A题：我校数学建模竞赛参赛队员选拔与组队

2014 年河南科技大学模拟训练一年河南科技大学模拟训练一承承 诺诺 书书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从 A/B/C 中选择一项填写）： A 队员签名 ：1. 崔腾腾 2. 方勇 3. 陈金健 日期： 2014 年 08 月 19 日2014 年河南科技大学数学建模竞赛选拔年河南科技大学数学建模竞赛选拔编编 号号 专专 用用 页页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注0我校数学建模竞赛参赛队员选拔与组队摘要本文运用了 Excel 分析数据，MATLAB 计算数据，逐次优选. 一元线性回归的统计分析 ，k-s 正态检验，单因素分析 ，层次分析法，权重， 动态规划等方法。 针对问题一，题中要求算出五个环节的汇总表，但题中给出了（1）校内竞赛答题稿成绩，（2）校内竞赛答题稿答辩成绩，（5）三次模拟点评成绩，并且不全，这时需要我们根据所给出信息对残缺数据进行预测和估计。已知的是（1）和（2）是相关的，并且观察到在校内竞赛中的成绩是按照（1）和（2）的总和按分数从高到低排列的，因此我们可以用一元线性回归的统计分析的方法，用matlab命令，画出散点图，给出参数估估计值，由此得出它们之间的关系x=(138.8745-0.8492*a)/1.5197和y=40.7099+0.5197*x，对于（3）数学模型公选课测试成绩和（4）软件比赛成绩，可以根据其校内竞赛成绩和各个学院之间学习能力和数学基础的不同，给出相应的权重，然后折算出其成绩，最后根据五个环节所占的成绩的比重，用excel统计出五个环节的汇总表。针对问题二，由于答题稿和答辩的评分一般没有可以用物理方法方法计算的绝对客观标准，五位指导老师构成评委，但由于其有一定的主观性，所以在问题一的基础上，我们知道在三次模拟点评中的成绩由于选的题目的不同，其难易程度也不同，其中指导老师也有多个，这样我们选择其中一组的五位指导老师，然后选择那一组中做同一题目的10名学生，所以就可以单方面分析老师的主观因素，运用spss软件进行数据分析，发现老师的评分符合正态分布，所以采用单样本k-s正态检验的方法，可以给出五位老师评分的均值，标准差，极大值，极小值大小，以及其k-s正态统计量的大小以及其显著性大小，从而评价出老师的松严程度从松到严依次为评委一，二，四，五，三，最后用单因素方差分析方法：用MATLAB的anova1命令分析比较9位评委的评分偏好及评分离 散程度，从而给出的图形（*）就更能清楚的表现出评委的松严程度。针对问题三，要设计出一种可以量化的组队方案，使获得全国奖最大化。这就涉及到最佳组队问题，但是所给的数据中又没有给出每个队员的各项能力指标，所以我们模型简化，以学院为单位，使用客观赋权法，用表格数据统计每个队伍的模拟成绩，以此来计算出每个学院的平均建模能力，再用不同学院组合队伍的成绩通过 matlab 来计算出各个学院的学生，在异学院的队伍中所做贡献的权重，最后取权重最大的 3 个进行组合，这样的组合，得到的结果不是个别队伍的优化，而是一个类别的队伍得到更合理组合。关键词：权重，Excel 分析数据，MATLAB 计算数据，逐次优选, 一元线性回归的统计分析 ,k-s 正态检验, 单因素分析 客观赋权法 1一、问题重述全国大学生数学建模竞赛创办于是 1992 年，每年一届，目前已经成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。我校每年都会有一定数量的学生参加此项比赛，并取得了优异成绩。在一年一度的竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问题，这本身就是一个最实际而且是首先需要解决的数学模型问题。我校选拔参赛队员主要参考如下五个环节：（1）校内竞赛答题稿成绩；（2）校内竞赛答题稿答辩成绩；（3）数学模型公选课测试成绩；（4）软件比赛成绩；（5）三次模拟点评成绩。其中（1）（2）（5）三项具有一定的主观性且（1）（2）两项具有相关性，答辩和点评通常由 5 位指导教师构成评委，由评委现场打分产生。主要考察学生的信息获取、分析问题和创新思维以及现场反应能力。（3）（4）两项主要考察学生的学习能力、数学基础和动手实践及计算机水平的能力。再此过程中，首先通过前四个环节的综合成绩选拔与组队；然后进行培训和三次模拟训练，每次模拟均给出点评成绩；最后针对五个环节的综合成绩排序，决定各队是公费还是自费参加全国比赛（公费仅取前三十六个队）。问题如下：（1）根据以上所述，请参考我校选拔组队的部分数据（有遗漏），给出五个环节的成绩汇总表（360 人为宜）； （2）答题稿和答辩的评分一般没有可以用物理方法方法计算的绝对客观标准，我们的 5 位指导教师构成评委，但是评委的水平和尺度略有差异，请根据你所给出的汇总表中的评委打分建立模型，对 5 位评委的水平做出评价并给出排序，回答哪些评委偏严，哪些评委偏松；（3）根据你的理解和认识，设计出一种可以量化的组队方案，使获得全国奖最大化。