2011届高考数学复习课件：导数的应用(理).ppt

导数的应用 一 复习目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 二 重点解析 对于可导函数f x 先求出f x 利用f x 0 或 0 求出函数f x 的单调区间 利用f x 0 求出f x 的极值点 把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较 求出最值 如果函数在区间内只有一个点使f x 0 此时函数在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 也可以知道这就是最大 小 值 如果应用导数解决实际问题 最关键的是要建立恰当的数学模型 函数关系 然后再运用上述方法研究单调性及极 最 值 1 函数的单调性 三 知识要点 1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则y f x 为增函数 如果f x 0 则y f x 为减函数 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 在该区间单调递增 或减 则在该区间内f x 0 或f x 0 注当f x 在某个区间内个别点处为零 在其余点处均为正 或负 时 f x 在这个区间上仍旧是单调递增 或递减 的 例f x x3在 1 1 内 f 0 0 f x 0 x 0 显然f x x3在 1 1 上仍旧是增函数 极大值与极小值统称为极值 是函数f x 的一个极小值 记作 y极小值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 就说f x0 2 函数极值的定义 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 我们就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作 y极大值 f x0 3 判断f x0 是极值的方法 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 4 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 3 求方程f x 0的根 5 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 不一定有最大值与最小值 例如f x x x 1 1 6 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求导数f x 4 检查f x 在方程f x 0的根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 典型例题1 已知a R 求函数f x x2eax的单调区间 解 函数f x 的导数f x 2xeax ax2eax 2x ax2 eax 1 当a 0时 由f x 0得x 0 f x 的单调递减区间为 0 单调递增区间为 0 典型例题2 已知a为实数 f x x2 4 x a 1 求导函数f x 2 若f 1 0 求f x 在 2 2 上的最大值和最小值 3 若f x 在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 解 1 由已知f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 2ax 4 f x 3x2 x 4 3 f x 的图象为开口向上的抛物线且过点 0 4 由题设得f 2 0且f 2 0 8 4a 0且8 4a 0 2 a 2 故a的取值范围是 2 2 典型例题3 解 1 函数f x 的定义域为 1 令f x 0得x 0 当 10 当x 0时 f x 0 又f 0 0 故当且仅当x 0时 f x 取得最大值 最大值为0 2 由题设g x lnx 1 当0 x a时 F x 0 F x 在 0 a 内为减函数 当x a时 F x 0 F x 在 a 上为增函数 从而当x a时 F x 取极小值F a 0 b a F b 0 又设G x F x x a ln2 则G x lnx ln a x 当x 0时 G x 0 G x 在 0 上为减函数 而b a G a 0 G b 0 F b b a ln2 典型例题4 设t 0 点P t 0 是函数f x x3 ax与g x bx2 c的图象的一个公共点 两函数的图象在点P处有相同的切线 1 用t表示a b c 2 若函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 求t的取值范围 解 1 函数f x 的图象过点P t 0 f t 0 t3 at 0 t 0 a t2 又 函数g x 的图象也过点P t 0 g t 0 bt2 c 0 c ab 两函数的图象在点P处有相同的切线 f t g t 而f x 3x2 a g x 2bx 3t2 a 2bt 将a t2代入上式得b t c ab t3 综上所述 a t2 b t c t3 2 方法一 y f x g x x3 tx2 t2x t3 y 3x2 2tx t2 3x t x t 当y 3x t x t 0时 y f x g x 为减函数 函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 t 3或t 9 t的取值范围是 9 3 2 方法二 y f x g x x3 tx2 t2x t3 y 3x t x t 函数y f x g x 在 1 3 上单调递减 y 3x t x t 的图象是开口向上的抛物线 y 3x t x t 0对于x 1 3 恒成立 则y x 1 0且y x 3 0 即 3 t 1 t 0且 9 t 3 t 0 解得t 3或t 9 t的取值范围是 9 3 典型例题5 已知函数f x ax3 cx d a 0 是R上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间和极大值 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 1 解 函数f x 是R上的奇函数 f x f x 即 ax3 cx d ax3 cx d对x R恒成立 d 0 f x ax3 cx f x 3ax2 c 当x 1时 f x 取得极值 2 f 1 2且f 1 0 a c 2且3a c 0 a 1 c 3 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 在 1 上是增函数 当x 1时 f x 取得极大值f 1 2 故函数f x 的单调递减区间是 1 1 单调递增区间是 1 和 1 f x 的极大值为2 典型例题5 已知函数f x ax3 cx d a 