2005年全国高中数学联赛试卷

2005 年全国高中数学联赛试卷 2005 年 10 月 16 日上午 8 00 9 40 一 选择题 1 使关于 x 的不等式 k 有解的实数 k 的最大值是 x 36 x A B C D 633636 2 空间四点 A B C D 满足 3 7 11 9 则 的取值 AB BC CD DA AC BD A 只有一个 B 有二个 C 有四个 D 有无穷多个 3 ABC 内接于单位圆 三个内角 A B C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 B1 C1 则 的值为 AA1 cosA 2 BB1 cosB 2 CC1 cosC 2 sinA sinB sinC A 2 B 4 C 6 D 8 4 如图 ABCD A B C D 为正方体 任作平面 与对角线 AC 垂直 使得 与正方体的每个面都有 公共点 记这样得到的截面多边形的面积为 S 周长为 l 则 A S 为定值 l 不为定值 B S 不为定值 l 为定值 C S 与 l 均为定值 D S 与 l 均不为定值 5 方程 1 表示的曲线是 x2 sin 2 sin 3 y2 cos 2 cos 3 A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 y 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的双曲线 6 记集合 T 0 1 2 3 4 5 6 M ai T i 1 2 3 4 将 M 中的元素 a1 7 a2 72 a3 73 a4 74 按从大到小排列 则第 2005 个数是 A B C D 5 7 5 72 6 73 3 74 5 7 5 72 6 73 2 74 1 7 1 72 0 73 4 74 1 7 1 72 0 73 3 74 二 填空题 7 将关于 x 的多项式 f x 1 x x2 x3 x19 x20表为关于 y 的多项式 g y a0 a1y a2y2 a19y19 a20y20 其中 y x 4 则 a0 a1 a20 8 已知 f x 是定义在 0 上的减函数 若 f 2a2 a 1 f 3a2 4a 1 成立 则 a 的取值范围是 9 设 满足 0 2 若对于任意 x R cos x cos x cos x 0 则 10 如图 四面体 DABC 的体积为 且满足 ACB 45 AD BC 1 6 3 则 CD AC 2 11 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2x 17 上 另外两个顶点在 抛物线 y x2上 则该正方形面积的最小值为 12 如果自然数 a 的各位数字之和等于 7 那么称 a 为 吉祥数 将所有 吉祥数 从小到大排成一 列 a1 a2 a3 若 an 2005 则 a5n A B C D D C B A 45 A D C B 三 解答题 13 数列 an 满足 a0 1 an 1 n N 7an 45a n 2 36 2 证明 对任意 n N an为正整数 对任意 n N anan 1 1 为完全平方数 14 将编号为 1 2 3 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上 每个等分点上各放一个 小球 设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 S 求使 S 达到最小值的放法的概率 注 如果 某种放法 经旋转或镜面反射后与另一种放法重合 则认为是相同的放法 15 过抛物线 y x2上一点 A 1 1 作抛物线的切线 分别交 x 轴于点 D 交 y 轴于点 B 点 C 在抛物 线上 点 E 在线段 AC 上 满足 1 点 F 在线段 BC 上 满足 2 且 1 2 1 线段 CD 与 EF 交 AE EC BF FC 于点 P 当点 C 在抛物线上移动时 求点 P 的轨迹方程 加试卷 一 如图 在 ABC 中 设 AB AC 过点 A 作 ABC 的外接圆的切线 l 又 以点 A 为圆心 AC 为半径作圆分别交线段 AB 于点 D 交直线 l 于点 E F 证明 直线 DE DF 分别通过 ABC 的内心与一个旁心 二 设正数 a b c x y z 满足 cy bz a az cx b bx ay c 求函数 f x y z 的最小值 x2 1 x y2 1 y z2 1 z 三 对每个正整数 n 定义函数 f n 其中 x 表示不超过 x 的最大整 0 当n为完全平方数 1 n 