5年级计算与数论部分

1 第一讲第一讲 速算与巧算速算与巧算 凑整法 凑整法 当要计算的数接近一个容易计算的数时 先用后者计算 再去除之间的差 积 商 不变 积 商 不变 凑 5 2 10 25 4 100 125 8 1000 625 16 10000 等易算数 如 160 5 160 2 5 2 320 10 32 144000 125 144000 1000 8 144 8 1152 1 76 7 5 0 88 2 15 2 0 88 15 0 44 30 13 2 提取公因式法 提取公因式法 两个式子相加减 先找出两者的公因式 共同的乘数 再利用乘法的结 合律提取公因式 当需要改变运算顺序时 注意要带符号带符号 搬家搬家 整体代换法 整体代换法 当某几个数 或者式子 在复杂的计算时多次出现 可先将这几个数 或 者式子 看成一个整体 用某个字母代替 最后再计算 公式法 公式法 常用公式有 a b 2 a2 2ab b2 a2 b2 a b a b dn 1 n 1 d 1 dnn 1 尾数法尾数法 本质上是分析某数除以 10 的余数 在选择题中 当各选项尾数不同时 应考虑使 用 两个数的尾数之和 差 积 等于和 差 积 的尾数 一般不适合除法 弃九法 弃九法 本质上是分析某数除以 9 的余数 把一个数的各位数字反复相加 直到和是一 个 1 位数 0 8 如果是 9 就减 9 这个数就是原数的弃九数 在选择题中 是尾数 法的补充 两个数的弃九数之和 差 积 等于和 差 积 的弃九数 同样不适合除 法 例 1 计算 199999 19999 1999 199 19 22225 例 2 计算 1 3 5 1989 2 4 6 1988 995 例 3 计算 389 387 383 385 384 386 388 2702 例 4 计算 4942 4943 4938 4939 4941 4943 6 4941 例 5 计算 54 99 99 45 9900 例 6 计算 9999 2222 3333 3334 33330000 例 7 1999 999 999 1000000 例 8 比较 A 与 B 的大小 A 987654321 123456789 B 987654322 123456788 A B 例 9 不用笔算 请你指出下面哪道题得数最大 并说明理由 241 249 242 248 243 247 244 246 245 245 245 245 的积最大 一般说来 将一个整数拆成两部分 或两个整数 两部分的差越小 乘积越大 例 10 求 1966 1976 1986 1996 2006 五个数的总和 1986 5 9930 例 11 2 4 6 8 10 12 是连续偶数 如果五个连续偶数的和是 320 求它们中最 小的一个 中间数为 320 5 64 依次为 60 62 64 66 68 最小的是 60 中数 三个连续自然数 中间一个数为首末两数的平均值 五个连续自然数 中间 的数也有类似的性质 它是五个自然数的平均值 如果用字母表示更为明显 这五个数可 以记作 x 2 x 1 x x 1 x 2 如此类推 对于奇数个连续自然数 最中间的数 是所有这些自然数的平均值 如 对于 2n 1 个连续自然数可以表示为 x n x n 1 x n 2 x 1 x x 1 x n 1 x n 其中 x 是这 2n 1 个自然数的平均值 例 12 将 1 1001 各数按右图格式排列 一个正方形框出九个数 要使这九个数之和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 995 996 997 998 999 1000 1001 2 等于 1986 2529 1989 能否办到 如果办不到 请说明理由 中数是九个数的平均值 框中的九个数之和应是 9 的倍数 不能被 9 整除 281 7 40 7 1 这说明 281 在题中数表的最左一列 不能做中数 只有 1989 能 办到 例 13 选择题 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2的值是 D A 4 98 B 5 49 C 6 06 D 6 30 例 14 11338 25583 的值是 A A 290060054 B 290060154 C 290060254 D 290060354 例 15 计算 1 14 15 1 3 15 1 2 15 1151 15 14 1 3 14 1 2 14 1141 将分子 分母同时乘以 1 2 3 15 分子 分母均为 15 16 17 29 例 16 计算 1 1 4 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 令 A B 原式 1 A B 1 B A B A 4 