3函数值域或最值的经典求法

版权所有 高考资源网 1 第三讲 常见函数值域的求法 方法一 观察法 例 1 求函数164xy 的值域 解析 由函数164xy 则 2 1640 44 2 xx x 定义域为 2 x 得 0416 016416 xx 值域为 0 4 变式演练 1 求函数 x xf28 的值域 解析 2x 0 0 8 2x 8 0 x 28 2 故函数 x xf28 的值域是 22 0 方法二 分离常数法 例 2 求函数 2 53 x x xf的值域 变式演练 2 求函数 51 43 x y x 的值域 方法三 配方法 例 3 求函数 2 46 0 5f xxxx 的值域 变式演练 3 已知函数43 2 xxy的定义域是 0 m 值域为 4 4 25 则m的取值范围是 A 4 0 B 4 2 3 C 3 2 3 D 2 3 答案 C 版权所有 高考资源网 2 解析 试题分析 因二次函数43 2 xxy的对称轴为 2 3 x 且0 x时 函数值4 y 当 2 3 x时 4 25 y 因 此当3 x时 4 y 故当3 2 3 m 故应选 C 考点 二次函数的图象和性质 方法四 换元法 例 5 求函数 1xxy 的值域 例 6 求函数12yxx 的值域 解析 令 2 1 1 20 2 t txx 原函数化为 2 11 0 22 yttt 其开口向下 并且对称轴是 1t 故当1t 时取得最大值为1 没有最小值 故值域为 1 例 7 求函数 1x cos1x siny 2 12 x 的值域 版权所有 高考资源网 3 变式演练 5 若02 x 求函数 1 2 43 25 x x yf x A的值域 方法六 判别式法 例 9 求函数 32 742 2 2 xx xx y的值域 变式演练 6 求函数 1 2 x x y的值域 解析 2 2 0 1 x yyxxy x 当0y 时方程有解 当0y 时由0 可得 2 140y 11 22 y 综上可知值域为 2 1 2 1 版权所有 高考资源网 4 方法七 基本不等式法 例 10 已知 5 2 x 求函数 2 45 24 xx f x x 的最小值 例 11 已知函数 9 03 1 f xxx x 求 f x的值域 解析 99 11 03 114 11 f xxxxx xx 5 31 min xfx 9 11 max xfx 所以 f x的值域为 5 9 变式演练 7 求函数 2 2 3 1 x f x x 的最小值 变式演练 8 若函数 yf x 的值域为 1 3 2 则函数 1 F xf x f x 的值域是 A 1 3 2 B 10 2 3 C 5 10 23 D 5 2 2 答案 B 解析 版权所有 高考资源网 5 考 点 函数的性质 基本不等式 方法八 单调性法 例 12 求函数 2 1 2 log 35 02 f xxxx 的值域 2 2 1 2 111 222 min111 222 35 02 2 log 35 2 11 log 0 log 5 2 log 3 4 11 log 5log 5 log 4 uxxx u f xxx fff f x 1 2 m ax 33 在 0 是减函数 在 上是增函数 22 又t l og在定义域上是减函数 33 在在 0 是增函数 在 上是减函数 22 3 f x 2 函数的值域为 点评 本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间 从而得到函数的最大值和最小值 得到函数 的值域 例 13 求函数 y 2 2 1 2 xx 的值域 点评 1 如果能确定函数的单调性时 可以使用函数的单调性求函数的值域 2 本题中利用了这样一 个性质 增 减 函数 增 减 函数 增 减 函数 3 本题 1xlogy 2y 32 5x 1 都是增函数 利 用到了复合函数的单调性 变式演练 10 求函数 1 41 3 3 yxx x 的值域 版权所有 高考资源网 6 变式演练 11 求函数 2 52 412f xxxx 的值域 解析 由 26 2 5 0124 02 5 2 xx x xx x 或 解得2 x 在此定义域内函数是单调递减 所以当 2 x时 函数取得最小值 32 f 所以函数的值域是 3 方法九 数形结合法 例 15 求函数 x x y cos2 sin3 的值域 点评 1 对于某些具有明显几何意义的函数 我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域 先找到函数 对应的形态特征 再求该函数的值域 2 由于 12 12 yy y xx 对应着两点 1122 x yxy之间的斜率 差之比 对应直线的斜率 所以本题可以利用斜率分析解答 例 16 求函数 22 ln 11 f xxxxx 的值域 版权所有 高考资源网 7 解析 由 22 110 xxxx 得0 x 所以函数 f x的定义域是 0 设点 1313