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第七章库存控制 应用运筹学 浙江大学管理学院杜红博士副教授 库存控制的背景确定性存储模型随机性存储模型 库存控制背景 库存问题提出供需不平衡是导致库存的根源库存涉及企业系统所有输入 转换和输出各要素 其中也包括信息持有库存的原因应付各种变化 起到应急的缓冲作用减少季节性需求波动 使生产过程均衡 平稳工序间在制品库存维持生产过程的连续性适量库存可最大限度缩短对顾客的相应时间 库存控制背景 库存模型 库存模型的基本问题 如何使库存相关的总成本最小 应该库存什么商品 补充库存时 每次的补充量是多少 应该间隔多长时间来补充库存 库存控制背景 库存问题基本概念需求 生产消费需求 从存储系统中减少需求量D 单位时间的需求 需求率 连续输出与间断输出均匀输出与非均匀输出确定输出与随机输出供应量Q 从供应商或生产中补充到存储系统提前时间 提前备货 订货 的时间拖后时间 订货推迟时间经济批量 平均成本最低时每次订货量Q0 库存控制背景 成本C 持有成本HC 每存储单位物质单位时间存储费用订货成本RC 每订一次货的订货费用 与量无关购置成本UC 购买单位商品的代价 价格 缺货成本AC 不允许缺货时 缺货损失费无限大目标函数 单位时间 或货物 平均成本或费用最小变量是单位时间内订货次数和每一次的订货量各类成本和需求的单位时间必须保持一致价格不变时购置成本对最优解没有影响不允许缺货时 缺货损失费也可不考虑 库存控制背景 存储策略 什么时间补充 补充多少 T0循环策略 计划期T时间内每隔T0时间补充一次 每次补充一个批量Q 补充后库存水平达到S s S 策略 s为最低库存量 存储量X低于s时补充 补充量Q S X 使存储水平达到S T0 s S 策略 每经过T0时间检查存储量X 存储量X低于s时补充 补充量Q S X 使存储水平达到S 库存控制背景 单位时间平均总成本 订货量 周期关系离开经济订货量成本曲线在经济订货量附近非常浅平 在实际中可以在这附近选择一个合理的数量作为订货规模 实际成本将会与最低成本非常接近 VC Q T 总成本 持有成本 订货成本 Q0 T0 库存问题求解的一般步骤 区分确定性库存问题和随机性库存问题分析问题的供需特性 分析系统的成本构成 主要包括 订货费 存储费 缺货费 购买费用等 确定问题的存储策略 建立问题的数学模型 求使平均费用最小的存储策略 最优存储量 最佳补充时间 最优订货量等 确定型库存模型 模型一 不允许缺货 瞬时到货模型 又称基本经济批量 EOQ 模型 模型二 不允许缺货 逐渐补充库存模型 又称经济生产批量模型 模型三 允许有计划缺货 瞬时到货模型 模型四 允许有计划缺货 逐渐补充库存模型 模型五 价格有折扣的EOQ模型 确定性存储模型 一 模型一 不允许缺货 瞬时到货模型基本假设 用户的需求是连续均匀的 需求率D为常数 当存储降至0时 可以立即得到补充缺货损失费为无穷大 不允许缺货每次订货量不变 记为Q 订货成本RC不变单位存储费不变 即HC为常数 Q 存储量 T 2T 3T t Q 2 4T 确定性存储模型 一 不允许缺货模型D 单位时间需求量 消耗速度 RC 每次订货成本HC 单位产品单位时间存储费用平均存货水平 Q 2使单位时间总平均费用最小的单位时间内次数N0 D Q0订货周期T0 Q0 D T Q 斜率 D Q 2 EOQ Economicorderingquantity 经济批量公式推导 每次订货量Q Q D TT时间内平均存货量为Q 2每次订货成本RC 单位购买价格UC T时间内的持有成本 HC T Q 2总成本C RC HC T Q 2 UC Q单位时间总平均成本VC C T RC D Q HC Q 2 UC DVC对Q求导 并令导数为0 得到Q0此时 