高二数学同步测试—选修2-1空间向量与立体几何2

A A1 D C B B1 C1 5 图 命题人 罗吉宏 2012 12 30 选修选修 2 12 1 空间向量与立体几何期末复习卷空间向量与立体几何期末复习卷 说明说明 本试卷分第一卷和第二卷两部分 第一卷 70 分 第二卷 80 分 共 150 分 时间 120 分钟 温馨提示 同学们可于温馨提示 同学们可于 20132013 年年 1 1 月月 1 1 日后登录佛山三中数学科组网页查阅试题答案 自行订正 日后登录佛山三中数学科组网页查阅试题答案 自行订正 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代号填在题后的括号内 每小一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代号填在题后的括号内 每小 题题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 在正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 则AB1与C1B所成的角的大小为 2 A 60 B 90 C 105 D 75 2 如图 ABCD A1B1C1D1是正方体 B1E1 D1F1 则BE1与DF1所成角的余弦值是 4 11B A A B C D 17 15 2 1 17 8 2 3 3 下列等式中 使 M A B C 四点共面的个数是 B OMOAOBOC 111 632 OMOAOBOC 0 MAMBMC 0OMOAOBOC A 1 B 2 C 3 D 4 4 若 A B 当取最小值时 的值等于 C 12 5 xxx 2 2 1 xx BA x A B C D 19 7 8 7 8 14 19 5 已知是各条棱长均等于的正三棱柱 是侧棱的中 111 ABCABC aD 1 CC 点 点到平面的距离 1 C 1 AB D A B C D a 4 2 a 8 2 a 4 23 a 2 2 6 在棱长为 的正方体中 则平面与1 1111 ABCDABC D 1 ABC 平面间的距离 11 AC D A B C D 6 3 3 3 3 32 2 3 7 在三棱锥P ABC中 AB BC AB BC PA 点O D分别是AC PC的中点 OP 底面ABC 则直线OD与平面PBC 2 1 所成角的正弦值 A B C D 6 21 3 38 60 210 30 210 8 在直三棱柱中 底面是等腰直角三角形 侧棱 D E 分别是与的 111 CBAABC 90 ACB2 1 AA 1 CCBA1 中点 点 E 在平面ABD 上的射影是的重心 G 则与平面ABD 所成角的余弦值 ABD BA1 A B C D 3 2 3 7 2 3 7 3 9 正三棱柱的底面边长为 3 侧棱 D 是 CB延长线上一点 且 则二面角 111 CBAABC 3 2 3 1 AABCBD 的大小 BADB 1 A B C D 3 6 6 5 3 2 10 正四棱柱中 底面边长为 侧棱长为 4 E F 分别为棱AB CD 的中点 1111 DCBAABCD 22 则三棱锥的体积 V GBDEF 11 EFDB A B C D 6 6 3 316 3 16 16 二 填空题 请把答案填在题中横线上 每小题二 填空题 请把答案填在题中横线上 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 11 已知 A 3 5 7 B 2 4 3 则 AB 在坐标平面 yoz 上的射影的长度为 12 若向量 则这两个向量的位置关系是 94 2kjibkjia 13 已知空间四边形 点分别为的中点 且 用 表示 OABC M N OA BCcCObBOaAO a b c NM 则 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 NM 14 若 且 则与的夹角度数为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 ab 57 ba 4 ab 57 ba a b 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共 8080 分 分 15 12 分 已知棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M 分别是A1C1 A1D 和B1A上任一点 1 求证 平面 A1EF 平面B1MC 2 求平面A1BC1与平面ABCD 所成二面角余弦值的大小 16 13 分 如图 已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P PA 平面 ABCD E F 分别是 AB PC 的中点 1 求证 EF 平面 PAD 2 求证 EF CD 3 若 PDA 45 求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小 17 13 分 已知棱长为 1 的正方体AC1 E F 分别是B1C1 C1D 的中点 1 求证 E F D B共面 2 求点A1到平面的BDEF 的距离 3 求直线A1D 与平面BDEF 所成的角 18 14 分 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点E为棱AB的中点 求 D1E与平面BC1D所成角的余弦值大小 二面角D BC1 C的余弦值大小 异面直线B1D1与BC1之间的距离 A1 B1 C 1 D 1 A B C D E x y z 19 14 分 已知斜三棱柱 在底面上的射影恰为的中点 又知 111 ABCABC 90BCA 2ACBC 1 AABCACD 11 BAAC 求证 平面 1 AC 1 ABC 求到平面的距离 1 CC 1 A AB 求二面角的余弦值 1 AABC B A C D 1 A 1 B 1 C x y z 20 14 分 已知矩形 ABCD 中 将 ABD 沿 BD 折起 使点 A 在平面 BCD 内的射影落在 DC12 ADAB 上 E F G 分别为棱 BD AD AB 的中点 I 求证 DA 平面 ABC II 求点 C 到平面 ABD 的距离 III 求二面角 G FC E 的余弦值 2012 12 302012 12 30 选修选修 2 12 1 