初三数学一元二次方程讲义教案章节练习总练习

1 一元二次方程的解法 要点综述要点综述 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程 它是初中数学的一个重点内容 也是学 生今后学习数学的基础 在没讲一元二次方程的解法之前 先说明一下它与一元一次方程区别 根据定义可知 只含有一个未知数 且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 一般式为 一元二次方程有三个特点 1 只含有一个未知数 2 未知数的最高次数是 2 3 是整 式方程 因此判断一个方程是否为一元二次方程 要先看它是否为整式方程 若是 再对它进 行整理 如能整理为的形式 那么这个方程就是一元二次方程 1 下列方程中哪些是一元二次方程 试说明理由 1 2 3 4 3523 xx4 2 x 2 1 1 2 x x x 22 2 4 xx 5 3x2 x 20 6 2x2 3xy 4 0 7 x2 1 x 4 8 x2 0 9 x2 3 x 3 0 2 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数项 1 2 x 2 x 3 8 3 yy 2 6 2 2 43 3 xxx 4 5 2x x 1 3 x 5 4 6 xx322 2 23112 22 yyyy 3 化成一般形式是 其中 xx654 2 一次项系数是 4 方程的一次项系数是 常数项是 0 2 xx 下面再讲一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想方法是通过 降次 将 它化为两个一元一次方程 一元二次方程的基本解法有四种 1 直接开平方法 2 配方法 3 公式法 4 因 式分解法 如下表 方法适合方程类型注意事项 直接开平方法 0 时有解 0 时无解 配方法二次项系数若不为 1 必须先把系数化为 1 再进行配方 公式法 0 时 方程有解 0 时 方程无解 先化为一般形式再用公式 因式分解法方程的一边为 0 另一边分方程的一边必须是 0 另一边可用任何方 2 解成两个一次因式的积 法分解因式 例例 1 用开平方法解下面的一元二次方程 1 2 3 4 分析 分析 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法 用直接开平方法解 形如的方程 其解为 通过观察不难发现第 1 2 两小题中的方程显然用直接开平 方法好做 第 3 题因方程左边可变为完全平方式 右边的 121 0 所以此方程也可 用直接开平方法解 第 4 小题 方程左边可利用平方差公式 然后把常数移到右边 即可利用直接开平 方法进行解答了 解 解 1 注意不要丢解 由得 由得 原方程的解为 2 由得 由得 原方程的解为 3 3 原方程的解为 4 即 原方程的解为 说明说明 解一元二次方程时 通常先把方程化为一般式 但如果不要求化为一般式 像本题要求用开平方法直接求解 就不必化成一般式 用开平方法直接求解 应注意 方程两边同时开方时 只需在一边取正负号 还应注意不要丢解 附训练典题附训练典题 1 用直接开平方法解下列方程 1 2 3 4 5 2 225x 6 2 1440y 7 2 1 9x 8 2 21 3x 9 2 61 250 x 10 2 81 2 16x 11 2 5 21 180y 12 2 1 31 64 4 x 13 2 6 2 1x 14 2 00 axcb ba 例例 3 用配方法解下列一元二次方程 1 2 4 分析 分析 用配方法解方程 应先将常数移到方程右边 再将二 次项系数化为 1 变为的形式 第 1 题可变为 然后在方程两边同时加上 一次项系数的一半的平方 即 方程左边构成一个完全平方式 右边是一个不小于 0 的常 数 即 接下去即可利用直接开平方法解答了 第 2 题在配方时应特别注意在方程两边同时 加上一次项系数的一半的平方 解 解 1 二次项系数化为 1 移常数项得 配方得 即 直接开平方得 原方程的解为 2 二次项系数化为 1 移常数项得 方程两边都加上一次项系数一半的平方得 即 直接开平方得 原方程的解为 5 说明 说明 配方是一种基本的变形 解题中虽不常用 但作为一种基本方法要熟练掌握 配方时应按下面的步骤进行 先把二次项系数化为 1 并把常数项移到一边 