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 5 1 例 17 计算 裂项 110 1 90 1 72 1 56 1 42 1 66 5 第第 2 讲讲 数列与图形规律数列与图形规律 等差数列 等差数列 相邻两项的差是一个固定的数 像这样的数列就称为等差数列 其中这个固定 的数就称为公差公差 一般用字母 d 表示 d 可以为 0 通项公式 通项公式 an a1 n 1 d 例 1 已知等差数列 2 5 8 11 14 问 47 是其中第几项 16 等差数列的变形 多级等差数列 多级等差数列 相邻两项的差成等差数列 或成多级等差数列 如 20 20 33 59 89 150 3 12 33 72 135 228 等比数列 等比数列 从数列的第 2 项起 每项都是前一项的同一个非零倍数 这个倍数成为公比 一般用字母 q 表示 通项公式为 an a1 q n 1 如 6 18 54 162 6 3n 1 和数列 和数列 通过对数字求和得到的后项的数列 例 2 2 3 5 8 13 21 34 例 3 1 3 5 9 17 31 57 105 其中 9 1 3 5 17 3 5 9 其它数列 其它数列 根据某种特有的规律形成的数列 如 8 9 10 11 12 1 2 钟表数列 1 4 9 16 25 36 平方数列 1 2 3 5 7 11 13 17 非合数数列 4 6 8 9 10 12 14 15 合数数列等等 多级数列 多级数列 将基本数列进行多级组合形成的数列 组合数列 组合数列 奇数项 偶数项 或者分组 分别满足某种规律 3 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例 4 33 32 34 31 35 30 36 29 37 其中 奇数项是等差数列 偶数项也是等差数列 前项比后项大 1 例 5 根据下列各串数的规律 在括号内填上适当的数 15 20 12 25 9 30 6 35 3 40 奇数项 偶数项分别求 1 2 2 8 3 18 4 32 5 50 偶数项为相邻奇数项的平方乘 2 0 2 6 12 20 30 42 第 n 项为 n n 1 1 5 10 2 10 20 3 15 30 4 20 40 1 2 6 24 120 720 5040 例 6 找出下列各组与众不同的数 3 5 7 11 15 19 23 6 12 3 27 21 10 15 30 2 5 10 16 22 28 32 38 24 2 3 5 8 12 16 23 30 42 126 168 63 882 例 7 按右图分割三角形 即 把三 角形等分为四个相同的小三角形 如图 b 把 中的小三角形 尖朝下的 除外 都等分为四个更小的三角形 如 图 C 继续下去 将会得到一系列 的图 依次记录这些图中不重叠的三角形个数 成为一个数列 1 4 13 40 请你从 中找出规律 并得出数列的第 10 项 解 数列的规律如下 第 1 项 1 第 2 项 4 1 3 第 3 项 13 4 3 3 第 4 项 40 13 3 3 3 第 5 项 121 40 3 3 3 3 例 8 数字排列如右图所示 问 2012 在 第几行 第几列 解 偶数的个数为 2012 2 1006 个 把每 8 个看成一组 1006 8 125 组 6 前 125 组有 250 行 第 6 个数是每组的第 2 行 因此 2012 在第 252 行 第 3 列 例 9 右图中 2012 在第几行 第几个数 解 观察每行最右边数是行数的平方 估计一下 442 1936 452 2025 显然在第 45 行 第 45 行 共有 45 2 1 89 个数 或 2025 1036 2012 1936 76 即 2012 是第 45 行 第 76 个数 例 10 把自然数依次写下来得到一个数 1 2 3 4 5 问这个数从左边第一位起第 2000 个数字是几 第 20000 个数字呢 解 2000 189 3 1811 3 603 2 显然 数列的第 10 项为 1 3 32 33 34 35 36 37 38 39 29524 1 位数有 9 个 占 9 位 2 位数有 90 个 占 90 2 180 位 3 位数有 900 个 占 900 3 2700 位 4 603 99 1 703 703 的第 2 位数字即第 2000 个数字是 0 20000 2889 4 4277 3 4227 999 1 5227 第 3 位即是第 20000 个数字是 2 例 11 从左至右依次写上 1 2012 这 2012 个自然数 然后从左至右每隔三位点一个逗号 123 456 789 101 112 那么第 100 个逗号前的那个数字是多少 解 同上 即求第 300 个数字 300 189 3 37 73 99 1 