件 故选 C 点评 本题主要考查了平面与平面平行的判定 以及必要条件 充分条件与充要条件的判断 属于中档题 14 专题 计算题 分析 判断几何体是一个正四棱锥 四棱锥的底面是一个边长为正方形 侧视图是一个斜边长为的等腰直角三角形 求出 四棱锥的高 根据四棱锥的体积公式写出体积 解答 解 由三视图知