当n不为完全平方数 数 x x x 试求f k 的值 k 1 240 呜呼 不怕繁死人 就怕繁不成 A D C B FE l 2005 年全国高中数学联赛试卷 2005 年 10 月 16 日上午 8 00 9 40 一 选择题 1 使关于 x 的不等式 k 有解的实数 k 的最大值是 x 36 x A B C D 633636 选 D 解 3 x 6 令 sin 0 则 x 3 3sin2 cos x 33 26 x3 故 sin cos 故选 D 633 2 空间四点 A B C D 满足 3 7 11 9 则 的取值 AB BC CD DA AC BD A 只有一个 B 有二个 C 有四个 D 有无穷多个 选 A 解 AB BC CD DA 0 DA2 2 2 AB2 BC2 CD2 2 DA AB BC CD AB BC AB CD BC CD AB2 BC2 CD2 2 2 其中 AB BD BC BD BC BC CD BD CD BD BC AB2 BC2 CD2 2BC2 2 AC BD 故 2 DA2 BC2 AB2 CD2 92 72 32 112 0 0 选 A AC BD AC BD 3 ABC 内接于单位圆 三个内角 A B C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 B1 C1 则 的值为 AA1 cosA 2 BB1 cosB 2 CC1 cosC 2 sinA sinB sinC A 2 B 4 C 6 D 8 选 A 解 AA1 cos 2sin B cos sin A B sinB sinC sinB A 2 A 2 A 2 AA1 cos BB1 cos CC1 cos 2 sinA sinB sinC 故原式 2 选 A A 2 B 2 C 2 4 如图 ABCD A B C D 为正方体 任作平面 与对角线 AC 垂直 使得 与正方 体的每个面都有公共点 记这样得到的截面多边形的面积为 S 周长为 l 则 A S 为定值 l 不为定值 B S 不为定值 l 为定值 C S 与 l 均为定值 D S 与 l 均不为定值 选 B 解 设截面在底面内的射影为 EFBGHD 设 AB 1 AE x 0 x 则 1 2 l 3 x 1 x 3为定值 222 而 S 1 x2 1 x 2 sec x x2 sec 为平面 与底面的所成角 不为 1 2 1 2 1 2 定值 故选 B A CB A1 B1 C1 I E F G H A B C D D C B A 5 方程 1 表示的曲线是 x2 sin 2 sin 3 y2 cos 2 cos 3 A 焦点在 x 轴上的椭圆 B 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 y 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的双曲线 选 C 解 由于 0 cos cos sin sin 0 32 23 2 223 2 2223 又 0 c cos cos 0 曲线为椭圆 2323 sin sin cos cos sin sin 而 0 232322 43 42 43 4 2 sin sin cos cos 焦点在 y 轴上 故选 C 2323 6 记集合 T 0 1 2 3 4 5 6 M ai T i 1 2 3 4 将 M 中的元素 a1 7 a2 72 a3 73 a4 74 按从大到小排列 则第 2005 个数是 A B C D 5 7 5 72 6 73 3 74 5 7 5 72 6 73 2 74 1 7 1 72 0 73 4 74 1 7 1 72 0 73 3 74 选 C 解 M a1 73 a2 72 a3 7 a4 ai T i 1 2 3 4 a1 73 a2 72 a3 7 a4可以看成是 7 1 74 进制数 a1a2a3a4 7 其最大的数为 6666 7 74 1 2400 从而从大到小排列的第 2005 个数是 2400 2004 396 即从 1 起从小到大排的第 396 个数 396 73 72 4 1104 7 故原数为 故选 C 1 7 1 72 0 73 4 74 二 填空题 7 将关于 x 的多项式 f x 1 x x2 x3 x19 x20表为关于 y 的多项式 g y a0 a1y a2y2 a19y19 a20y20 其中 y x 4 则 a0 a1 a20 填 521 1 6 解 f x a0 a1 x 4 2 a2 x 4 2 a20 x 4 20 令 x 5 得 f 5 1 5 52 53 