GZ《概率与统计》第7讲3.1二维随机变量3.2边缘分布.ppt

主讲高昭Email gz MobilePhone 6817352012 2 11 概率论与数理统计 浙江师范大学工学院 Ch3多维随机变量及其分布 3 1二维随机变量 3 1二维随机变量 定义 设X1 X2 Xn为同一样本空间S上的随机变量 则称X X1 X2 Xn 为随机向量 n为维数 也称为n维随机变量 一个n维向量 它的每一个分量都是随机变量 3 1二维随机变量 二维离散型随机向量的分布 P X xi Y yj pij i 1 2 n j 1 2 n 只能在平面上取有限多个或可数无限多个 X Y 称二维随机向量的分布律 性质 pij 0 3 1二维随机变量 例 口袋中有3个白球 4个黑球 求 X Y 的分布律 2 7 2 7 2 7 1 7 X Y 乘法公式 3 1二维随机变量 例 口袋中有3个白球 4个黑球 求 X Y 的分布律 2 7 2 7 2 7 1 7 X Y 看一下作为随机变量的X Y的概率 3 1二维随机变量 a b P a X b P a X b c Y d a b b a P a X b P X b P X a a b c d P X b Y d P X a Y d P X b Y c P X a Y c 对非离散型的 回顾以前 思考现在 3 1二维随机变量 二维分布函数 设 X Y 为二维随机变量 称F x y P X x Y y 为 X Y 的联合分布函数 3 1二维随机变量 F x y 性质 1 给定y F x y 是x的非减函数 给定x F x y 是y的非减函数 2 0 F x y 1 x y 3 1二维随机变量 F x y 性质 3 P a X b c Y d 如何记忆 F b d F a d F b c F a c 3 1二维随机变量 F x y 性质 4 F x y 关于x y右连续 给定x F x y 关于y右连续 给定y F x y 关于x右连续 3 1二维随机变量 定义 若对F x y 存在f x y 0 使对任一 x y R2 有则称F x y 为连续型的分布函数 f x y 称为联合密度函数 X Y 称为连续型二维随机向量 3 1二维随机变量 f x y 性质 1 f x y 0 2 几何意义 f x y 是 x y 平面上方的函数图形 它跟 x y 平面之间的体积一共是1 F x y 表示西南角的那个体积 3 1二维随机变量 f x y 性质 1 f x y 0 2 物理意义 x y 平面为一块薄板 f x y 为质量面密度 F x y 即西南角薄板的质量 x y 3 1二维随机变量 f x y 性质 3 在f x y 的连续点上 3 1二维随机变量 牢记 G R2 点 X Y 落在某个区域G里的概率 设G由若干条光滑曲线围成 3 1二维随机变量 两个重要的连续型随机向量 二维均匀分布 二维正态分布 3 1二维随机变量 两个重要的连续型随机向量 二维均匀分布 二维正态分布 3 1二维随机变量 二维均匀分布 设G R2 G 表示面积 则称 X Y 在G上均匀分布 G 物理意义 在G区域里 面密度均匀 只要两个小区域的面积一样 则它们的质量也一样 即点 X Y 落在这两个小区域里的概率相等 几何意义 f x y 位于 x y 平面上方 并与之平行 G区域里的两个小区域若面积相等 则它们对应的柱体体积相等 即点 X Y 落在这两个小区域的概率相等 3 1二维随机变量 两个重要的连续型随机向量 二维均匀分布 二维正态分布 3 1二维随机变量 二维正态分布 则称 X Y 为服从二维联合正态分布的随机向量 记为 Ch3多维随机变量及其分布 3 2边缘分布 3 2边缘分布 设 X Y F x y 则X的分布F1 x 和Y的分布F2 y 称为F x y 的边缘分布函数 边缘分布函数 3 2边缘分布 设 X Y f x y 几何意义 物理意义 边缘密度函数 3 2边缘分布 f1 x 的几何意义 x固定 则f x y 由空间曲面转化为空间曲线 该曲线与xy平面所围面积 即为f1 x x 3 2边缘分布 f1 x 的物理意义 f x y 为面密度 f x y dxdy为微元质量 f x y dy则变成了x方向的线密度微元 f1 x 即为x方向的总的线密度 dy x 3 2边缘分布 对于离散型的边缘分布 3 2边缘分布 例 X Y pi p j p0 4 7 p1 3 7 p 14 7 p 23 7 3 2边缘分布 例 设 X Y N 1 2 12 22 求f1 x f2 y 解 牢记 3 2边缘分布 例 设 X Y N 1 2 12 22 求f1 x f2 y 解 3 2边缘分布 例 设 X Y N 1 2 12 22 求f1 x f2 y 解 3 2边缘分布 例 设 X Y N 1 2 12 22 求f1 x f2 y 解 此即标准正态分布中的密度函数 t X N 1 12 据对称性知 Y N 2