二、 问题分析全国大学生数学建模比赛目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。我校每年都会有一定数量的学生参加此项赛事，并取得了一定的成绩。为此，数理部每年暑期将会对学生进行培训，最后选拔出参赛的队员。选拔条件为：思维活跃、编程能力强、熟练的写作技巧、良好团队合作意识。附件里给出了某年的参加选拔以及已经选拔出来的学生相关信息，根据所给的信息，进行组队。2.1 问题一的分析 问题一的目是将各个表格的数据完善，然后进行汇总。问题可以分为三个部分。 第一个部分是”校内竞赛答题稿成绩”和”校内竞赛答题稿答辩成绩”的数据填补，2根据题目的提示，这两个表格的数据具有相关性，所以的对它们用 SPSS 进行相关性检验后，进行数据的预测。 第二部分是“数学模型公选课测试成绩”和“软件比赛成绩”，由于这两项完全没有数据，所以关于，数据缺失填补的方法无法应用，但是由于数据符合正态分布可以用模糊数学，设立权重，Excel 分析数据和 MATLAB 计算数据，从而预测出每个小组的数据。 第三部分“模拟点评的成绩”由于附件已经给出，只需利用 Excel 分析数据进行处理和汇总表整合即可。最后利用 Excel 分析数据将三个部分融为一张表格即可给出五个环节的成绩汇总表。2.2 问题二的分析关于答题稿和答辩的评分一般没有可以用物理方法方法计算的绝对客观标准，我们的5位指导教师构成评委，但是评委的水平和尺度略有差异，所以我们可以用单因素分析法，这样我们选择其中一组的五位指导老师，然后选择那一组中做同一题目的10名学生，所以就可以单方面分析老师的主观因素，运用spss软件进行数据检验发现老师的打分符合正态分布，因而可以用k-s正态检验的的方法，再运用用MATLAB的anova1命令分析比较9位评委的评分偏好及评分离 散程度，从而给出的图形（*）就更能清楚的表现出评委的松严程度。2.3 问题三的分析 由于题目并没有给出每个人关于数学建模的各方面的能力指标，而且人数过多，要处理的数据量庞大，所以无法以个人为单位，进行组合优化。于是对模型进行简化，以学院为单位，用模拟选拔赛的成绩为准，分析各学院学生平均综合建模能力，a1,a2.a10。 由于多数同学是找自己学院的同学组队，因此可以统计以同学院组成的队伍的成绩，然后算出平均值如表（一），以此来代表各学院同学的建模能力。 但是，众多的队伍中也有不同学院的同学组合而成的队伍，就算是某个学院平均建模能力强，也并不知道他们与其他学院的学生共同建模时的磨合程度如何，贡献如何，合作能力如何。因此，需要通过不同学院组合的队伍的成绩，和他们当中各学校的平均水平，计算出他们对团队所做的贡献的权重。然后按权重进行排序，将合作能力较强的学院进行组合，来确定哪些学院进行的组合更能适合数学建模的要求。3、模型假设1、假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。2、假设每个队员在参赛以前接受相同的培训，相同的外部环境，在参赛过程中不考虑随机因素。 3、假设各个队在参赛中之间相互独立，不互相影响。4、假设每个队员都能正常发挥如表中的水平。5、假设每份答卷都有绝对分数，能够反映其真实水平，且每份答卷分数服从正态分布。6、假设每位评委所评分数服从正态分布7、假设每名评委独立评卷，互不影响； 8、假设答卷的分数制度为百分制9、假设校内竞赛获奖成绩都在 60 分以上3 4、符号说明符号说明Wi (i=1,2,7)表示各个指标的权重系数个人对准则层的权重px校内竞赛答辩成绩 p=1.npy校内竞赛答题成绩 p=1.npa校内竞赛名词 p=1.npz与之和pxpyijb第 i 个评委对第 j 分答卷的评分 i=1.5J=1.10a1，a2，a3，.，a10 学院平均成绩b1，b2，bn异学院成绩x1，x2，x10 权重向量五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解问题一的目是将各个表格的数据完善，然后进行汇总。问题可以分为三个步骤进行解决。 步骤一：”校内竞赛答题稿成绩”和”校内竞赛答题稿答辩成绩”的数据填补，根据题目的提示，这两个表格的数据具有相关性,由题中所给的数据信息，可以看出校内竞赛答题成绩与校内竞赛答辩成绩之和与排的名次之间也有一定的相关性，所以可以采用一元线性回归统计分析的方法，用 matlab 命令求出相关的参数并进行检验，从而进行数据的预测。 步骤二：“数学模型公选课测试成绩”和“软件比赛成绩”，由于这两项完全没有数据，所以关于，数据缺失填补的方法无法应用，但是由于数据符合正态分布可以用模糊数学，设立权重，Excel 分析数据和 MATLAB 计算数据，从而预测出每个小组的数据。4 步骤三：“模拟点评的成绩”由于附件已经给出，只需利用 Excel 分析数据进行处理和整合即可。5.1.1 一元线性回归模型的建立与求解（1）模型的建立 ， （1）, 1,iiiyabxin其中为观察值，为独立同分布（i.i.d.）