519 520 a0 a1 a20 5 21 1 5 1 521 1 6 8 已知 f x 是定义在 0 上的减函数 若 f 2a2 a 1 f 3a2 4a 1 成立 则 a 的取值范围是 填 0 1 5 1 3 解 a 1 2a2 a 1 0 3a2 4a 1 0 1 3 2a2 a 1 3a2 4a 1 a2 5a 0 0 a 5 故所求取值范围为 0 1 5 1 3 9 设 满足 0 2 若对于任意 x R cos x cos x cos x 0 则 填 4 3 解 由 f x 0 得 f f f 0 cos cos cos cos cos cos 1 故 cos cos cos 1 2 由于 0 2 故 从而 2 3 4 3 4 3 10 如图 四面体 DABC 的体积为 且满足 1 6 ACB 45 AD BC 3 则 CD AC 2 填 3 解 V AC BCsin45 h AC BC ADsin45 1 3 1 2 1 6 即 AC BC ADsin45 1 BC AD 1 AC 2 而 3 AD BC 3 3 等号当且仅当 AD BC 1 时成立 AC 2 3 AD BC AD 2 AC 2 故 AC 且 AD BC 1 AD 面 ABC CD 23 11 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2x 17 上 另外两个顶点在抛物线 y x2上 则该正方形面 积的最小值为 填 80 解 设正方形 ABCD 的顶点 A B 在抛物线上 C D 在直线上 设直线 AB 方程为 y 2x b 求 AB 交抛物线 y x2的弦长 以 y 2x b 代入 y x2 得 x2 2x b 0 4 4b l 2 5 b 1 两直线的距离 b 17 5 由 ABCD 为正方形得 2 100 b 1 b2 34b 289 b2 66b 189 0 5 b 1 b 17 5 解得 b 3 b 63 正方形边长 4或 16 正方形面积最小值 80 55 12 如果自然数 a 的各位数字之和等于 7 那么称 a 为 吉祥数 将所有 吉祥数 从小到大排成一 列 a1 a2 a3 若 an 2005 则 a5n 填 52000 解 一位的吉祥数有 7 共 1 个 二位的吉祥数有 16 25 34 43 52 61 70 共 7 个 三位的吉祥数为 x1 x2 x3 7 的满足 x1 1 的非负整数解数 有 C 28 个 也可枚举计数 8 2 45 A D C B C A xO y B D 一般的 k 位的吉祥数为 x1 x2 xk 7 的满足 x1 1 的非负整数解数 令 xi xi 1 i 2 3 k 有 x1 x2 xk 7 k 1 共有解 C C组 k 5 k 1 k 5 6 4 位吉祥数中首位为 1 的有 28 个 2005 是 4 位吉祥数中的第 29 个 故 n 1 7 28 28 1 65 5n 325 C C C C C 1 7 28 84 210 330 即是 5 位吉祥数的倒数第 6 个 6 6 7 6 8 6 9 6 10 6 5 位吉祥数从大到小排列 70000 61000 60100 60010 60001 52000 三 解答题 13 数列 an 满足 a0 1 an 1 n N 7an 45a n 2 36 2 证明 对任意 n N an为正整数 对任意 n N anan 1 1 为完全平方数 证明 a1 5 且 an单调递增 所给式即 2an 1 7an 2 45a 36 a 7an 1an a 9 0 n 2 n 1 2 n 2 下标加 1 a 7an 2an 1 a 9 0 n 2 2 n 1 2 相减得 an 2 an an 2 7an 1 an 0 由 an单调增 故 an 2 7an 1 an 0 an 2 7an 1 an 因 a0 a1为正整数 且 a1 a0 故 a2为正整数 由数学归纳法 可知 对任意 n N an为正整数 由 a 2an 1an a 9 an 1an 1 an 1an 1 2 n 1 2 n 2 an an 1 3 由于 an为正整数 故 an 1an 1 为正整数 从而 2为正整数 但 an an 1均为正整数 于 an an 1 3 是必为有理数 而有理数的平方为整数时 该有理数必为整数 从而是整数 即 an an 1 3 an an 1 3 an 1an 1 是整数的平方 即为完全平方数 故证 原解答上有一段似无必要 记 f n an 1an 2 an an 1 3 则 f n f n 1 an 1an anan 1 2an an 1 an 1 an 1 an 1 an 1 an 1 