面积最大是多少（教学设计说明）

1 第二章第二章 二次函数二次函数 7 7 最大面积是多少最大面积是多少 广东省深圳市滨河中学广东省深圳市滨河中学 冯冯 晖晖 一 学生知识状况分析一 学生知识状况分析 学生的知识技能基础学生的知识技能基础 由简单的二次函数 y x2开始 然后是 y ax2 y ax2 c 最后是 y a x h 2 y a x h 2 k y ax2 bx c 学生已经 掌握了二次函数的三种表示方式和性质 学生的活动经验基础学生的活动经验基础 通过第七节的学习 学生已经经历了由实际问题转 化为数学问题的过程 对解决这类问题有了处理经验 二 教学任务分析二 教学任务分析 本节课将进一步利用二次函数解决问题 是上一节内容的进一步升华和提 高 具体的教学目标如下 一一 知识与技能知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 小 值 二二 过程与方法过程与方法 1 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 培养 学生的分析判断能力 2 通过运用二次函数的知识解决实际问题 培养学生的数学应用能力 三三 情感态度与价值观情感态度与价值观 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学 方法解决实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价 值 2 能够对解决问题的基本策略进行反思 形成个人解决问题的风格 2 3 进一步体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学 的理解和学好数学的信心 具有初步的创新精神和实践能力 教学重点教学重点 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学 方法解决实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价 值 2 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能 够运用二次函数的知识解决实际问题 教学难点教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能运 用二次函数的有关知识解决最大面积的问题 三 教学过程分析三 教学过程分析 本节课分为五个环节 分别是 创设问题情境引入新课 归纳升华 课堂 练习活动探究 课时小结 课后作业 第一环节第一环节 创设问题情境 引入新课创设问题情境 引入新课 上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题 知道了求最大利润就是求 二次函数的最大值 实际上就是利用二次函数来解决实际问题 解决这类问题 的关键是要审清题意 明确要解决的是什么 分析问题中各个量之间的关系 建立数学模型 在此基础上 利用我们所学过的数学知识 逐步得到问题的解 答过程 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题 活动内容活动内容 由四个实际问题构成 1 问题一 如下图 在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD 其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 3 1 设长方形的一边 AB x m 那么 AD 边的长度如何表示 2 设长方形的面积为 y m2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 问题一的设计目的问题一的设计目的 对于这个问题 教师将其作为例题 不论是对问题本身的分析 还是具体 的解法过程 都将作出细致 规范的讲解和示范 具体的过程如下 分析 1 要求 AD 边的长度 即求 BC 边的长度 而 BC 是 EBC 中的一 边 因此可以用三角形相似求出 BC 由 EBC EAF 得即 AF BC EA EB 所以 AD BC 40 x 3040 40BCx 4 3 2 要求面积 y 的最大值 即求函数 y AB AD x 40 x 的最大值 4 3 就转化为数学问题了 下面请小组开始讨论并写出解题步骤 1 BC AD EBC EAF AF BC EA EB 又 AB x BE 40 x BC 40 x 3040 40BCx 4 3 AD BC 40 x 30 x 4 3 4 3 2 y AB AD x 30 x x2 30 x 4 3 4 3 x2 40 x 400 400 4 3 x2 40 x 400 300 4 3 4 x 20 2 300 4 3 当 x 20 时 y最大 300 即当 x 取 20m 时 y 的值最大 最大值是 300m2 2 问题二 将问题一变式 设 AD 边的长为 x m 则问题会怎样呢 解 解 DC AB FDC FAE FA FD AE DC AD x FD 30 x 30 30 40 xDC DC 30 x 3 4 AB DC 30 x 3 4 y AB AD x 30 x 3 4 x2 40 x 3 4 x2 30 x 225 225 3 4 x 15 2 300 3 4 当 x 15 时 y最大 300 即当 AD 的长为 15m 时 长方形的面积最大 最大面积是 300m2 活动目的活动目的 在活动解决之初 末 揭示该问题与问题一的关系 3 问题三 对问题一再变式 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD 其中点 A 和点 D 分别 在两直角边上 BC 在斜边上 5 40m 30 m D N O A B C M 1 设矩形的一边 BC xm 那么 AB 边的长度如何表示 2 设矩形的面积为 ym2 当 x 取何值时 y 的最大值是多少 活动目的 活动目的 有了前面两题作基础 这个问题可以留给学生自己解决 作为练习 4 问题四 某建筑物的窗户如下图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗 框的材料总长 图中所有黑线的长度和 为 15m 当 x 等于多少时 窗户通过的 光线最多 结果精确到 0 01m 此时 窗户的面积是多少 分析 分析 x 为半圆的半径 也是矩形的较长边 因此 x 与半圆面积和矩形面 积都有关系 要求透过窗户的光线最多 也就是求矩形和半圆的面积之和最大 即 2xy x2最大 而由于 4y 4x 3x x 7x 4y x 15 所以 y 2 面积 S x2 2xy x2 2x x2 4 715xx 2 1 2 1 4 715xx 2 1 3 5x2 7 5x 这时已经转化为数学问题即二次函数了 只要 2 715 xx x 化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可 6 解 解 7x 4y x 15 y 4 715xx 设窗户的面积是 S m2 则 S x2 2xy 2 1 x2 2x 2 1 4 715xx x2 2 1 2 715 xx x 3 5x2 7 5x 3 5 x2 x 7 15 3 5 x 2 14 15 392 1575 当 x 1 07 时 14 15 S最大 4 02 392 1575 即当 x 1 07m 时 S最大 4 02m2 此时 窗户通过的光线最多 实际教学效果 实际教学效果 问题四中的数量关系 较前面 3 个问题 处理起来比较繁琐 教师要给予 学生及时的指导和帮助 第二环节第二环节 归纳升华归纳升华 活动内容 活动内容 同学们能否根据前面的例子作一下总结 解决此类问题的基本思路是什么 呢 与同伴进行交流 活动目的 活动目的 通过前面例题的学习和感受 学生讨论交流 在教师的帮助下归纳出 基本流程为 理解题目 分析已知量与未知量 转化为数学 问题 解决此类问题的基本思路是 7 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示它们之间的关系 4 做函数求解 5 检验结果的合理性 拓展等 第三环节第三环节 课堂练习 活动探究课堂练习 活动探究 活动内容 活动内容 1 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 养鸡场一面用砖砌成 另三面 用竹篱笆围成 并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 不用篱笆 问 养鸡场的边长为多少米时 养鸡场占地面积最大 最大面积是多少 2 正方形 ABCD 边长 5cm 等腰三角 形 PQR PQ PR 5cm QR 8cm 点 B C Q R 在同一直线 l 上 当 C Q 两点重合时 等腰 PQR 以 1cm s 的速度沿直线 l 向 左方向开始匀速运动 ts 后正方 形与等腰三角形重合部分面积为 Scm2 解答下列问题 1 当 t 3s 时 求 S 的值 2 当 t 3s 时 求 S 的值 3 当 5s t 8s