再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 最后变为完全平方式利用直接开平方 法即可完成解题任务 附训练典题附训练典题 1 填空 1 2 8xx x 2 2 2 2 3 xx x 2 3 2 b yy a y 2 2 用适当的数 式 填空 2 3xx x 2 2 xpx x 2 2 3223 xxx 2 3 方程 2 2 10 3 xx 左边配成一个完全平方式 所得的方程是 4 用配方法解下列方程 2 10 xx 2 3610 xx 2 1 1 2 1 0 2 xx 2 3610 xx 2 2540 xx 2 10 xx 2 3920 xx 例例 4 用公式法解下列方程 1 2 分析 分析 用公式法就是指利用求根公式 使用时应先把一元二次方 程化成一般形式 然后计算判别式的值 当 0 时 把各项系数的值代入求 根公式即可得到方程的根 6 但要注意当 0 时 方程无解 第 1 小题应先移项化为一般式 再计算出 判别式的值 判断解的情况之后 方可确定是否可直接代入求根公式 第 2 小题为了避免分数运 算的繁琐 可变形为 求出判别式的值后 再确定是否可代入求根公式求解 解 解 1 化为一般式 求出判别式的值 0 代入求根公式 2 化为一般式 求出判别式的值 0 说明 说明 公式法可以用于解任何一元二次方程 在找不到简单方法时 即考虑化为一般 形式后使用公式法 但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量 再求出判别式的值 解得的根要 进行化简 附训练典题附训练典题 1 用公式法解下列方程 1 2 3 4 例例 5 用分解因式法解下列方程 1 2 7 分析 分析 分解因式法是把方程变形为一边是零 把另一边的二次三项式分解成两个一次 因式的积的形式 让两个一次因式分别等于零 得到两个一元一次方程 解这两个一元一次方程所得到 的根 就是原方程的两个根 第 1 题已经是一般式 可直接对左边分解因式 第 2 题必须先化简变为一般式后再进行分解因式 解 解 1 左边分解成两个因式的积得 于是可得 2 化简变为一般式得 左边分解成两个因式的积得 于是可得 说明 说明 十字相乘法 ABx AD BC CD 0 Ax C Bx D 0 Ax C Bx D A B C D 不一定都是正数 使用分解因式法时 方程的一边一定要化为 0 这样才能达到降次的目的 把方程一边化为 0 把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程 因为 这是把方程降次的重要手段之一 从上述例题来看 解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化 转化的方法主要为开平方法和使方程一边为 0 把方程另一边分解因式 配方 或利 用求根公式法 另外 在解一元二次方程时 要先观察方程是否可以应用开平方 分解因式等简单方 法 找不到简单方法时 即考虑化为一般形式后使用公式法 总结 总结 直接开平方法是最基本的方法 公式法和配方法是最重要的方法 公式法适用 于任何一元二次方程 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 8 而且在使用公式前应先计算出判别式的值 以便判断方程是否有解 配方法是推导公式的 工具 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了 所以一般不用配方法解一元 二次方程 但是 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用 是初中要求掌握的重要的 数学方法之一 最常用的方法还是因式分解法 在应用因式分解法时 一般要先将方程写 成一般式 同时应使二次项系数化为正数 因此在解一元二次方程时 首先观察是否可以 应用开平方 分解因式等简单方法 找不到简单方法时 即考虑化为一般形式后使用公式 法 通常先把方程化为一般式 但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解 附训练典题附训练典题 1 2 3 4 选用适当的方法解下列方程选用适当的方法解下列方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 034 2 xx 2465 