173 是 172 的 2 练习 1 一 用简便方法计算下列各式 123456 234561 345612 456123 561234 612345 6 2013 20122012 2011 20132013 125 99 125 16 72000 125 3 99 9 0 3 9 9 8 0 8 2 0 9 1 2 10 876 312 876 312 918 10 876 312 918 876 312 提示 令 t 876 312 w 876 312 918 1 0 23 0 34 0 23 0 34 0 65 1 0 23 0 34 0 65 0 23 0 34 99999 77778 33333 66666 44332 443 32 88664 886 64 11 92 19 1 10 92 19 1 3 92 19 1 2 92 19 1 92 19 1 352171062531 21147642321 二 分别比较下面两组数的大小 98765 98769 98766 98768 1992 1999 1999 1993 1998 1998 1994 1997 1997 1995 1996 1996 三 19 个连续奇数的和是 361 求其中最大和最小的数 四 145 是从小到大五个整数之和 这些整数相邻两数之差是 3 请你写出这五个数 五 把从 1 到 100 的自然数如下表那样排列 在这 个数表里 把长的方面 3 个数 宽的方面 2 个数 一共 6 个数用长方形框围起来 这 6 个数的和为 81 在数表的别的地方 如上面一样地框起来的 6 个数的 和为 429 问此时长方形框子里最大的数是多少 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 97 98 99 100 5 六 已知 12 22 32 n2 那么 112 122 132 212 6 12 1 n nn 七 2012 减去它的 再减去剩下的 再减去剩下的 最后减去剩下的 2 1 3 1 4 1 2012 1 问最后剩下的数是多少 八 用 1 5 5 5 和 7 7 3 3 两组数字及运算符号分别写成一个数学算式 结果等于 24 练习 2 1 在 1997 后面写一串数字 写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数 问这 串数字从 1 开始往右数 第 2012 个数字是几 2 有一列数字 2 3 6 8 8 从第 3 个数起 每个数都是前两个数乘积的个位数字 那么 第 80 个数是多少 3 有一列数 1 1989 1988 1 1987 从第三个数起 每个数都是它前面 两个数中大数减小数的差 那么第 1989 个数是多少 4 求 33333 3333 共 2012 个 3 除以 7 的余数 5 2012 个 47 的乘积的个位数字是几 6 an的尾数表 0123456789 10123456789 20149656941 3 4 5 6 7 8 9 7 紧接着 1989 后面写一串数字 写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数 得到一串数 19892868 那么这串数字从 1 开始往右数 第 2012 个数字是多少 8 10 7 1 428571438571 是一个循环小数 问 小数点后第 2012 位数是几 若商的某一位数字之前的各位上的数之和是 302 这个数字是几 在小数点后第几位 9 把 2013 个 2013 相乘 所得的结果的个位数字是多少 10 除以 13 所得的余数是多少 52012 5 555 个 a n 填全右表 并根据表中的规 律计算下式结果的个位数字 20015 20025 20035 20045 20055 20065 20075 20085 20095 6 智巧题选做 池塘中的睡莲 每天长大一倍 10 天就把池塘遮住 问要遮住半个池塘需要多少天 枯井井深 10 米 一蜗牛从井底往上爬 白天上爬 3 米 晚上下滑 2 米 几天爬出井 3 个空汽水瓶可以换一瓶汽水喝 小明有 10 个空汽水瓶 共可以喝到多少瓶汽水 红 蓝墨水各一瓶 一样多 用一根滴管从红瓶中吸一滴给蓝瓶 搅拌后 再反过来 从蓝瓶中吸一滴给红瓶 问 此时红瓶中的蓝墨水多 还是蓝瓶中的红墨水多 有 6 根短链子 每根 4 个环 打开一个环要 5 分钟 封闭一个环要 7 分钟 要把 6 根 短链子连接成一条长链子 至少要用多少时间 第第 3 讲讲 数列求和数列求和 一 等差数列求和一 等差数列求和 若 a1 小于 a2 则公差为 d 的等差数列 a1 a2 a3 an 可以写为 a1 a1 d a1 d 2 a1 d n 1 所以 容易知道 a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3 