0 是R上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求f x 的单调区间和极大值 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 2 证 由 1 知f x x3 3x在 1 1 上是减函数 且f x 在 1 1 上的最大值M f 1 2 f x 在 1 1 上的最小值m f 1 2 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 典型例题6 若二次函数f x 满足 在x 1处有极值 图象过点 0 3 且在该点处的切线与直线2x y 0平行 1 求f x 的解析式 2 求函数g x f xex x 0 1 的值域 解 1 由已知可设f x ax2 bx c a 0 函数f x 的图象过点 0 3 f x x2 2x 3 f 0 3 f x 在x 1处有极值 c 3 则f x 2ax b f 1 0 2a b 0 f x 的图象在点 0 3 处的切线与直线2x y 0平行 f 0 2 b 2 a 1 2 设u xex 则u ex xex x 0 1 时 u 0 u x 是 0 1 上的增函数 0 u e f u u 1 2 4 g x 在 0 1 上的值域是 4 e2 2e 3 3 设P x1 y1 Q x2 y2 为曲线y f ex 上任两点 不妨x1 x2 解得a 0 x1 x2 0 f x 2x 2 故a的取值范围是 0 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 3 依题意得 f 1 f 1 0 解得a 1 b 0 3a 2b 3 0且3a 2b 3 0 f x 3x2 3 由f x 0得 1 x 1 课后练习1 已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值 1 讨论f 1 和f 1 是函数f x 的极大值还是极小值 2 过点A 0 16 作曲线y f x 的切线 求此切线方程 2 由 1 知f x x3 3x 由f x 0得x1 f x 在 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 在 1 上是增函数 f 1 2是极大值 f 1 2是极小值 点A 0 16 不在曲线上 设切点为M x0 y0 则y0 x03 3x0 f x0 3x02 3 切线方程为y x03 3x0 3x02 3 x x0 点A 0 16 在切线上 16 x03 3x0 3x02 3 x0 化简得x03 8 x0 2 切线方程为y 8 6 9 x 2 即9x y 16 0 课后练习2 解 由题设f x x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t 函数f x 在区间 1 1 是增函数 f x 0 即 3x2 2x t 0 亦即t 3x2 2x对x 1 1 恒成立 考虑函数g x 3x2 2x x 1 1 故t 3x2 2x对x 1 1 恒成立等价于t g 1 即t 5 而当t 5时 f x 在 1 1 上满足f x 0 故t的取值范围是 5 即f x 在 1 1 是增函数 课后练习3 已知函数f x x3 bx2 cx d的图象过点P 0 2 且在点M 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 1 求函数y f x 的解析式 2 求函数y f x 的单调区间 解 1 函数f x 的图象过点P 0 2 f 0 2 d 2 f x x3 bx2 cx 2 f x 3x2 2bx c f x 图象在点M 1 f 1 处的切线方程为6x y 7 0 6 f 1 7 0 即f 1 1 且f 1 6 3 2b c 6 且 1 b c 2 1 即2b c 3 且b c 0 b c 3 f x x3 3x2 3x 2 2 由 1 知f x 3x2 6x 3 课后练习4 解 1 由已知f x 3ax2 2bx 2 函数f x 在x 2 x 1处取得极值 12a 4b 2 0且3a 2b 2 0 由f x 0得 2 x 1 已知函数f x ax3 bx2 2x在x 2 x 1处取得极值 1 求函数y f x 的解析式 2 求函数y f x 的单调区间 由f x 0得x1 y f x 的单调递减区间是 2 1 单调递增区间是 2 和 1 f 2 f 1 0 2 由 1 知f x x2 x 2 课后练习5 设函数f x xsinx x R 1 证明 f x 2k f x 2k sinx 其中k为整数 2 设x0为f x 的一个极值点 证明 证 1 f x xsinx k为整数 f x 2k f x x 2k sin x 2k xsinx x 2k sinx xsinx 2k sinx f x 2k f x 2k sinx 2 f x xsinx x R f x sinx xcosx 令f x 0得 sinx xcosx 0 显然cosx 0 x tanx x0为f x 的一个极值点 x0 tanx0 已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 若a 1 函数f x 的图象能否总在直线y b的下方 说明理由 2 若函数f x 在 0 2 上是增函数 x 2是方程f x 0的一个根 求证 f 1 2 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 课后练习6 1 解 当a 1时 令x 1得 f 1 1 1 b 2 b b 点 1 2 b 在函数图象上 且在直线y b的上方 函数f x 的图象不能总在直线y b的下方 另解 当a 1时 f x x3 x2 b f x 3x2 2x 函数f x 的图象不能总在直线y b的下方 已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 若a 1 函数f x 的图象能否总在直线y b的下方 说明理由 2 若函数f x 在 0 2 上是增函数 x 2是方程f x 0的一个根 求证 f 1 2 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 课后练习6 2 证 x 2是方程f x 0的一个根 f 2 0即 8 4a b 0 b 8 4a 又f x 3x2 2ax 函数f x 在 0 2 上是增函数 a 3 f 1 1 a b 7 3a 2 即f 1 2 已知函数f x x3 ax2 b a b R 3 若曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 求a的取值范围 课后练习6 3 解 设P x1 y1 Q x2 y2 为曲线y f x 上任两点 x1 x2 曲线f x 上任意不同两点的连线的斜率小于1 x1 x2 x1