xx 11 12 0323 2 xxx0626 2 xx 13 2 3 1 12x 14 2 410yy 15 2 884xx 16 2 310yy 17 18 932 2 x16 2 xx 19 20 05163 2 xx 22 31623 xx 21 22 3 1 5xx 2 31060 xx 23 24 2 3 2 3 xx x 2 3 2 1 7xxx 25 26 7 1 6 1 8 1 5 1 xxxx 52515 xx 例例 5 已知 解关于的方程 9 分析分析 注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程 解解 由得 或 当时 原方程为 即 解得 当时 原方程为 即 解得 说明 说明 由本题可见 只有项系数不为 0 且为最高次项时 方程才是一元二次方程 才能使用一元二次方程的解法 题中对一元二次方程的描述是不完整的 应该说明最 高次项系数不为 0 通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明 即形如的方 程叫作关于的一元二次方程 若本题不给出条件 就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论 附训练典题附训练典题 注 当要求方程为一元一次方程时 要求二次项系数为零且一次项 注 当要求方程为一元一次方程时 要求二次项系数为零且一次项 系数不为零 系数不为零 1 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下 此方程为一元一次方程 2 当 m 时 方程为关于 x 的一元一次 02311 2 mxmxm 方程 当 m 时 方程为关于 x 的一元二次方程 3 求证 当 m 取任何实数时 一元二次方程有两个不相等的实042 2 mmxx 数根 4 当 时 方程不是关于 X 的一元二次方 k05 3 4 22 xkxk 程 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 b 4ac 当 0 时 方程有两个不相等的实数根 当 0 时 方程有两个相等的实数根 有一个根 当 0 时 方程无实数根 当一次项系数为零时 方程两个根为互为相反数 10 1 已知关于x的一元二次方程 22 21 10m xmx 有两个不相等的实数根 则 m的取值范围是 A x 7 B x 7 C x 7 D x 7 2 关于 x 的方程 实数根 注 填写 有 或 没有 013 2 xx 3 一元二次方程 013 2 mxx 1 若方程有两个不相等的实数根 求 m 的取值范围 2 若方程有两个相等的实数根 求此时方程的根 4 已知方程的两个实根的平方和为 13 求的值 062 1 2 kxkxk 5 若方程没有实数根 求证方程一定有两个不012 2 mxx112 2 mmxx 相等的实数根 6 已知关于的方程 且 证明 这个方程有x0 3 2 2 mnxnmx0 nm 两个不相等的实数根 证明 这个方程的两根中 有一个比大 另一个比小 nn 7 不解方程 判断一元二次方程的根的情况是 02263 2 xxx 8 2004 锦州市 若关于 X 的方程有实数根 则 k 的取值范围是 05 2 kxx 9 已知 当 时 方程有实数根 m0 2 12 22 mxmx 10 关于 x 的方程的根的情况是 0 4 2 1 222 kkxxk 11 已知关于 2 的方程有两个不相等的实数根 那么 m 的最0 12 22 mxmx 大整数值是 12 不解方程 判别下列方程根的情况 5 3 2 1 xx 0352 2 2 xx 04129 3 2 xx 0 2 12 4 2 yyy 5 2 6 152 2 xx213 xx0231 xx 综合运用 1 与数字有关的问题 1 一个两位数 十位数字与个位数字之和是 5 把这个数的个位数字与十位数字对调后 所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736 求原来的两位数 11 2 一个两位数 个位数字比十位数字大 3 个位数字的平方恰好等于这个两位数 则这个 两位数是多少 3 某两位数的十位数字是的解 则其十位数字是多少 某两位数的个位数字08 2 xx 是方程的解 则其个位数是多少 08 2 xx 4 一个两位数 个位上数字比十位数字小 