an 1 a2 an a1 设 Sn a1 a2 a3 an 也可以写成 Sn an an 1 an 2 a1 两式相加可得 2 Sn a1 an a2 an 1 an a1 即 2 Sn n a1 an 所以 Sn n a1 an 2 注意 注意 与梯形面积公式比较 二 其它数列求和二 其它数列求和 裂项法 公式法裂项法 公式法 分组求和法分组求和法 1 2 3 n 2 n1n 2222 1 21 123 6 n nn n a2 b2 a b a b dn 1 n 1 d 1 dnn 1 共多少项共多少项 每项的特点每项的特点 通项公式通项公式 将有规律的最高项用字母将有规律的最高项用字母 n 代替 代替 n 是项数 写成一个通用算式 是项数 写成一个通用算式 例 1 101100433221 1 2 3 2 3 4 1 2 3 3 4 5 2 3 4 100 101 102 3 1 99 100 101 343400 裂项求和 1 11 1 1 nnnn n n 1 1 1 2 1 3 1 nnnnnn 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn 通项公式 n n 1 通项公式 2n 1 n n 1 7 例 2 1111 1 2 32 3 43 4 599 100 101 101100 1 10099 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 101100 1 21 1 2 1 101100 5049 2 1 20200 5049 例 3 22 42 62 82 1002 4 12 22 32 502 4 2 100 101 67 1353400 6 110021100100 例 4 19 21 18 22 17 23 1 39 20 1 20 1 20 2 20 2 20 3 20 3 20 19 20 19 19 202 12 22 32 192 19 202 6 119211919 19 202 19 10 13 19 10 40 13 190 27 5130 练习题练习题 1 1 2 2 4 3 6 4 8 100 200 2 1 3 2 4 3 5 4 6 10 12 3 1 3 3 5 5 7 7 9 17 19 4 1999 1 1999 2 1999 3 1999 1998 5 55 1 55 2 55 3 55 10 155 11 155 12 155 13 155 20 6 12389 1 2 3 8 9 234910 7 420 1 20 20 1 4 12 1 3 6 1 2 2 1 1 8 1111 1 2 2 3 3 4 7 8 3 44 55 69 10 9 2222 1 22 33 499 100 10 2222 1 44 77 10100 103 11 11111111 1 32 43 54 65 76 897 9998 100 1226122090110 通项公式 n 40 n 或 20 n 20 n 通项公式 4 n2 8 13 113 1 111 1 19 1 17 1 15 1 13 1 222222 14 111 1 12123122006 15 11111 12348 3153563255 16 2222 1111 214161201 17 222222 3 4 54 5 65 6 76 7 87 8 98 9 10 18 321345432345432123321345432123345432 123234543234543321123234543321234543 数的整除数的整除 1 能被 2 3 5 9 整除的数的特征 2 能被 4 或 25 整除的数的特征 3 能被 8 或 125 整除的数的特征 4 能被 11 整除的数的特征 5 能被 7 11 13 整除的数的特征 7 11 13 1001 6 能被一个合数整除的数的特征 例例 1 1 已知 45 求所有满足条件的六位数 x1993yx1993y 解 45 5 9 5 9 y 可取 0 或 5 x 0 x1993yx1993y 当 y 0 时 1 9 9 3 0 22 所以 x 5 当 y 5 时 1 9 9 3 5 27 能被 9 整除 所以 x 9 例例 2 2 已知整数能被 11 整除 求所有满足这个条件的整数 1a2a3a4a5a 解 11 1a2a3a4a5a 根据能被 11 整除的特征可知 1 2 3 4 5 与 5a 之差是 11 的倍数 即 11 15 5a 15 5a 5 3 a 因此 11 3 a a 3 符合题意的整数只有 1223334353 例例 3 3 把三位数接连重复地写下去 共写 1993 个 所得的数恰是 913ab3ab ab31993 3 