基本不等式：ab≤a+b.ppt

1 探索并了解基本不等式的证明过程 2 能利用基本不等式证明简单不等式 3 熟练掌握基本不等式及变形应用 4 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 1 本课难点是利用基本不等式证明不等式 2 利用基本不等式求最值是本课热点 3 多以选择题 填空题形式考查 偶以解答题形式考查 1 由不等式性质可知 对任意a b R a b 20 因此a2 b22ab 什么时候等号能成立呢 当且仅当时 取等号 2 把一个物体放在天平的一个盘子上 在另一个盘子上放砝码使天平平衡 称得物体的质量为a 如果天平制造得不精确 天平的两臂长略有不同 其他因素不计 那么a并非物体的实际质量 不过 我们可作第二次测量 把物体调换到天平的另一个盘上 此时称得物体的质量为b 那么如何合理地表示物体的质量呢 a b 1 基本不等式 1 重要不等式 对于任意实数a b 都有a2 b22ab 当且仅当时 等号成立 2 基本不等式 形式 成立的前提条件 等号成立的条件 当且仅当时取等号 a b a 0 b 0 a b 2 应用基本不等式求最值如果x y都是正数 那么 1 若积xy是定值P 那么当时 和x y有 2 若和x y是定值S 那么当时 积xy有 算术平均数 几何平均数 x y 最小值 x y 最大值 1 不等式m2 1 2m中等号成立的条件是 A m 1B m 1C m 1D m 0解析 m2 1 2m时 m 1 故选A 答案 A 答案 B 3 设a b R a 3 b 则2a 2b的最小值是 2 a 0 b 0 c 0 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 即a2 b2 c2 ab bc ca 由于a b c为不全相等的正实数 故等号不成立 a2 b2 c2 ab bc ca 利用基本不等式时 应按照 一正 二定 三相等 的原则创造条件 检查条件是否具备 再利用基本不等式解之 题后感悟 1 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 拆项 添项 配凑 变形 等方法创设应用基本不等式的条件 2 等号取不到时 注意利用求函数最值的其他方法 如利用单调性 数形结合 换元法 判别式法等 当且仅当x 8 2 y 1 时 即x 12 y 3时上式取等号 故当x 12 y 3时 x 2y min 18 题后感悟 在利用基本不等式求最值时 除注意 一正 二定 三相等 的条件外 最重要的是构建 定值 恰当变形 合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧 3 设x 0 y 0 且2x 8y xy 求x y的最小值 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量x 万件 与年促销费t 万元 之间满足3 x与t 1成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是1万件 已知2012年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为3万元 每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150 与平均每件促销费的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销售完 1 将2012年的利润y 万元 表示为促销费t 万元 的函数 2 该企业2012年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 题后感悟 不等式应用的特点是 1 问题的背景是人们关心的社会热点问题 如 物价 销售 税收 等 题目往往较长 解题时需认真阅读 从中提炼出有用信息 建立数学模型 转化为数学问题求解 2 在应用基本不等式解决实际问题时 应注意如下思路和方法 先理解题意 设出变量 一般把要求最值的量定为函数 建立相应的函数关系 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题 在定义域内 求出函数的最大值或最小值 正确写出答案 4 某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉6吨 每吨面粉的价格为1800元 面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元 购买面粉每次需支付运费900元 求该厂多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 解析 设该厂每隔x天购买一次面粉 其购买量为6x吨 由题意可知 面粉的保管费及其他费用为3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 设平均每天所支付的总费用为y1元 1 利用基本不等式求最值时 应注意的问题 1 各项均为正数 特别是出现对数式 三角函数式等形式时 要认真判断 2 求和的最小值需积为定值 求积的最大值需和为定值 3 确保等号成立 以上三个条件缺一不可 可概括为 一正 二定 三相等 特别提醒 连续应用基本不等式时 要注意各不等式取等号时条件是否一致 若不能同时取等号 则不能求出最值 2