棱柱、棱锥的面积和体积.ppt

棱柱 棱锥的表面积和体积 棱柱的侧面积和体积 S直棱柱侧 ch S斜棱柱侧 c l V柱体 Sh h S L S S 柱体体积公式的推导 等底面积等高的几个柱体被平行于平面 的平面所截截面面积始终相等 体积相等 V长方体 abc V柱体 Sh 定理一 等底面积等高的两个锥体体积相等 h1 S1 h2 S2 h S h S 取任意两个锥体 它们的底面积为S 高都是h 平行于平面 的任一平面去截 截面面积始终相等 两个锥体体积相等 定理一 等底面积等高的两个锥体体积相等 证明 取任意两个锥体 设它们的底面积为S 高都是h 把这两个锥体放在同一个平面 上 这是它们的顶点都在和平面 平行的同一个平面内 用平行于平面 的任一平面去截它们 截面分别与底面相似 设截面和顶点的距离分别是h1 截面面积分别是S1 S2 根据祖搄原理 这两个锥体的体积相等 锥体的体积公式 定理三 如果一个锥体的底面积是S 高是h 那么它的体积是V锥体 Sh 棱锥的侧面积和体积1 正棱锥的侧面积 S ch 2 等底面积等高的两个棱锥的体积相等 3 如果一个棱锥的底面积是S 高是h 那么它的体积是V锥体 Sh 例1 三棱柱的底面是边长为5的等边三角形 其中一条侧棱与底面两边都成600的角 侧棱长为4 求三棱柱的侧面积 A B C A B C 例2 如图是一石柱 石柱顶上部是一个正四棱锥 下部是一个正四棱柱 已知正四棱柱底面边长0 5米 高1米 正四棱锥的高是0 3米 石料比重d为每一立方米2400千克 求这个石柱的重量 解 V棱锥 V棱柱 所以石柱的重量P V棱柱 V棱锥 d 660 千克 例3 在三棱锥V ABC中 AC BC 13 AB 10 三个侧面与底面所成的二面角均为60o VO 平面ABC 交平面ABC于O O在三角形内部 B A C V E O F D 2 求 三棱锥的高 3 求 三棱锥的体积 1 求证 O是 ABC的内心 OD为VD在平面ABC内的射影 根据三垂线定理 得VD AB 于是 VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角 VDO 60o 同理 VEO VFO 60o C V 解 1 过O在平面ABC内分别作AB AC BC的垂线 D F E为垂足 连结VD VF VE A E O F D B 因为VO 平面ABC OD AB 显然OD OE OF VOctg60o 即点O到 ABC三边距离相等 因此O是 ABC的内心 C V E O F D A B 例4 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o 底面边长a 求它的高 体积 A B C D S E O 解 连结AC BD交于O 连结SO 则SO为正四棱锥的高 过B作BE SC E为垂足 连结DE 则 DEB为二面角D SC B的平面角 所以DEB 120o A S B C D E O 连结OE 例5 如图三棱锥V ABC中 D为BC上一点 E为AV上一点 BC ED BC AV ED AV 已知BC 6cm ED 4cm AV 8cm 求 三棱锥的体积 V A B C D E NEXT RETURN 解 例6 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 G为A1B1上的点 E F在棱AB上 H在C1D1上 1 若点G在A1B1上滑动 H在C1D1上滑动 线段EF在AB上滑动 则VH EFG的值有何变化 2 若点G滑动到B1 E F滑动到A B点 H滑动到D1点 则VH EFG体积为多少 A B C D A1 B1 C1 D1 G H E F 例7 已知 三棱锥A BCD的侧棱AD垂直于底面BCD 侧面ABC与底面所成的角为 求证 V三棱锥 S ABC ADcos S ABC ADcos BC AEcos AD V三棱锥 S BCD AD BC DE AD 例8 已知 三棱锥A BCD的侧棱AD垂直于底面BCD 侧面ABC与底面所成的角为 求证 V三棱锥 S ABC ADcos 问题1 ADcos 有什么几何意义 F 结论 V三棱锥 S ABC DF 例9 已知 三棱锥A BCD的侧棱AD垂直于底面BCD 侧面ABC与底面所成的角为 求证 V三棱锥 S ABC ADcos 结论 V三棱锥 VC AED VB AED 问题2 解答过程中的 BC AEcos AD其中AEcos AD可表示什么意思 AEcos ED 又BE与CE都垂直平面AED 故BE CE分别是三棱锥B AED C AED的高 分析 练习1 将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几 请列出三棱锥体积表达式 问题1 你能有几种解法 问题2 如果这是一个平行六面体呢 或者四棱柱呢 练习2 从一个正方体中 如图那样截去四个三棱锥 得到一个正三棱锥A BCD 求它的体积是正方体体积的几分之几 问题2 如果改为求棱长为a的正四面体A BCD的体积 你能有几种解法 问题1 你能有几种解法 解一 补形 将三棱锥补成一个正方体 解二 利用体积公式V四面体 S BCD h 解三 将四面体分割为三棱锥C ABE和三棱锥D ABE E 练习 1 四面体O AB