33 个 ababab 的倍数 求 ab 解 91 7 13 且 7 13 1 7 13 ab31993 3 33 个 ababab ab31993 3 33 个 ababab 根据能被 7 或 13 整除的特征可知 当且仅当 能被 7 和 13 整除时成立 ab31992 3 33 个 ababab3ab0003 33 ab31991 个 ababab 7 10 1 13 10 1 7 13 0003 33 ab31991 个 ababab0003 33 ab31991 个 ababab 即 7 13 ab31991 3 33 个 ababab ab31991 3 33 个 ababab 反复进行 996 次 最后化成 当且仅当能被 7 和 13 整除 3ab 91 4 364 364 643abab 例例 4 4 在 865 后面补上三个数字 组成一个六位数 使它能分别被 3 4 5 整除 且使这 9 个数值尽量小 解 设这个六位数是865abc 4 5 c 0 865abc865abc b 只能取 0 2 4 6 8 之一 又 3 且 8 6 5 19 19 3 6 1865abc a b 除以 3 余 2 为了满足数值尽量小 取 a 0 b 2 这个六位数是 865020 例例 5 5 求能被 26 整除的六位数 x2012y 解 26 2 13 能分别被 2 和 13 整除x2012y y 只能取 0 2 4 6 8 13 能整除与的差x2012y 当当 y y 0 0 时时 120 13 9 3 即即 13 13 120 3120 3 3 100 x 17 7 13 9 x 17 7 13x 13 9x 4 有 13 9x 4x20 经试验 只有当 x 1 时成立 所以 120120 是其中一个解 当当 y y 2 2 时时 122 13 9 5 5 100 x 15 7 13 9 x 25 7 13x 13 9x 2 有 13 9x 2x20 经试验 只有当 x 7 时成立 所以 720122 是其中一个解 当当 y y 4 4 时时 124 13 9 7 7 100 x 13 7 13 9 x 13 7 13x 13 9x 有 13 9xx20 经试验 无解 当当 y y 6 6 时时 120 13 9 9 9 100 x 11 7 13 9 x 11 7 13x 9x 11 有 13 9x 11 相当于 13 9x x20 2 经试验 无解 当当 y y 8 8 时时 120 13 9 11 11 100 x 31 7 13 9 x 9 7 13x 9x 9 有 13 9x 9x20 经试验 无解 综上 满足要求的解为 120120 720122 两个 例例 6 6 用 1 到 9 这 9 个不同的数字可以组成很多没有重复数字的九位数 其中能被 11 整 除的九位数有 31680 个 求出其中最大的和最小的九位数 解 先不看能否被 11 整除 最大的和最小的分别是 987654321 和 123456789 根据被 11 整除的特性 奇数位和为 25 偶数位和为 20 奇数位比偶数位大 5 当任意互换其中不同奇偶的两个数字时 奇偶位的总和与更换前相差为偶数 如更换 6 和 3 其奇偶位的和差 6 因此 奇数位比偶数位大 5 可描述为奇数位比偶数位小 6 偶数 只要在九位数的后面几位 通过更换奇偶位数字 使得奇数位比偶数位增加 6 即可 最大 4 2 3 1 2 而 4 3 1 2 4 偶位 奇位 2 奇位 偶位 4 最大是 987652413 最小 因为 9 7 8 6 2 奇数位的和比偶数位的和大 2 无法满足 需要增加一位变换的位置 9 7 5 8 6 7 而 9 8 7 6 5 13 奇位 偶位 7 奇位 偶位 13 最小是 123475869 练习题练习题 10 1 1 如果 41 位数 555 55 20 个 5 99999 99 20 个 9 能被 7 整除 那么中间方格 内的数字是几 2 2 判断 1059282 是否是 7 的倍数 3 3 在 内填上合适的数字 使六位数 19 88 能被 35 整除 4 4 学校买了 28 支价格一样的钢笔 共付了人民币 9 2 元 已知 数字相同 请问 每支钢笔的价格是多少 5 5 一个三位数 能同时被 2 5 7 整除 这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列 中间的一个数是几 6 6 求一个四位的完全平方数 其前两位数字相同 后两位数字也相同 7 7 用 0 到 9 这十个不同的数字可以组成许多的十位数 在这些数字中能被 11 整除的最 大的十位数是多少 每个数字只能用一次 8 8 商场里有六箱货物 分别重 15 16 18 19 20 31 千克 两个顾客买走了其中 5 箱 其中一个顾客买的总重量是另一个顾客的 2 