持有成本 订货成本 T Q 斜率 D Q 2 确定性存储模型 一 不允许缺货模型举例某企业按合同每年需提供D个产品 不许缺货 假设每一周期企业需装配费RC元 存储费每年每单位产品为HC元 问全年应分几批供货才能使装配费 存储费两者之和最少 本例求解 按年计算最小成本 设全年分N次供货 每批生产量Q D N生产周期为1 N年 每隔1 N年供货一次 每个周期内平均存储量Q 2 存储费用为 HC Q 2 1 N 年 全年存储费 HC Q 2全年装配费 RC N RC D Q全年总费用 C Q HC Q 2 RC D Q求C Q 的最小值 可得到最佳批量Q0 批次N0 周期T0 确定性存储模型 一 例加入一个固定提前期某商店经售甲商品 成本单价500元 年存储费用为成本的20 年需求量为365件 需求为均匀 甲商品的一次定购费用为20元 可以一次性到货 但需要提前10天订货 求经济批量 EOQ 和最低成本 变动成本 T Q 斜率 D Q 2 LT HC 500 20 100RC 20D 365EOQ Q0 12 08C0 HC Q0 2 2 1208 再订货水平ROL LT D 10 365 365 10 ROL 如果LT T ROL ROL LT D 已订货但尚未到货的量 LT 确定性存储模型 二 模型二 不允许缺货 生产需一定时间 生产系统 经济生产批量 基本假设 除供货 生产 需要一定时间外 其余与模型一相同设供货 生产 批量为Q 所需时间为t 速度P Q t需求速度为D D P 供货 生产 的产品一部分满足需剩余部分才作为存储 生产速度为单位时间P件产品 需求速度为单位时间D件产品 存储增加速度为单位时间 P D 件产品 t时间后库存最大停止生产 T时间后库存为0重新生产 确定性存储模型 二 RC 每次订货成本或每次生产准备成本HC 单位时间单位商品的存储费用D 单位时间需求P 生产或供应速度 Q D T D T P t C HC P D T t 2 RC T 模型二的推导 在 0 t 区间内 存储以P D的速度增加在 t T 区间内存储以D的速度减少从图中可知 S P D t D T t 即 P t D T Qt时间内的供应量等于T时间内的需求量T时间内的平均存储量 S 2 P D t 2 注释 模型二的推导 T时间内的平均存储量 S 2 P D t 2T时间内存储费用 HC S 2 TT时间订货或生产准备费用 RC单位时间总费用 t D T P C T RC HC S 2 T T对C T 求极小值 Q0 D T0 可得模型二结果 思考 在模型一基础上加入一个固定的订货提前期时 对经济批量没有影响 如 如果推迟订货 情况会发生什么变化 HC 500 20 100RC 20D 365EOQ Q0 12 08C0 HC Q0 2 2 1208 确定性存储模型 三 模型三 允许缺货 需要补足 生产时间很短 立刻可以补充 基本假设 企业可以在存储降至0后 还可以再等一段时间再订货 订货后立刻可以得到补充 前提是顾客遇到缺货时损失很小 缺货成本为AC 并且会耐心等待直到新的补充到来 允许缺货从经济的观点来看对企业是有利的 确定性存储模型 三 模型三 允许缺货 需要补足 生产时间很短 立刻可以补充 S 存储量 T 2T t Q S Q 0 t2 t1 最大存储量 St1为不缺货时间t1 S Dt2为缺货等待时间周期T t1 t2t2 T t1每次订货量 Q最大缺货量 Q S 到货后马上全部提供 t1时间平均存储量 S 2t2时间平均缺货量 t2 D 2 D S 2 t2 D 2 模型三 允许缺货 需要补足 生产时间很短 立刻可以补充 在相同的时间段落里 存储量的减少 可节省存储费用允许缺货的订货次数比不允许缺货时的订货次数减少 可少付几次订货费用 模型三 允许缺货 需要补足 生产时间很短 立刻可以补充 