an 1 7an an 1 1 9 1 9 0 即 f n f n 1 f 0 1 故 式成立 故 anan 1 1 为完全平方数 又证 由上证 得 式后 an 2 7an 1 an 0 特征方程为 x2 7x 1 0 解得 x 7 3 5 2 3 5 2 2 5 1 2 4 令 an 由 a0 1 a1 5 解得 5 1 2 4n 5 1 2 4n 5 1 2 5 5 1 2 5 得 an 1 5 5 1 2 4n 1 5 1 2 4n 1 注意到 1 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 25 有 anan 1 1 1 1 5 5 1 2 4n 1 5 1 2 4n 1 5 1 2 4n 5 5 1 2 4n 5 5 1 5 5 1 2 8n 6 5 1 2 8n 6 5 1 2 4 5 1 2 4 2 1 5 5 1 2 4n 3 5 1 2 4n 3 由二项式定理或数学归纳法知 为 k型数 k N 故 anan 1 1 为完全平方 5 1 2 4n 3 5 1 2 4n 3 5 数 用数学归纳法证明 n 0 时 2 5 1 2 3 5 1 2 3 5 设当 n m m N 时 kn kn N 且 k1 k2 km 5 1 2 4n 3 5 1 2 4n 3 5 5 1 2 4 m 1 3 5 1 2 4 m 1 3 5 1 2 4m 3 5 1 2 4m 3 5 1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 4m 1 5 1 2 4m 1 7km km 1 7km km 1 由归纳假设知 km 1 7km km 1 N 且 km km 1成立 555 得证 14 将编号为 1 2 3 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上 每个等分点上各放一个 小球 设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为 S 求使 S 达到最小值的放法的概率 注 如果 某种放法 经旋转或镜面反射后与另一种放法重合 则认为是相同的放法 解 9 个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上 考虑镜面反射的因素 共有种放法 8 2 为使 S 取得最小值 从 1 到 9 之间应按增序排列 设从 1 到 9 之间放了 k 个球 其上的数字为 x1 x2 xk 则 1 x1 x1 x2 xk 9 1 x1 x1 x2 xk 9 8 当且仅当 1 x1 x1 x2 xk 9 全部同号时其 和取得最小值 即 1 x1 x2 xk 9 递增排列时其和最小 故 S 2 8 16 当 S 取得最小值时 把除 1 9 外的 7 个元素分成两个子集 各有 k 及 7 k 个元素 分放 1 到 9 的两 段弧上 分法总数为 C C C 种 考虑镜面因素 共有 64 种方法 7 0 7 1 7 6 所求概率 P 64 2 8 1 315 15 过抛物线 y x2上一点 A 1 1 作抛物线的切线 分别交 x 轴于点 D 交 y 轴于点 B 点 C 在抛物 线上 点 E 在线段 AC 上 满足 1 点 F 在线段 BC 上 满足 2 且 1 2 1 线段 CD 与 EF 交 AE EC BF FC 于点 P 当点 C 在抛物线上移动时 求点 P 的轨迹方程 解 过点 A 的切线方程为 y 2x 1 交 y 轴于点 B 0 1 AB 与 x 轴交于点 D 0 设点 C 坐标为 C x0 y0 点 P 坐标为 1 2 CD CP x y 由 1 1 1 同理 1 2 AE EC AC CE CB CF 而 成等差数列 过 A B 作 CD 的平行线可证 CA CE CD CP CB CF 得 2 1 1 1 2 3 即 从而点 P 为 ABC 的重心 3 2 x y y0 x 1 0 x0 3 1 1 y0 3 0 2 解得 x0 3x 1 y0 3y 代入 y0 x 得 y 3x 1 2 0 2 1 3 由于 x0 1 故 x 所求轨迹方程为 y 3x 1 2 x 2 3 1 3 2 3 又解 过点 A 的切线方程为 y 2x 1 交 y 轴于点 B 0 1 AB 与 x 轴交于点 D 0 设点 C 坐 1 2 标为 C t t2 CD 方程为 即 y 2x 1 x 1 2 t 1 2 y t2 t2 2t 1 点 E F 坐标为 E F 从而得 EF 的方程为 1 1t 1 1 1 1t2 1 1 2t 1 2 2t2 1 1 