倍 问 商店还剩下哪箱货物 9 9 用 6 7 8 9 四个数字组成的 各个数字互不相同的四位数中 能被 11 整除的有多 少个 1010 在 内填上合适的数字 使六位数 1991 能被 66 整除 1111 在 28 的前面连续写上若干个 1993 得到 19931993 1993199328 如果这个数字能被 11 整除 那么它最小是几位数 1212 判断 3456725 能否被 13 整除 1313 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这 10 个数字中选出 5 个不同的数 组成一个 5 位 数 使它可以被 3 5 7 1313 整除 这个数字最大是多少 1414 求能被 65 整除的六位数 x2012y 1515 甲乙两个人约定一个整数 N 然后由甲开始 轮流地用数字组成一个六位数的一位 数字可以重复 如果这个六位数能被 N 整除 就算是乙胜 如果这个六位数不能被 N 整除 就算是甲胜 设 N 小于 15 那么当 N 取哪个几个数时 乙才能取胜 1616 把三位数 5ab 接连重复地写下去 共有 2011 个 5ab 所得的这个多位数恰好是 91 的 倍数 求 ab 等于多少 1717 一家水果店进了六筐水果 分别装着香蕉和桔子 重量分别是 8 9 16 20 22 和 27 千克 当天只卖出一筐桔子 在剩下的五筐中香蕉的重量是桔子重量的 2 倍 问 水果店进了多少千克的香蕉 1818 任一个三位数连续写两次得到一个六位数 试证 这个六位数能同时被 7 11 13 整 除 1919 求最小的四个自然数 使得任意两个的和都是 2 的倍数 任意三个的和都是 3 的倍数 2020 某个七位数 2000 能同时被 1 2 3 4 5 6 7 8 9 整除 那么最后三位 是什么 2121 173 是一个四位数 数学老师说 我在其中的方框内中先后填入 3 个数字 所得 到的 3 个四位数 依次可被 9 11 6 整除 问 数学老师先后填入的 3 个数字的和是 多少 2222 如果六位数 1992 能被 105 整除 那么它的最后两位数是多少 2323 某个七位数 1993 能够同时被 2 3 4 5 6 7 8 9 整除 那么它的最后三 位数字依次是多少 2424 证明以下命题 A 任意两个连续奇数的和一定是 4 的倍数 B 任意两个连续偶数的乘积是 8 的倍数 11 C 任意三个连续偶数的和一定是 6 的倍数 D 任意三个连续自然数的乘积一定是 6 的倍数 E 如果不大于四位数的自然数能被 99 整除 则它各个数位的数字之和能被 18 整除 2525 在六位数 11 11 中的两个方框内各填入一个数字 使此数能被 17 和 19 整除 那 么方框中的两位数是多少 2626 用 1 9 这九个数码各一次 组成三个分别能被 7 9 11 整除的三位数 并要求这三 个数的和尽可能大 提示 9 8 7 这三个数应放在百位 4 5 6 这三个数尽可 能放在十位 答案 756 831 924 2727 四名学生做加法练习 任写一个六位数 把它的个位数字 不等于 0 拿到这个数最 左边一位数字的左边得到一个新的六位数 然后与原六位数相加 他们的得数分别为 372535 568741 620708 845267 其中只有一名同学做对了 问 正确答案是几 原数可设为 A 10 B 新数为 B 100000 A 和 A 10 B B 100000 A A 11 B 100001 A 11 B 9091 11 分解质因数 约数与倍数 最大公约数与最小公倍数 质数与合数 质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数 那么这个质数是这个数的质因数 互质数 两个数的最大公约数是 1 最大公约数 最小公倍数 这两个数的积 短除法和辗转相除法 1127 1518 22848 42483 9889 35061 12642 15738 4811 1981 例例 1 1 三个连续自然数的乘积是 210 求这三个数 解 210 2 3 5 7 可知这三个数是 5 6 7 例例 2 2 两个质数的和是 40 求这两个质数的乘积的最大值 解 40 17 23 11 19 3 37 乘积的最大值是 17 23 391 例例 3 3 连续 9 个自然数中至多有几个质数 为什么 解 如果这 9 个数在 1 20 之间 显然最多有 4 个质数 如 2 3 5 7 如果连续 9 个自然数最小的一个是不为 2 的质数 奇数 连续 9 个自然数至少有 4 个是偶数 另有一个个位数为 5 的数 显然也是合数 最多也是 4 个质数 综上 连续 9 个自然数中至多有 4 个质数 例例 4 4 有三个自然数 最大的比最小的大 6 另一个是它们的平均数 并且三个数的乘积 是 42560 求这三个数 