4 且个位数字与十位数字的平方和比这两位数 小 4 设个位数字为 x 求这个两位数 5 一个两位数 个位上的数字是十位数字的平方还多 1 若把个位上的数字与十位上的数 字对调 所得的两位数比原数大 27 求原两位数 6 一个三位数 百位上数字为 2 十位上数字比个位上数字小 3 这个三位数个位 十位 百位上的数字之积的 6 倍比这个三位数小 20 求这个三位数 7 三个连续奇数 它们的平方和为 251 求这三个数 8 两个数的和为 16 积为 48 则这两个正整数各是多少 9 若两个连续正整数的平方和为 313 则这两个正整数的和是多少 10 三个连续正整数中 前两个数的平方和等于第三个数的平方 则这三个数从小到大依 次是多少 11 三个连续偶数 使第三个数的平方等于前两个数的平方和 求这三个数 12 有四个连续整数 已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积 求这四个数 2 与几何图形面积有关的问题 1 已知 a b c 是的三条边 且方程有两个相ABC 0 2 2 baxabxbc 等实数根 那么 这个三角形是 2 若一个三角形的三边长均满足方程 则此三角形的周长为086 2 xx 3 设 a 6 c 为三角形的三条边长 求证 方程无实0 222222 cxacbxb 根 4 若方程有两个相等的实数根 且 a b c 是0 2 2222222 bcxcbxCa 的三条边 求证 是等腰三角形 ABC ABC 5 一个直角三角形三边的长是三个连续整数 求这三条边的长和它的面积 6 如右图 是一个正方体的展开图 标注了字母 A 的面是正方体的正面 如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等 则 x 的值是 7 如图 在矩形 ABCD 中 已知 3AB 2BC 并且 AB BC的长是 方程的两个根 求 k 的值 02 2 2 kxkx A BC D 12 8 直角三角形两直角边的比是 8 15 而斜边的长等于 6 8cm 那么这个直角三角形的面 积等于多少 9 直角三角形的面积为 6 两直角边的和为 7 则斜边长为多少 3 用一条长 12 厘米的铁丝折成一个斜边长是 5 厘米的直角三角形 则两直角边的长是多 少 10 一个三角形的两边长为 2 和 4 第三边长是方程的解 则三角形的012102 2 xx 周长为多少 11 若三角形的三边长均满足方程 则此三角形的周长为多少 086 2 xx 12 一块长 80cm 宽 60cm 的薄钢片 在四个角截去四个相同的小正方形 然后将四边折 起 做成如图所示的底面积是 1500且无盖的长方体盒子 求截去的小正方形的边长 2 cm 13 已知三角形两边长分别为 2 和 4 第三边是方程 x2 4x 3 0 的解 求这个三角形的周 长 14 从一块正方形的木板上锯下 2m 宽的长方形木条 剩下部分的面积是 48 则这块木 2 m 板的面积是多少 3 一元二次方程实际应用练习题 1 一块矩形的地 长是 24 米 宽是 12 米 要在它的中央划一块矩形的花坛 四周铺上草 地 其宽都相同 花坛占大块矩形面积的 求草地的宽 9 5 2 有一间长 18m 宽 7m 的会议室 在它的中间铺一块地毯 地毯的面积是会议室面积的 四周未铺地毯处的宽度相同 则求所留宽度是多少 3 1 5 一根铁丝长 48cm 围成一个面积为 140cm2的矩形 求这个矩形的长和宽分别是多少 6 建一个面积为 480 平方米的长方形存车处 存车处的一面靠墙 另三面用铁栅栏围起来 已知铁栅栏的长是 92 米 求存车处的长和宽各是多少 7 将进货单价为 30 元的商品按 40 元售出时 每天能卖出 500 个 已知这种商品每涨价 1 元 其每天销售量就减少 10 个 为了每天能赚取 8000 元的利润 且尽量减少库存 售价 应定为多少 7 某商店的童装按标价的九折出售 仍可获利 20 若进价为每件 21 元 求每件标价为 多少元 8 一个小组有若干个人 新年互送贺卡一张 已知全组共送贺卡 72 张 求这个小组有多 少人 9 生物兴趣小组的学生 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件 全组共赠送了 182 件 求全组有多少名同学 10 有一种植物的主干长出了若干数目的支干 每个支干又长出同样数目的小分支 