2 y 1 1t2 1 1 2t2 1 1 2 1 1t2 1 1 x 1 1t 1 1 2t 1 2 1 1t 1 1 化简得 2 1 t 1 2 y 2 1 t2 3 x 1 t 2t2 当 t 时 直线 CD 方程为 y 1 2 2t2x t2 2t 1 联立 解得消去 t 得点 P 的轨迹方程为 y 3x 1 2 x t 1 3 y t2 3 1 3 当 t 时 EF 方程为 y 2 1 3 x 2 CD 方程为 x 联立解得点 此点 1 2 3 2 1 4 1 4 3 2 1 4 1 2 1 2 1 12 D E F P B 0 1 y O x A 1 1 C x0 y0 在上述点 P 的轨迹上 因 C 与 A 不能重合 故 t 1 x 2 3 故所求轨迹为 y 3x 1 2 x 1 3 2 3 加试卷 一 如图 在 ABC 中 设 AB AC 过点 A 作 ABC 的外接圆的切线 l 又以点 A 为圆心 AC 为半 径作圆分别交线段 AB 于点 D 交直线 l 于点 E F 证明 直线 DE DF 分别通过 ABC 的内心与一个旁心 证明 连 DC DE 作 BAC 的平分线交 DE 于点 I 交 CD 于 G 由 AD AC DAI CAI AI AI ADI ACI 故 ADI ACI 但 FAD ACB 弦切角 FAD 2 ADE 等腰三角形顶角的外角 所以 FAD 2 ACI ACB 2 ACI 即 CI 是 ACB 的平分线 故点 I 是 ABC 的内心 连 FD 并延长交 AI 延长线于点 I 连 CI 由于 AD AE AF EDF 90 IDI 90 而由 ADI ACI 知 AID AIC DII CII 又 ID IC II 为公共边 故 IDI ICI ICI 90 由于 CI 是 ACB 的平分线 故 CI 是其外角的平分线 从而 I 为 ABC 的一个旁心 又证 连 DE DC 作 BAC 的平分线分别交 DE 于 I DC 于 G 连 IC 则由 AD AC 得 AG DC ID IC 又 D C E 在 A 上 故 IAC DAC IEC 故 A I C E 四点 1 2 共圆 所以 CIE CAE ABC 而 CIE 2 ICD 故 ICD ABC 1 2 所以 AIC IGC ICG 90 ABC 所以 ACI ACB 故 I 为 ABC 的内心 1 2 1 2 连 FD 并延长交 ABC 的外角平分线于 I1 连 II1 BI1 BI 则由 知 I 为 ABC 的内心 故 IBI1 90 EDI1 故 D B I1 I 四点共圆 故 BII1 BDI1 90 ADI BAC ADG ADI BAC IDG 故 A I I1共线 所 1 2 1 2 以 I1是 ABC 的 BC 边外的旁心 二 设正数 a b c x y z 满足 cy bz a az cx b bx ay c 求函数 f x y z 的最小值 x2 1 x y2 1 y z2 1 z 解 解方程组 得 由于 x y z 为正数 故 cy bz a az cx b bx ay c x b2 c2 a2 2bc y c2 a2 b2 2ac z a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 l EF B C D A G I I 即以 a b c 为边可以构成锐角三角形 记边 a b c 的对角分别为 A B C a b c b c a c a b 则 cosA x cosB y cosC z A B C 为锐角 f x y z f cosA cosB cosC cos2A 1 cosA cos2B 1 cosB cos2C 1 cosC 令 u cotA v cotB w cotC 则 u v w R 且 uv vw wu 1 于是 u v u w u2 uv uw vw u2 1 同理 v2 1 v u v w w2 1 w u w v cos2A sin2Acot2A 所以 cot2A 1 cot2A u2 1 u2 cos2A 1 cosA u2 1 u2 1 u 1 u2 u2 1 u2 r 1 u2 u u2 r 1 u2 u 1 u2 u2 u2 u2 u3 1 u2 u3 u v u w u3 2 1 u v 1 u w 同理 v2 w2 cos2B 1 cosB v3 2 1 v u 1 v w cos2C 1 cosC w3 2 1 w u 1 w v 于是 f u2 v2 w2 1 2 u3 v3 u v v3 w3 v w w3 u3 w u u2 v2 w2 u2 uv v2 v2 vw w2 w2 wu u2 1 