解 30 30 30 27000 远小于 42560 40 40 40 64000 远大于 42560 这三个数在 30 40 之间 而 42560 26 5 7 19 25 5 7 19 2 32 35 38 符合题目要求 要求的三个自然数分别是 32 35 38 例例 5 5 把下列完全平方数分解质因数 9 36 144 1600 275625 解 9 32 36 22 32 144 24 32 1600 26 52 275625 32 54 72 注意 一个完全平方数分解的每个质因数的指数均为偶数 反之也成立 例例 6 6 一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数 求 a 的最小值与这个平方数 12 解 1080 23 33 5 每个质因数的指数均为奇数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数 分解质因数后 每个质因数的指数一定是偶数 a 必然含有质因数 2 3 5 故 a 的最小值为 2 3 5 30 1080 a 32400 例例 7 7 问 360 共有多少个约数 解 360 23 32 5 5 显然只有 2 个约数 1 和 5 32有 1 3 9 共 3 个约数 将 2 个约数与三个约数分别 相乘 可知 32 5 共有 2 3 6 个约数 23有 4 个约数 360 共有 2 3 4 24 个约数 一个数的约数个数 等于它的每个质因数的个数加 一个数的约数个数 等于它的每个质因数的个数加 1 1 的连乘的积 的连乘的积 练习题练习题 1 如果 A B 70 A B 1161 那么 A 与 B 的差是多少 2 A B C 为三个不同的质数 已知 3A 2B C 20 求 A B C 3 把 1 2 3 4 5 6 7 8 9 九张卡片分给甲乙丙三人 每人 3 张 甲说 我的三 张卡片上的数乘积是 48 乙说 我的三张卡片上数的和是 16 丙说 我的三张卡片 上的数乘积是 63 问甲乙丙各拿了哪几张卡片 4 长方形的面积是 375 平方米 已知它的宽比长少 10 米 这个长方形的周长是多少米 5 一个两位数除 310 余 37 这个数可以是 或者 提示 考虑 310 37 6 237 除以一个两位数 所得的余数是 6 请写出适合这个条件的所有两位数 7 5100 除以一个三位数 余数是 95 这个三位数最大是多少 8 某班同学在老师的带领下去植树 学生恰好分成三组 如果师生每人种树一样多 一 共种了 1147 棵 那么 平均每人种了多少棵 9 将下列分数约分 186 155 187 221 69 46 117 143 323 247 253 161 10 小明用 21 6 元买了一种画片若干张 如果每张画片的价钱便宜 1 分钱 那么他就可 以多买 3 张 问小明买了多少张 11 自然数 a 乘以 2376 所得的积正好是自然数 b 的平方 求 a 最小是多少 12 小明买了铅笔 橡皮和本三种文具 已知它们的数目是各不相同的质数 且满足 铅笔数 橡皮数 本数 110 本数 求小明买了多少个本 13 要使下面乘积的最后四位数都是 0 在括号内最小应填什么数 475 195 516 14 中学生李明比赛后说 我的名次 分数和我的年龄乘起来是 4074 他是第几名 15 三个数的乘积是 90720 三个数成公差为 3 的等差数列 求这三个数 16 分母是 1989 的所有最简真分数的和是多少 17 求一个四位数 它等于抹去它的首位数字之后剩下的三位数的 3 倍与 234 之差 18 求一个四位数 它等于抹去它的首位与末尾数字之后剩下的两位数的 75 倍 19 组成 325 和 523 两个数的数码完全相同 次序正好相反 这样性质的两个数称为一对 反序数 若一对反序数的乘积等于 30492 试求出这两个反序数 20 有一个自然数 被 10 除余 7 被 7 除余 4 被 4 除余 1 这个自然数是多少 21 求小于 1000 的 只有 15 个约数的最大自然数 22 某商店把几十个单价原为 0 2 元的卷笔刀降价后全部售出 共卖得 2 53 元 问降价 后的单价是多少 13 23 a b 两数的最大公约数是 12 已知 a 有 8 个约数 b 有 9 个约数 求 a 和 b 24 一盒围棋子 4 颗 4 颗的数多 3 颗 6 颗 6 颗的数多 5 颗 15 颗 15 颗的数多 14 颗 这盒棋子在 150 至 200 颗之间 这盒棋子共有多少颗 25 分别将木棍平均分成 10 等分用红色做标记 12 等分用黄色做标记和 15 等分用蓝色 做标记 如果沿这三种标记把木棍锯断 木棍总共被锯成多少段 26 父子二人在雪地散步 父在前 子在后 起点同步 如果可能的话 儿子将踩在父亲 的脚印里 父亲每步 80 厘米 儿子每步 60 