随机误差序列，并且。,iix y i20,iN易知，参数和的最小二乘估计（LSE）为ab ， , xyxxlaybxbl（2）其中，1111, nniiiixxyynn，22211nnxxiiiilxxxnx。11nnxyiiiiiilxxyyx ynxy于是，所得线性回归方程为。 yabx（3）在应用回归方程（3）进行拟合、预测和控制之前，必须进行检验问题。 01:0, :0HbHb（4）常用统计量为， 212nSSRSSRFSSEnSSE（5）其中为回归平方和，为残差平方和。当221nixxxyiSSRyyb lbl21niiiSSEyy原假设成立时，0H。 1,2FFn（6）对于给定的显著性水平，由，查表确定临界值011,2P FFn。当时，拒绝原假设，说明与之间存在线性关系，回1,2Fn1,2FFn0Hxy归方程有意义。否则，回归方程无意义，这时有几种可能性： 确实对无任何影xy响； 对有影响，但不是线性关系； 除以外，还有另外的因素对有影响，xyxy这时需要进一步研究。诚然，在使用统计软件进行假设检验时，往往会输出值，也可以直接利用进pp行检验判断，这里，为统计量的样本值。当时，拒绝原假设pP FffFp，认为对的线性影响是显著的，否则，认为对的线性影响是不显著的。0Hxyxy5只有当拒绝原假设，即认为对的线性影响是显著时，才能利用线性回归方0Hxy程（3）进行预测和控制。此时，个体与集体平均的点预测为0y 0E y。 00yabx（9）个体的区间预测（置信水平为）为0y120002111,212niixxSSEyFnynnxx， （10）2002111,212niixxSSEyFnnnxx或者为 ， 00,yd yd（11）其中为预报半径，。120021dtnxC Cx2SSEn12111nxxCx集体平均的区间预测（置信水平为）为 0E y120002111,22niixxSSEyFnynnxx， （12）2002111,22niixxSSEyFnnnxx或者为 ， 0101,yd yd（13）其中。112002dtnxC Cx在实际应用中，为了方便起见，当取值在附近并且样本容量比较大时，通0 xxn常使用0.05， 00022yyy（14）6或者0.01 00033yyy（15）来进行预测和控制。比如，要控制在中，只需通过y12yyy0.05 11222 , 2yabxyabx（16）或者0.01 11223 , 3yabxyabx（2）模型的求解：首先画出散点图（一），用matlab求出y与x之间关系是y=40.7099+0.5197*x,以及z与a之间的关系z=179.5844-0.8492*a，然后在对它们分别进行检验如图（二）和图（三），并且根据其预测区间可以求得x值与y值。由于其数据比较多具体结果则表示在汇总表中，这里给出用matlab命令编的具体的散点图以及线性拟合图（三）还有参数估计区间和检验。8085909580828486889092 （一）y与x的散点图回归系数回归系数估计值回归系数置信区间0B40.79918.337463.08241B0.51970.25660.7829=0.4591 ，F=16.9771，P=0.0005, =4.3430 2R2S（二）回归系数回归系数估计值回归系数置信区间0B179.5844177.7587 181.410171B-0.8492-0.9882 -0.7102=0.8904 ，F=162.4055，P=0.000, =3.9323，Z=179.5844-0.8492a 2R2S （三）结果分析从以下几个方面可以判断出它们是有效的：的置信区间不含零点；并且p;用1Bmatlab命令finv(0.95,1,22)计算得到的结果为 4.3009F，所以模型是可靠的。关于这两个计算关系的拟合图和程序见附录中。5.1.2 模型的建立与求解采用客观观赋权法建立模型，根据队伍里对考察学生的学习能力、数学基础和动手实践及计算机水平的能力的理解，经过队伍的讨论对每个学院的学生的学习能力、数学基础和动手实践及计算机水平进行主观打分，如下表 8队伍认为“数学模型公选课成绩”和“软件比赛成绩”还和他们在校赛中的获奖情况有关，所以我们对奖项也做了主观评分如下表因为每个队伍有不同学院进行组合而成，对于每个队伍“数学模型公选课成绩”和“软件比赛成绩”我们以他们的每一项能力分数相加后求均值的方式，来作为他们团队这两项成绩，但是我们有考虑到，他们能获校赛奖也有很大的关系，于是经过主观赋权我们将“数学模型公选课成绩”和“软件比赛成绩”使用（0.2，0.2，0.6）的权重进行计算得出，例如这一个团队的数学模型公选课成绩为 0.2*数学能力+0.2 数学基础（这两项是求得均值后进行的计算）+0.6*获奖情况5.1.3 模型的建立与求解由题意知模拟点评成绩比其他的要重要所以设的权重要大些，所以可以设定五个环节的比重分别为 0.2,0.2,0.1，0.1,0.4 所以其最终的汇总成绩见表中(附件)I:汇总表.xls5.2 问题二的模型建立与求解关于答题稿和答辩的评分一般没有可以用物理方法方法计算的绝对客观标准，我们的5位指导教师构成评委，但是评委的水平和尺度略有差异，所以我们可以用单因素分析法，这样我们选择其中一组的五位指导老师，然后选择那一组中做同一题目的109名学生，所以就可以单方面分析老师的主观因素，运用spss软件进行数据检验发现老师的打分符合正态分布，因而可以用k-s正态检验的的方法，再运用用MATLAB的anova1命令分析比较9位评委的评分偏好及评分离 散程度，从而给出的图形（四）就更能清楚的表现出评委的松严程度。