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文档简介

复合函数 1 复合函数的定义 定义 如果y是u的函数 记为y f u u又是x的函数 记为u g x 如果g x 的值域与f u 的定义域的交集不空 则确定了一个y关于x的函y f g x 这时y叫x的复合函数 其中u叫中间变量 y f u 叫外层函数 u g x 叫内层函数 即 x u y 2 复合函数的定义域 若复合函数y f g x 外函数y f u 内函数u g x 1 f x 的定义域就是g x 的值域 若f x 的定义域为D 则y f g x 的定义域是使有意义的x的取值集合 2 y f g x 的定义域为D 则g x 在D上的取值范围 g x 的值域 即为f x 的定义域 3 复合函数的性质 引理1 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是增函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是增函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 引理2 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是减函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是减函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 引理3 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是增函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是减函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是减函数 引理4 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是减函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是增函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是减函数 复合函数的单调性 规律 当两个函数的单调性相同时 其复合函数是增函数 当两个函数的单调性不相同时 其复合函数是减函数 同增异减 例题1 求的单调区间 复合函数的单调性小结 复合函数y f g x 的单调性可按下列步骤判断 1 将复合函数分解成两个简单函数 y f u 与u g x 2 确定函数的定义域 3 分别确定分解成的两个函数的单调性 4 若两个函数在对应的区间上的单调性相同 即都是增函数 或都是减函数 则复合后的函数y f g x 为增函数 5 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 即一个是增函数 而另一个是减函数 则复合后的函数y f g x 为减函数 复
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