厘米 在 120 米内一共留下了多少个脚印 27 修改 31743 中的某个数字 可以得到 823 的倍数 问修改后的五位数是几 28 一张长方形纸 长 2703 厘米 宽 1113 厘米 要把它截成若干个同样大小的正方形 纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大 问 这样的正方形的边长是多少厘米 29 求 21672 和 11352 的最小公倍数 30 一支队伍不超过八千人 列队时按 4 人 5 人 6 人 7 人和 8 人一排 最后一排都 缺 3 人 改为 11 人一排时 最后一排只有 3 人 问共有多少人 31 爷爷对小明说 我现在的年龄是你的 7 倍 过几年是你的 6 倍 再过若干年就分别 是你的 5 倍 4 倍 3 倍 2 倍 你知道爷爷和小明现在的年龄吗 32 10 个连续的三位数最大的不超过 130 这 10 个数的和是 77 的倍数 求这 10 个数 33 把数码 5 写在某自然数右端 该数增加了 A1111 A 表示一个看不清的数码 求 A 34 一个三位数与组成它的三个数码之和的比最大是多少 奇偶性奇偶性 1 已知 a b c 中有一个是 5 一个是 6 一个是 7 求证 a 1 b 2 c 3 的乘积一定是偶 数 2 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数 试证明新数与原数之和不能 等于 999 3 用代表整数的字母 a b c d 写成等式组 a b c d a 1991 a b c d b 1993 a b c d c 1995 a b c d d 1997 问 符合条件的整数 a b c d 是否存在 4 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子 马 按中国象棋的走法 当棋 盘上没有其他棋子时 这只 马 跳了若干步后回到原处 问 马 所跳的步数是奇 数还是偶数 5 有 100 个自然数 它们的和是偶数 在这 100 个自然数中 奇数的个数比偶数的个数多 问 这些数中至多有多少个偶数 6 求证 四个连续奇数的和一定是 8 的倍数 7 一次宴会上 客人们相互握手 问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数 8 有 8 只盒子 每只盒内放有同一种笔 8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支 23 支 33 支 36 支 38 支 42 支 49 支 51 支 在这些笔中 圆珠笔的支数是钢笔的支数的 2 倍 钢笔 支数是铅笔支数的 只有一只盒里放的水彩笔 这盒水彩笔共有 支 3 1 余数与同余及其应用余数与同余及其应用 a b q r 0 r b b 0 余数 r 0 a 能被 b 整除 写作 a 0 mod b r 0 a 不能被 b 整除 写作 a r mod b 14 如果 A B 两个整数 除以自然数 M 所得的余数相同 则称 A B 模 M 关于除数 M 同 余 记为 A B mod M 如 27 22 557 mod 5 31 39 843 mod 4 性质 如果 a b mod n 则 b a mod n am bm modam bm mod n n 如果 a b mod n b c mod n 则 a c mod n 如果 a b mod n c d mod n 则 a c b d mod n a c b d mod n a c b d mod n 中国剩余定理 三人同行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得 知 例例 1 1 求将一批货物共 328千克装入纸箱中 每箱 13 千克 最后余多少千克 例例 2 2 求 14389除以 7 的余数 例例 3 3 求自然数 2100 3101 4102的个位数字 例例 4 4 三个连续的自然数 分别是 17 19 21 的倍数 试写出满足条件的最小的数 解 15 17 和 19 的最小公倍数是 15 17 19 4845 4845 15 4860 能被 15 整除 4845 17 4862 能被 17 整除 4845 19 4864 能被 19 整除 所以 4860 4862 4864 分 别能被 15 17 19 整除 这三个数都是偶数 且都相差 2 把这三个数分别除以 2 得 到 2430 2431 2432 它们也一定能分别被 15 17 19 整除 练习题练习题 A A 1 一个数被 3 除余 1 被 5 除余 2 这个数被 15 除余几 2 一个三位数除以 5 余 3 除以 6 余 2 除以 7 余 1 求最小数是多少 3 一个数被 3 除余 1 被 5 除余 2