模型三的推导 T时间内存储费用 t1 S D HC S 2 t1 HC S2 2DT时间订货费用 RCT时间缺货费用 AC t2 D 2 t2 AC T t1 2 D 2 AC D T S 2 2D单位时间总平均费用 C T S HC S2 2D AC D T S 2 2D RC T对C T S 求极小值 可得模型三结果 t1 S D 注释 模型三的推导 确定性存储模型 四 模型四 允许缺货 需要补足 生产或供应需要时间 速度为P P D 基本假设 0 T 为一个订货周期 0 t2 存储量为0 t1 t3 为生产时间 其中 t1 t2 除满足需求外 还需补足 0 t1 时间内的缺货 t2 t3 时间内满足需求后的货物进入存储 存储量以 P D 的速度增加 S为储量 t3时刻达到最大 停止进货 t3 T 存储量以需求率D减少 模型四 允许缺货 生产需要一定时间 模型1 4回顾 模型一 不允许缺货 生产时间很短 T Q 斜率 D Q 2 S 最大库存 单位时间内平均变动成本 模型1 4回顾 模型二 不允许缺货 生产需要一定时间 模型1 4回顾 模型三 允许缺货 生产时间很短 模型1 4回顾 模型四 允许缺货 生产需要一定时间 模型1 4总结 模型一 模型二 模型三 模型四 存储量 S t3 T t S Q 0 t2 t1 确定性存储模型 模型五 价格有折扣的存储问题货物单价随订购量而变化 其余与模型一相同记单价为K Q C Q 为平均单位货物费用如K Q 按三个数量等级变化 确定性存储模型 五 当订购量为Q时 一个周期内所需费用为 确定性存储模型 五 平均每单位货物所需费用为 C1 Q C2 Q C3 Q 不考虑定义域的导函数相等 可解得Q0 请思考 为什么不用单位时间 此时Q0是否为经济批量 定购批量不同 周期不一样 Q0不一定是经济批量 确定性存储模型 五 平均每单位货物所需费用为 C Q Q Q2 Q1 C1 Q C2 Q C3 Q 确定性存储模型 五 如果Q0 Q1计算出C1 Q0 C2 Q1 和C3 Q2 求min C1 Q0 C2 Q1 C3 Q2 相应的Q值为经济批量Q 如果Q1 Q0 Q2计算出C2 Q0 和C3 Q2 求min C2 Q0 C3 Q2 相应的Q值为经济批量Q 如果Q0 Q2则取Q 为Q0 确定性存储模型 五 例7 5价格有折扣的EOQ模型计算某企业每年需某种元件5000个 每次订购费50元 保管费每件每年1元 不允许缺货 元件单价K随采购数量不同而有变化 求经济批量 利用EOQ公式计算Q0 分别计算每次订购707个和1500个的单位成本因为C 1500 C 707 因此Q 1500 个 确定性存储模型 五 例7 6持有成本随价格变动某产品价格为500元 每件一年的存储费为价格的20 每次订货费为200元 据预测每年的需求量为300件 生产厂商为促销规定 如果一次定购量达到或超过50件 每件售价降至480元 如果一次订购量达到或超过100件 每件售价可降至475元 请决定最优订货批量 HC随价格变化 三条成本曲线形状不同 确定性存储模型 五 例7 6求解 D 300 件 年 RC 200 元 次 Q 50时 K1 500 元 件 HC K1 20 100 元 件 年 Q0 34 64 35 件 50 Q 100时 K2 480 元 件 HC K2 20 96 元 件 年 Q0 35 35 35 件 Q 100时 K3 475 元 件 HC K3 20 95 元 件 年 Q0 35 54 36 件 确定性存储模型 五 例7 6求解 Q 50时 Q0 34 65 35 件 经济批量Q 35 件 50 Q 100时 Q0 35 35 35 件 为了得到价格优惠 可以选与35接近的值 此时经济批量Q 50 件 Q 100时 Q0 35 54 36 件 经济批量Q 100 