主干 分支和小分支的总数是 111 每个支干长出多少小分支 11 某工厂 1 月份产值为 50 万元 采用先进技术后 第一季度产值共为 182 万元 2 月份 和 3 月份的平均增长率为多少 12 某农场的产量两年从 50 万公斤增加到 60 5 万公斤 平均每年增产百分之几 13 某化肥厂今年一月份的化肥产量为 4 万吨 第一季度共生产化肥 13 2 万吨 问 2 3 13 月份平均每月的增长率是多少 14 某超市一月份的营业额为 200 万元 一月 二月 三月的营业额共 1000 万元 求平均 每月增长率为多少 15 某种粮大户今年产粮 20 万千克 计划后年产粮达到 28 8 万千克 若每年粮食增产的 百分率相同 求平均每年增产的百分数 16 某钢厂今年一月份产量为 4 万吨 第一季度共生产 13 24 万吨 问二 三月份平均每 月的增长率是多少 17 如图 在四边形 ABCD 中 AB BC 对角线 BD 平分 ABC P 是 BD 上一点 过点 P 作 PM AD PN CD 垂足分别为 M N 1 求证 ADB CDB 2 若 ADC 90 求证 四边形 MPND 是正方形 18 如图 在AABCD 中 AB 6cm AD 9cm BAD 的平分线交 BC 于点 E 交 DC 的 延长线于点 F BG AE 垂足为 G BG 4 2cm 则 EF CF 的长为 cm 说明理 由 19 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14 4m 求每年人均住房面积 增长率 分析 设每年人均住房面积增长率为 x 一年后人均住房面积就应该是 10 10 x 10 1 x 二年后人均住房面积就应该是 10 1 x 10 1 x x 10 1 x 2 解 设每年人均住房面积增长率为 x 20 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始 沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速 度移动 点 Q 从点 B 开始 沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 如果 AB 6cm BC 12cm P Q 都从 B 点同时出发 几秒后 PBQ 的面积等于 8cm2 B C A Q P 21 某公司一月份营业额为 1 万元 第一季度总营业额为 3 31 万元 求该公司二 三月份 营业额平均增长率是多少 22 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 25m 另三边用木栏围成 木栏长 40m 1 鸡场的面积能达到 180m2吗 能达到 200m 吗 2 鸡场的面积能达到 210m2吗 22 在一次手工制作中 某同学准备了一根长 4 米的铁丝 由于需要 现在要制成一个矩 形方框 并且要使面积尽可能大 你能帮助这名同学制成方框 并说明你制作的理由吗 23 新华商场销售某种冰箱 每台进货价为 2500 元 市场调研表明 当销售价为 2900 元时 平均每天能售出 8 台 而当销售价每降 50 元时 平均每天就能多售出 4 台 14 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元 每台冰箱的定价应为多少元 24 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件赢利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每 降价一元 商场平均每天可多售出 2 件 若商场平均每天赢利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 每件衬衫降价多少元时 商场平均每天赢利最多 请你设计销售方案 25 某电厂规定 该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时 那么这户居民 这个月只交 10 元电费 如果超过 A 千瓦时 那么这个月除了交 10 元用电费外超过部分 还要按每千瓦时 100 A 元收费 1 若某户 2 月份用电 90 千瓦时 超过规定 A 千瓦时 则超过部分电费为多少元 用 A 表示 2 下表是这户居民 