2 uv vw wu 等号当且仅当 u v w 即 a b c x y z 时成立 1 2 1 2 1 2 故知 f x y z min 1 2 又证 由约束条件可知 故 x b2 c2 a2 2bc y a2 c2 b2 2ac z a2 b2 c2 2ab 1 x a b c a b c 2bc 1 y a b c a b c 2ac 1 z a b c a b c 2ab 得 f x y z 1 2 a b c b2 c2 a2 2 bc b c a c2 a2 b2 2 ac c a b a2 b2 c2 2 ab a b c 显然有 a b c 0 a b c 0 a b c 0 由 Cauchy 不等式有 bc b c a ca c a b ab a b c a2 b2 c2 b2 c2 a2 2 bc b c a c2 a2 b2 2 ac c a b a2 b2 c2 2 ab a b c 2 故 f x y z a2 b2 c2 2 2 a b c b2c bc2 ac2 a2c a2b ab2 3abc 1 2 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 2a2b2 2b2c2 2c2a2 b3c b3c a3b a3c c3a c3b abc a b c 下面证明 1 即证 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 2a2b2 2b2c2 2c2a2 b3c b3c a3b a3c c3a c3b abc a b c a4 b4 c4 a3b a3c b3c b3a c3a c3b a b c abc 由于 a4 a3b a3c a2bc a2 a2 ab ac bc a2 a b a c 故 式即 a2 a b a c b2 b a b c c2 c a c b 0 不妨设 a b c 则 a2 a b a c b2 b a b c a2 a b b c b2 a b b c a2 b2 a b b c 0 又 c2 c a c b 0 于是 a2 a b a c b2 b a b c c2 c a c b 0 成立 等号当且仅当 a b c 时成立 所以 f x y z 且 f 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 又证 令 p a b c 式即 f x y z 1 2 由 Cauchy 不等式 1 8p b2 c2 a2 2 bc p a c2 a2 b2 2 ac p b a2 b2 c2 2 ab p c 1 8p a2 b2 c2 2 bc p a ca p b ab p c 1 8p a2 b2 c2 2 p ab bc ca 3abc 而 a2 b2 c2 2 p2 4Rr r2 ab bc ca p2 4Rr r2 abc 4Rrp 故 f x y z 1 2p p2 4Rr r2 2 p p2 4Rr r2 12pRr 1 2p2 p2 4Rr r2 2 p2 8Rr r2 而 p2 p4 16R2r2 r4 8p2Rr 2p2r2 8Rr3 p4 8p2Rr p2r2 p2 4Rr r2 2 p2 8Rr r2 16R2 8Rr r2 3p2 4R r p 3 最后一式成立 故得结论 关于 式 由 rp 得 r2 2 p2 p p a p b p c p2 p a p b p c p p3 a b c p2 ab bc ca p abc p p3 ab bc ca p abc p 又由 得 4Rr 故 4Rr r2 p2 ab bc ca abc 4R abc p 就是 ab bc ca p2 4Rr r2 a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ca 4p2 2p2 8Rr 2r2 2 p2 4Rr r2 abc 4R 4Rrp 关于 式 由 r 4Rsin sin sin 故 A 2 B 2 C 2 4R r 4R 4Rsin sin sin 4R 4R cosA cosB cosC 1 R 3 cosA cosB cosC A 2 B 2 C 2 2R cos2 cos2 cos2 A 2 B 2 C 2 而 p RsinA RsinB RsinC 4R cos cos cos A 2 B 2 C 2 故 4R r p cos2 cos2 cos2 2cos cos cos 3 A 2 B 2 C 23 A 2 B 2 C 2 又 cos2 cos2 cos2 3 而 3 2cos cos cos