空间向量与立体几何期末复习卷参考答案空间向量与立体几何期末复习卷参考答案 一 选择题 C 题号12345678910 答案BABCABDBAC 二 填空题 11 12 13 14 101 ab 1 2 bca 0 三 解答题 15 1 略 2 解 如图建立空间直角坐标系 1 1 0 0 1 1 11C ABA1 设 分别是平面A1BC1与平面ABCD 的法向量 1 n 2 n 由 可解得 1 1 1 0 11 BAn 1n 0 111 CAn 易知 0 0 1 所以 2 n 21 21 21 cos nn nn nn 3 3 由图可知 平面A1BC1与平面ABCD 所成的二面角为锐角 所以平面A1BC1与平面ABCD 所成的二面角余弦值大小为 3 3 16 12 分 证 如图 建立空间直角坐标系 A xyz 设 AB 2a BC 2b PA 2c 则 A 0 0 0 B 2a 0 0 C 2a 2b 0 D 0 2b 0 P 0 0 2c E 为 AB 的中点 F 为 PC 的中点 E a 0 0 F a b c 1 0 b c 0 0 2c 0 2b 0 EF AP AD 与 共面 EF 1 2 AP AD EF AP AD 又 E 平面 PAD EF 平面 PAD 2 2a 0 0 CD 2a 0 0 0 b c 0 CD EF CD EF z y x D1 A1 D B1 C1 C B A 3 若 PDA 45 则有 2b 2c 即 b c 0 b b EF 0 0 2b cos 45 AP EF AP 2b2 2b 2b 2 2 EF AP 平面 AC 是平面 AC 的法向量 AP AP EF 与平面 AC 所成的角为 90 45 EF AP 17 解 1 略 2 如图 建立空间直角坐标系 D xyz 则知B 1 1 0 1 2 1 0 1 1 2 1 FE 设 的法向量是平面BDEFzyxn 1 2 1 0 0 1 1 DFDBDFnDBn由 得则 0 2 1 0 zyDFn yxDBn 2 1 yz yx 令 2 1 1 1 1 ny得 设点A1在平面BDFE 上的射影为 H 连结A1D 知A1D 是平面BDFE 的斜线段 2 3 2 1 1 10 1 1 1 0 1 1 nADDA 1 2 2 2 cos 2 2 2 3 2 2 3 cos 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1111 1 1 11 222222 1 HADADAHA nDA nDA HADA nODA 又 即点A1到平面BDFE 的距离为 1 3 由 2 知 A1H 1 又A1D 则 A1HD 为等腰直角三角形 2 45 11 HDADHA 45 111 11 DHABDFEDADHA BDFEDAHDBDFEHA 所成的角与平面就是直线 上的射影在平面是平面 A1 B1 C 1 D 1 A B C D E x y z 18 解 建立坐标系如图 则 2 0 0A 2 2 0B 0 2 0C 1 2 0 2A 1 2 2 2B 1 0 0 2D 2 1 0E 1 2 2 2AC 1 2 1 2D E 0 2 0AB 1 0 0 2BB 不难证明为平面BC1D的法向量 1 AC 11 11 11 3 cos 9 AC D E AC D E AC D E A D1E与平面BC1D所成的角的余弦值大小为 3 9 分别为平面BC1D BC1C的法向量 1 AC AB 二面角D BC1 C的余弦值大小为 1 1 1 3 cos 3 AC AB AC AB AC AB A 3 3 B1D1 平面BC1D B1D1与BC1之间的距离为 11 1 2 3 3 AC BB d AC A 19 解法 解法 平面 平面平面 1 1 AD ABC 11 AAC C ABC 又 平面 得 又 BCAC BC 11 AAC C 1 BCAC 11 BAAC 平面 1 AC 1 ABC 四边形为菱形 故 11 ACAC 11 AAC C 1 2AAAC 又为中点 知 取中点 则DAC 1 60A AC 1 AAF 平面 从而面面 1 AA BCF 1 A AB BCF 过作于 则面 在中 故 即到平面的距离为CCHBF HCH 1 A ABRt BCF 32 BCCF 2 21 7 CH 1 CC 1 A AB 2 21 7 CH 过作于 连 则 从而为二面角的平面角 在中 H 1 HGAB GCG 1 CGAB CGH 1 AABC 1 Rt ABC B A C 1 A 1 B 1 C D G H F 在中 故二面角的余弦值为 1 2ACBC 2CG Rt CGH 42 7 sin CH CG CGH 1 AABC 42 7 解法解法 如图 取的中点 则 2ABE DEBCBCAC DEAC 又平面 以为轴建立空间坐标系 1 AD ABC 1 DE DC DA x y z 则 0 1 0 A 0 1 0 C 2 1 0 B 1 0 0 At 1 0 2 Ct 1 0 3 ACt 由 知 1 2 1 BAt 2 0 0 CB 1 0AC CB 1 ACCB 又 从而平面 11 BAAC 1 AC 1 ABC 由 得 设平面的法向量 2 11 30ACBAt 3t 1 A AB 为 nx y z 1 3 0 1 AA 2 2 0 AB 1 30 220 n AAyz n ABxy 设 则 6 分1z 33 1 n 点到平面的距离 1 C 1 A AB 1 2 21 7 ACn n d 设面的法向量为 1 ABC mx y z 1 3 0 1 CA 2 0 0 CB 设 则 故 1 30 20 m CAyz m CBx 1z 3 0 1 m 7 7 cos m n mn m n 由图可知 二面角为锐角 1 AABC 故二面角的余弦值为 1 AABC 42 7 20 解 如图 以 CB 所在直线为 x 轴 DC 所在直线为 y 轴 过点 C 平面 BDC 方向向上的法向量为 Z 轴建立空间直 角坐标系 则 C 0 0 0 A 0 B 1 0 0 2 2 2 2 D 0 0 E 0 F 0 2 2 1 2 2 4 23 4 2 G 2 1 4 2 4 2 I 证明 001 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 CBBADA B A C D 1 A 1 B 1 C x y z 且BCBBACBDABADA 00000 2 1 2 1 0 DA 平面 ABC II 解 设点 C 到平面 ABD 的距离为 d 2 2 2 2 0