5.2.1模型的建立单因子方差分析某个可控制因素 A 对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素 A 变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。因素 A 的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素 A 的每个状态或等级成为因素 A 的一个水平。若因素 A 设定了 s 个水平，则分别记为 A1，A2，As。数学模型： (1)2(,) ,1,2,., .iiXNis : :显著性影响问题转化为因素 A 不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设是否成立 (2)012:sH 记号 不同水平下的试验结果，i=1,2,s；j=1,2,ni；ijx ： ：n=n1+n2+ns：试验总数；总平均：；111insijijxxn 总离差平方和：；2211()insTijijSxx 组内平方和（误差平方和）：，随机因素的影响；2211()insEijiijSxx 组间平方和（因素平方和）：，水平差异的影响；2211()insAiijSxx H0的拒绝域为：22()(1,)(1)AEns SWFsnssS 检验结果：高度显著：；20.012()(1,)(1)AEns SFsnssS 显著：；20.010.052()(1,)(1,)(1)AEns SFsnsFsnssS 有一定影响：；20.050.12()(1,)(1,)(1)AEns SFsnsFsnssS 无显著影响：。20.12()(1,)(1)AEns SFsnssS 可构造方差表来完成计算：方差来源平方和自由度均方比值显著性10因素 A 的影响2ASs-1221ASAsS 随机因素的影响2ESn-s22ESEn sS 22AESFS 总 和2TSn-15.2.2模型的求解其中矩阵b表示第i位评委对j个同学的评分，于是b= 60 90 70 75 70 65 70 75 90 65 60 84 80 72 75 70 65 75 85 60 60 75 70 65 60 65 70 75 80 60 60 77 80 70 68 65 65 70 80 80 60 81 75 71 68 68 68 74 84 67描述性统计量描述性统计量百分位N均值标准差极小值极大值第 25 个第 50 个（中值）第 75 个评委一10 73.0000 10.0554060.0090.00 65.000070.0000 78.7500评委二10 72.60009.0209660.0085.00 63.750073.5000 81.0000评委三10 68.00007.1492060.0080.00 60.000067.5000 75.0000评委四10 71.50007.3067760.0080.00 65.000070.0000 80.0000评委五10 71.40007.2449260.0084.00 66.750069.5000 76.5000单样本单样本 Kolmogorov-SmirnovKolmogorov-Smirnov 检验检验评委一评委二评委三评委四评委五N1010101010均值73.0000 72.6000 68.0000 71.5000 71.4000正态参数a,b标准差10.05540 9.02096 7.14920 7.30677 7.2449211绝对值.221.119.168.181.181正.221.119.168.181.181最极端差别负-.155-.105-.136-.178-.128Kolmogorov-Smirnov Z.699.376.533.573.571渐近显著性(双侧).712.999.939.897.900a. 检验分布为正态分布。b. 根据数据计算得到。从这两张图表可以看出评委的分数 p 值都大于 0.05 服从正态分布，从而看出评委给的分数从高到低依次是评委一，二，四，五，三。从标准差来看，其给的分数的波动大小依次为一，二，四，五，三。另外可以用 Matlab 中的命令得出如下图所示121234560657075808590ValuesColumn Number由此可以验证了上面的结论5.3 问题三的模型建立与求解通过上述分析假设基础上，解决问题二我们建立了模型。