件 随机性存储模型 随机性存储模型 需求为随机 其概率分布已知三种策略 定期订货 但数量根据上一周期剩余量确定定点订货 存储量降到某一确定值时就订货 s S 订货 隔一定时间检查存储量 如果存储量高于一个确定的值s 则不订货 小于s时订货补充存储 订货量要使存储量达到S 目标 盈利的期望值最大或损失期望最小 随机性存储模型 一 模型一 需求为随机的单一周期存储模型例7 7 某商店在新年期间出售一批日历画 每售出一张可盈利7元 如果在新年期间不能售出 必须降价出售 此时一定能售出 但每张亏损4元 根据以往经验 市场需求的概率如下 每年只订货一次 问应订购几张获利最大 随机性存储模型 一 例7 7求解 如果该店订货4张 计算获利可能数值 市场需求为0时获利 4 4 16元市场需求为1时获利 4 3 7 5元市场需求为2时获利 4 2 7 2 6元市场需求为3时获利 4 1 7 3 17元市场需求为4时获利 4 0 7 4 28元市场需求为5时获利 4 0 7 4 28元计算订购量为4张时获利的期望值 16 0 05 5 0 1 6 0 25 17 0 35 28 0 15 28 0 10 13 15 随机性存储模型 一 例7 7求解 同样地可以计算 计算订购量为0张时获利的期望值0 00计算订购量为1张时获利的期望值6 45计算订购量为2张时获利的期望值11 8计算订购量为3张时获利的期望值14 4计算订购量为4张时获利的期望值13 15计算订购量为5张时获利的期望值10 25期望值最大的是订购3张 随机性存储模型 一 例7 7另一思路求解 从损失的角度考虑 如果该店订货2张 计算损失可能数值 市场需求为0时滞销实际损失 4 2 8元市场需求为1时滞销实际损失 4 1 4元市场需求为2时滞销实际损失 0元市场需求为3时缺货机会损失 7 1 7元市场需求为4时缺货机会损失 7 2 14元市场需求为5时缺货机会损失 7 3 21元计算订购量为2张时损失的期望值7 45元8 0 05 4 0 1 0 0 25 7 0 35 14 0 15 21 0 10 7 45 随机性存储模型 一 例7 7求解 计算订购量为0张时损失的期望值19 25计算订购量为1张时损失的期望值12 80计算订购量为2张时损失的期望值7 45计算订购量为3张时损失的期望值4 85计算订购量为4张时损失的期望值6 10计算订购量为5张时损失的期望值9 00期望值最小的是订购3张 随机性存储模型 一 模型一 需求为随机的单一周期存储模型模型假设 需求服从一定的分布 单一周期存储只考虑一个周期 到周期结束时存储应为0 通常采用降价处理方式 报童问题 报童每天售报数量是一个随机变量 每售出一份赚k元 如果报纸未能售出 每份赔h元 每日售出报纸r份的概率P r 可根据以往经验得到 问报童每天应准备多少份报纸 随机性存储模型 一 设报童每天订报q份 从损失角度考虑 供大于求时 r q 实际损失期望值为 供不应求时 r q 机会损失期望值为 总的损失期望值为 随机性存储模型 一 对EC q 求最小值 设Q为最佳值并且通常为整数 则必有 1 EC Q EC Q 1 2 EC Q EC Q 1 可得到最优数量Q应满足 随机性存储模型 一 利用求解例7 7 k 7 h 4 k k h 0 637p 0 0 05p 1 0 10p 2 0 25p 3 0 35p 4 0 15p 5 0 10p 0 p 1 p 2 0 400 637因此 Q 3 张 随机性存储模型 一 离散型概率分布时有 上式等价于 连续型概率分布时有 随机性存储模型 一 例7 8 某书店拟在年前出售一批新年挂历 每售出一本可赚20元 如在年前不能出售 必须削价处理 由于削价 一定可以售完 但此时每本挂历要亏16元 根据以往经验 市场需求近似服从均匀分布 如图所示 其最低需求为550本