3 月 4 月的用电情况和交费情况 月份用电量 千瓦时 交电费总金额 元 38025 44510 根据上表数据 求电厂规定的 A 值为多少 26 今年初 湖北武穴市发生禽流感 某养鸡专业户在禽流感后 打算改建养鸡场 建一 个面积为 150m2的长方形养鸡场 为了节约材料 鸡场的一边靠着原有的一条墙 墙长 am 另三边用竹篱围成 如果篱笆的长为 35m 问鸡场长与宽各为多少 其中 a 20m 27 如图所示 某小区居民筹集资金 1600 元 计划在一块上下底分别为 10 米 20 米的梯 形空地上种植花木 1 他们在 AMD 和 BMC 地带上种植太阳花 单价为 8元 当 AMD 地带种 2 m 满花后 共花 160 元 请计算 BMC 地带种花所需费用 2 若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择 单价分别为 12 元和 10 元 应 2 m 2 m 选择种哪种花木 刚好用完所筹集的资金 第 32 题 28 A B 两地间的路程为 150 千米 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而 行 2 小时相遇 相遇后 各以原来速度继续行驶 甲车到达 B 地立即原路返回 返回时的速度是原来的 2 倍 结果甲乙两车同时到达 A 地 求甲车的原速度和乙车 的速度 15 29 某农户在山上种了脐橙果树 44 株 现进入第三年收获 收获时 先随意采摘了 5 株果树上的脐橙称的每株果树上的脐橙重量如下 单位 千克 35 35 34 39 37 1 根据样本平均数估计这年脐橙的总产量约是多少 2 各市场上脐橙售价为每千克 5 元 则这年该农户脐橙收入是多少元 3 已知该农户第一年卖脐橙收入为 5500 元 估计第二年 第三年卖脐橙收入的平 均增长率是多少 30 某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌 广告设计费为每平方米 1000 元 设矩形一边为 x 米 面积为 S 平方米 1 求出 S 与 x 之间的函数关系式 并确定自变量 x 的取值范围 2 为使广告牌美观 大方 要求做成黄金矩形 请你按要求设计 并计算出可获 得的设计费约是多少元 精确到元 参考资料 若矩形的长为 a 宽为 b 且满足 a2 b a b 则称这样的矩形为黄 金矩形 2 2 5 31 某种商品因换季准备打折出售 如果按原价的七五折出售 将赔 25 元 二按原价的九 折出售 将赚 20 元 则这种商品的原价是 32 百货商店服装柜在销售中发现 某品牌童装平均每天可售出 20 件 每件盈利 40 元 为 了迎接 六一 国际儿童节 商场决定采取适当的降价措施 扩大销售量 增加盈利 减 少库存 经市场调查发现 如果每件童装降价 1 元 那么平均每天就可多售出 2 件 要想平均 每天销售这种童装盈利 1200 元 那么每件童装应降价多少元 33 某农户在山上种了脐橙果树44株 现进入第三年收获 收获时 先随意采摘5株果树上 的脐橙 称得每株果树上的脐橙质量如下 单位 千克 35 35 34 39 37 1 根据样本平均数估计 这年脐橙的总产量约是多少 2 若市场上的脐橙售价为每千克5元 则这年该农户卖脐橙的收入将达多少元 3 已知该农户第一年卖脐橙的收入为 5500 元 根据以上估算 试求第二年 第 三年卖脐橙收入的年平均增长率 三 综合提高题三 综合提高题 1 已知方程 2 m 1 x2 4mx 3m 2 根据下列条件之一求 m 的值 1 方程有两个相等的实数根 2 方程有两个相反的实数根 3 方程的一个根为 0 16 2 如果 a b 为实数 满足34a b2 12b 36 0 那么 ab 的值是 3 若关于 2 的方程有两个不相等的实数根 试化简代数式0 4 1 1 22 axax 4419124 22 aaaa 4 当 m 是什么整数时 与的根都是整数 044 2 xmx05444 22 mmmxx 5 求方程的实数解 0149348811414 22 yxyxyx 6 设 m k 为有理数 当 k 为何值时 关于 z 的方程042344 22 kmmxmxx 的根为有理数 7 已知关于 x 的一元二次方程 0 1 2 kxx 1 求证 方程有两个不相等的实数根 2 设方程的两根分别为 z X 且满足求 k 的值 2121 xxxx 8 如果