模型：以学院为单位，在表中进行搜索学院组成的队伍的模拟成绩，然后进行统计，计算均值，结果如表（一） 表（一）13 将上图中，10 个学院的平均值定义为 a1，a2，a3，.，a10。对于来自不同学院组成的队伍，如图一 图一对于类似的队伍，我们并不知道他们当中每个同学对团队的贡献如何，根据这类队伍的模拟成绩和他们当中所代表的学院的平均建模水平，以此来计算隐含在其中的各学院关于团队贡献的权重。为了更加充分的使用数据，使所得的结果更加客观，权重的设置采用的是客观赋权法，它是一种利用数据之间关系，确定权重的办法。设权重向量：x1，x2，x10。根据学院模拟成绩平均值 a1，a2，a3，.，a10，权重关系：x1，x2，x10 和不同学院组合的团队的成绩 b1，b2，bn（n1）得到线性方程组，如图二1411* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1021* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1031* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1041* 1baxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbax2* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1051* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1061* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1071* 12* 2axaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxa 3* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1081* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 1091* 12* 23* 34* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 10101* 12* 23* 34xaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxbaxaxaxa* 45* 56* 67* 78* 89* 910* 10 xaxaxaxaxaxax 图二根据我们在表格中查到的这类队伍，排除成绩缺失和弃权的队伍，合并相同队伍组合的情况后，得到如下的方程：*=0 147.42 70.65 0 0 0 0 0 0 00 147.42 0 76.75 0 0 0 0 0 0134.66 0 70.65 0 0 0 0 0 0 00 73.71 141.3 0 0 0 0 0 0 067.33 0 0 0 0 0 0 145.12 0 067.33 73.71 0 0 0 0 0 0 67.5 00 73.71 141.3 0 0 0 0 0 0 00 147.42 0 0 0 0 0 72.56 0 00 0 0 0 143.3 0 0 72.56 0 067.33 147.42 0 0 0 0 0 0 0 0134.66 0 70.65 0 0 0 0 0 0 0 12345678910 xxxxxxxxxx. . 81.25 68.25 73.5 84.577.585.25 67 7364 337364 33根据矩阵运算X=AB，得 =12345678910 xxxxxxxxxx0.28490.34640.38240.28570.3562000.36470.4264015在对权重进行归一化处理得到权向量 = 0.1160.1410.1560.1170.145000.1490.1740各学院的数学建模合作能力可以制成如下表三从表格中可以看出化工学院，机电学院，电信学院，车动学院，数学学院，这几个学院组合出来的队伍拥有较强的数学建模能力。六、模型优缺点6.1 问题一的优缺点 优点：对于模型，主要用的是设立权重，Excel分析数据和MATLAB计算数据，excel在数据的分析中最为基础最易掌握，图形工具强大和完善，且matlab计算数据编程效率高，使用方便，扩展性强，为数据残缺的填补提供了更加的可行性与可信性。 缺点：对于问题一，分析数据与计算数据的循环运算效率低，另外在权重设立方面加了一些主观因素，直接打分给出这项指标的权重难以保持权重的可确定性，因而在数据的处理与预测方面也存在一定的误差，不够精确，降低了汇总表的科学合理性。6.2 问题二的优缺点优点：对于模型，主要运用的是单因素方差分析，运用spss处理数据比较方面比较全面，从而可以清楚的知道数据之间的的分布，我们就可以容易的判断出其中的数据联系。缺点是运用它的时候比较死板，有的时候得出来的数据会缺乏一定的可行度