八上勾股定理典型练习题

1 勾股定理全章知识点和典型例习题勾股定理全章知识点和典型例习题 1 1 基础知识点 基础知识点 勾股定理 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 斜边为 那么 那么abc 222 abc 勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 22 1 42 2 Sabcabc 大正方形面积为 所以 222 2Sabaabb 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三角形 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 则ABC 90C 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 22 cab 22 bca 22 acb 可运用勾股定理解决一些实际问题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长如果三角形三边长 满足满足 那么这个三角形是直角三角形 其中 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜边 为斜边 abc 222 abc c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与较长边的平方 22 ab 作比较 若它们相等时 以 为三边的三角形是直角三角形 2 cabc 若 时 以 为三边的三角形是钝角三角形 若 时 以 222 abc abc 222 abc a 为三边的三角形是锐角三角形 bc 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 abc 222 abc a 满足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是为斜边bc 222 acb abcb 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即中 中 为正整数为正整数 222 abc abc 时 称时 称 为一组勾股数为一组勾股数abc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 2 用含字母的代数式表示组勾股数 n 为正整数 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 为正整数 2222 2 mnmn mn mn mn 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问 题 在使用勾股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形中 斜边和直角边各是 什么 以便运用勾股定理进行计算 应设法添加辅助线 通常作垂线 通常作垂线 构造直角三角形 构造直角三角形 以便正确 使用勾股定理进行求解 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形 在具体推算过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不可不加思考的用两边的平 方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要 通过逆定理判定一个三角形是直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者相辅相成 完成对 问题的解决 常见图形 1010 互逆命题的概念 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 二 经典例题精讲经典例题精讲 题型一 直接考查勾股定理 在直角三角形中 已知两边求第三边 题型一 直接考查勾股定理 在直角三角形中 已知两边求第三边 1 1 在直角三角形中 若两直角边的长分别为 1cm1cm 2cm2cm 则斜边长为 2 易错题 注意分类的思想 已知直角三角形的两边长为 3 3 2 2 则另一条边长的平方是 3 已知直角三角形两直角边长分别为5 5和1212 求斜边上的高 4 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍 则斜边扩大到原来的 A 2 倍B 4 倍C 6 倍D 8 倍 5 5 在 在 Rt ABCRt ABC 中 中 C 90 C 90 若若 a 5a 5 b 12b 12 则 则 c c 若若 a 15a 15 c 25c 25 则 则 b b 若若 c 61c 61 b 60b 60 则 则 a a 若若 a b 3 4a b 3 4 c 10c 10 则则 Rt ABCRt ABC 的面积是的面积是 A B C 30 D C BA A DB C 3 6 6 如果直角三角形的两直角边长分别为 2n n 1 那么它的斜边长是 1n 2 A A 2n2n B B n 1n 1 C C n n2 2 1 1 D D 1n 2 7 7 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A A B B C C D D 以上都有可能以上都有可能 222 abc 222 acb 222 cba 8 8 已知 Rt ABC 中 C 90 C 90 若 a b 14cma b 14cm c 10cmc 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A A 2424B B 3636 C C 4848D D 6060 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 9 9 已知 x x y y 为正数 且 x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 2 2 0 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角三角形 那 么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5B 25 C 7D 15 题型二 利用勾股定理测量长度题型二 利用勾股定理测量长度 例题例题 2 2 如果梯子的底端离建筑物 9 米 那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 题型三 利用勾股定理求面积题型三 利用勾股定理求面积 例例 4 4 求阴影部分面积 1 阴影部分是正方形 2 阴影部分是长方形 3 阴影部分是 半圆 例例 5 5 如图 以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆 试探索三个半圆的面积之间的关 系 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中 最大的正方形的边长为 5 则正方形 A B C D 的面积的和为 题型四 题型四 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 如图所示 等腰中 是底边上的高 若 求 A D 的长 ABC 的面积 4 题型五题型五 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角的问题 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角的问题 1 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A A 4 4 5 5 6 6 B B 2 2 3 3 4 4 C C 1111 1212 1313 D D 8 8 1515 1717 2 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A A 2 3 42 3 4 B B 3 4 63 4 6 C C 5 12 135 12 13 D D 4 6 74 6 7 3 3 下面的三角形中 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 4 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a a2 2 b b2 2 a a2 2 b b2 2 c c2 2 0 0 则它的形状为 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 5 5 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 6 6 若 ABC 的三边长 a b c 满足试判断 ABC 的形状 222 abc20012a16b20c 7 7 ABC 的两边分别为 5 125 12 另一边为奇数 且 a b ca b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三 角形为 8 8 若三角形三条边的长分别是 7 24 257 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 勾股定理和逆定理并用勾股定理和逆定理并用 例例 6 6 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且那么 DEFABFB 4 1 是直角三角形吗 为什么 5 例例 7 7 如图 4 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰 好落在 BC 边上的点 F 求 CE 的长 例例 8 8 如图所示 已知 ABC 中 C 90 C 90 ABAB 的垂直平分线交 BCBC 于 M 交 AB 于 N 若 AC 4AC 4 MB 2MCMB 2MC 求 AB 的长 如图 C 90 AC 3 BC 4 AD 12 BD 13 判断 ABD 的形状 并说明理由 题型六 利用勾股定理逆定理判断垂直题型六 利用勾股定理逆定理判断垂直 例例 9 9 如图 5 王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边 他测得 AD 80cm AB 60cm BD 100cm AD 边与 AB 边垂直吗 怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直 6 题型七题型七 关于勾股定理在实际中的应用关于勾股定理在实际中的应用 例 1 如图 公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇 点 A 处有一所中 学 AP 160 米 点 A 到公路 MN 的距离为 80 米 假使拖拉机行驶 时 周围 100 米以内会受到噪音影响 那么拖拉机在公路 MN 上